高中数学教学研究：实践取向与概率教学调查分析

为了调查课改后一线教师对“概率”内容板块的教学现状，在此问卷中设计了十道题，分别是第8,14,17,19,20,22,23,24,25,26题.

第8,17题主要调查教师在“概率”教学中引入生活实例的情况.其统计数据如表6-16所示.

表6-16　概率生活实例在教学中的运用情况

从总体上看，多数教师认为概率教学应该结合生活实际，把生活中的概率实例引入到课堂教学中.针对第8题的调查结果可以看出，存在部分教师（约占40%）认为，概率教学应偏重理论教学，恰当地引用少量生活实例，因为生活中的实例不如设计好的例子直观.持以上观点的教师注重了自身教学的“好教”，但确忽略了学生的“易学”.较少运用充满生活气息的概率实例而一味追求“设计好的例子”，会导致学生的学习脱离现实背景，甚至没有经历生活中实例的提出、抽象、转化、构建简单模型与问题解决这一过程，只会解决“设计好的问题”，而很难解决实际中产生的问题.认真研读《标准》版教材中关于概率章节的设计会发现，此版教材是将概率通过实例引入，并在具体的情境中，让学生通过动手实验，搜集数据，分析结果，寻找规律等过程构建知识，并强调最终的目的是解决实际问题.综观高考对概率部分的考查情况可以看出，概率的考查比较注重与生活实例的联系，充分考查学生的理解、分析、转化及应用能力.因此，对教师概率教学提出的要求是注重概率与鲜活的生活实例相联系，以培养学生的应用意识和实践能力.

进一步对影响第17题选择情况的影响因素进行分析，其卡方检验值如表6-17所示.

表6-17　影响概率生活实例在教学中的运用差异因素

由表6-17中数据可以看出，教龄、学历、职称（p＞0.05）这三个因素对概率实例在教学中的运用情况的选择不存在差异，而参加教师培训次数（p＜0.01）这个因素对其选择情况有着显著性差异.这说明教师培训在这版块的效果很明显，通过教师培训提高了教师对概率教学的理解与认识.概率与生活密切联系，对学生而言充满了趣味性和吸引力，因而从实际情景入手就显得非常有必要，同时也只有与生活实例紧密联系才能更好地培养学生的随机思想，否则学生就会狭隘地认为学习概率就是书本上的抛硬币、掷骰子、摸球，最多会运用计数原理或排列组合算算概率而已.

第14题主要是调查教学中教师对“概率”与“统计”联系的呈现情况.其统计数据如表6-18所示.

表6-18　教学中对“概率”与“统计”联系的呈现情况

研读教材可以发现，教材中是以数据处理为主线将统计与概率联系起来的.从表6-18中数据可以看出，有约占84%的教师赞成或非常赞成在概率的教学过程应该让学生运用统计的方法系统地经历数据的搜集、整理过程，充分地领悟统计的思想方法，以此加深学生对概率的理解认识.为了纠正概率教学中学生基于生活经验形成的概率直觉，促进概率概念的理解以及认识随机现象培养随机思想观念的目的，在教学过程中大部分教师会有意识地让学生亲身经历对随机现象的探究过程，引导学生合理猜测结果发生的概率，然后在试验中通过对数据的处理并与自己的猜测值进行比较，在检验和不断调整过程中，既形成了概率概念的初步认识，也纠正了学生的一些关于概念的错误认识.比如，概率概念的试验定义（统计定义），这是一个非常重要的概念，其教学效果直接影响着概率的后续教学，在教学过程中要特别注意频率的稳定性对于概率概念本质理解的重要性，但这必须借助于对现实实践的统计.教材中的处理就是通过抛硬币试验由频率近似估计概率值而得出的概率定义，故而概率教学离不开统计的支撑.另有约占16%的教师持不置可否态度，出现这种情况的原因是部分教师忽视教学活动，他们对于书本上的试验仅用口头说教的方式进行教学，并以自身的讲解代替学生对知识概念的“建构”过程，同时认为因课时压力组织学生课堂探索并运用统计手段整理分析会“浪费”时间，且因课堂探索的可控性差，效果并不理想，更愿意“节约”时间进行实例讲解、题型训练，但这部分教师却忽视了这样的教学是难以改变学生已有的概率直觉.

为了进一步呈现课堂教学现状，下面选取一个教学片段加以说明.

下面是本科实习听课阶段在某中学高二年级组某老师关于概率定义教学截取的一个教学片段：

本节课前5分钟教师简要地对必然事件、不可能事件、确定事件、随机事件进行了说明.

教师——教材第109页的抛硬币试验在课堂上我们就不组织进行了，同学们可以在课下自行组织进行.同学们在初中阶段已经对频数、频率、概率有了一个初步的了解，这节课我们来进一步认识它们.

首先请同学们直接翻到第110页回顾下频数、频率的含义.

学生——学生认真阅读110页频数、频率含义（在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，事件A出现的比例为事件A出现的频率）.

教师——从上述叙述中我们可以看出，频数即试验中某个事件出现的次数(0≤nA≤n)，以事件出现次数的比例来衡量频率.

引导学生思考：频率的取值范围是什么？必然事件及不可能事件出现的频率是多少？

师生——在学生回答后教师归纳：由频率的定义可知，频率的取值范围为[0,1]，必然事件出现的频率为1，不可能事件出现的频率为0.

教师——那么频率与概率到底存在着怎样的关系呢？在之前请同学们认真看书上关于计算机模拟掷硬币试验的统计结果以及历史上一些掷硬币的统计数据表并思考分析正面朝上的频率具有怎样的特点？请找出规律.

学生——讨论后回答：频率都在0.5附近波动.

师生——引导学生认识到：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，正面朝上的频率总在0.5附近摆动，试验次数越多，一般来说就越靠近0.5.

教师——因此一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]上的某个常数.故而我们可以用这个常数来度量事件A发生的可能性大小：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，就把这个常数记作概率P(A).因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).

后面教师用了10分钟左右时间说明概率的取值范围以及概率与频率的关系.

最后剩余时间用于例题讲解（例题涉及事件类型判断及概率计算）.

综观上述教学片段，总体而言，在概率定义教学的后续阶段还是注意了传统教学中的教师设问引导、学生讨论回答、师生归纳总结等环节.但认真分析不难发现上述教学片段存在的诸多问题，同时也是一线老师存在的较为普遍的问题.因为概率是一门研究随机现象的学科，其随机性决定了与传统的确定性数学的差异，教材设置中增加了较多的试验、探究，这就要求教师在教学时应该适当地转变教学方式.因为概率的统计定义是建立在试验基础之上的，所以在构建概率定义时离不开动手试验、数据的搜集与处理等.但从上述的教学片段可以看出，教师忽略了组织学生进行抛硬币试验这一环节，而是直接让学生观察书本上的计算机模拟掷硬币试验以及历史上一些掷硬币试验的统计数据并找规律.这种以教师讲解为主的处理方式的好处在于避免了课堂试验，增加了课堂的可控性（如果课堂试验次数不大或统计数据情况极不理想可能对学生探索概率造成较强的干扰，虽然可以用概率的意义来解释但它属于下节内容），节省的部分时间用于概念讲解和例题讲解.但这种处理方式的弊端也非常明显，因为教师没有组织课堂试验（一般情况下课后自行组织试验的可能性很小），学生没有经历个人重复抛掷硬币的统计与观察，以及小组统计，全班统计的观察与分析，再加上课堂试验数据与计算机模拟的抛硬币试验数据以及历史上的抛硬币试验统计数据之间的比较，也就不能逐渐形成当试验次数很大时频率在0.5这个常数周围摆动的认识，以及试验次数越大这个摆动幅度越小的认识，从而影响概率统计定义的形成.而缺乏课堂试验的支撑，缺乏质疑猜测与对比，学生难以修正基于生活的概率经验意识.另外，直接观察书本上计算机模拟掷硬币试验结果以及历史上一些掷硬币试验统计数据的优点在于这些统计数据都是在大量重复试验下得到的，观察这些大量的数据统计能够较直观地找出其中的统计规律；但缺点在于这些数据是“干瘪”的，缺乏课堂试验数据的“鲜活性”，所以在条件允许的情况下可以利用多媒体技术和课堂教学相结合，在课堂上直接利用计算机模拟掷硬币试验，这样更直观.还有，没有经历课堂试验的少量数据观察→计算机模拟的较大量数据观察→历史上抛硬币试验的大量数据观察这样一个过程，难以形成在大量重复试验中随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数，且试验次数越多，频率在某个常数周围摆动的幅度越小的认知.

由此可见，在概率统计定义教学中，组织学生在随机试验中利用统计手段系统地经历数据的搜集、整理、分析、质疑猜测、寻找规律、对比等过程有利于学生对概率定义的建构.

第19题主要是调查教学中对“概率”的不同定义的处理情况，其统计数据如表6-19所示.

表6-19　教学中对概率不同定义的处理

从第19题的统计数据可以看出，约占85.7%的教师认为在概率概念的教学过程中应该注意概率的直觉定义→统计定义→古典定义的过渡，因为这三种定义符合高中生的认知特点，比较容易接受，且具有内在的统一性，故而大部分教师在这点上的认识处理比较统一.概率教学的核心问题是让学生了解随机现象和概率的意义，使学生学会用随机观念去描述和分析某些随机现象，但其前提是对概率概念的深刻理解.概率概念与以往数学中的“确定性”数学概念存在着很大的差异，因为对它的理解在一定程度上依赖于“偶然性”，所以在概念的教学引入、设计、过渡中需特别注意.下面首先对概率的直觉定义、统计定义以及古典定义做一个说明：(www.xing528.com)

（1）概率直觉定义是个人对随机现象可能性大小的估计，是根据信息调整最初基于经验或直觉之上的估计.

（2）概率的统计定义为在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，并在它附近摆动，这时就把这个常数叫作事件A的概率.

（3）概率的古典定义是在一次试验中出现可能结果的总数是有限个，而且每个结果的出现都在同样可能的前提下，考虑如果一个试验有N个（同等可能的）结果，其中有M个结果有利于（或使得）事件A发生，那么比值即定义为事件A的概率.

在深入接触概率之前，学生主要靠直觉定义概率，这种主观直觉可以作为教学的出发点，但在概率概念教学的过程中基于学生的经验认识情况，为了纠正学生直觉定义存在的错误与偏差，教师需在课堂上组织学生进行试验观察并运用统计方法搜集整理分析数据以检验修正经验意识，并逐渐形成以频率近似估计概率的统计定义认识.但大量重复试验在现实中一般难以得到保证，且“常数”也只是一种“想象”的保证，故而这个定义不能确切地求出概率，但经特殊化处理即针对等可能事件概率时，由统计定义可以抽象出概率的古典定义，即把古典定义视为统计定义的一个特例.因此，注重直觉→统计→古典定义的过渡，引导学生从一般到特殊，经历试验探索分析，既有利于学生修正错误直觉，也能够加深学生对概率概念实质的理解，避免出现“频率稳定于概率”即“频率的极限是概率”的认识和概率是试验次数足够大时频率的近似值等错误观念.由表6-19中数据可知，大部分教师注重其定义的过渡，但另有约占12.7%和1.6%的教师持不置可否及不赞成态度.出现这种情况的原因是对《普通高中数学课程标准》要求的认识偏差造成对概率概念教学的忽视，认为《普通高中数学课程标准》淡化概率复杂计算即意味着要求降低学生对概率概念的理解，认为概率缺少了排列组合、计数原理等工具性知识就没什么内容可讲也没什么可深讲的.

第20,25题主要是调查对“概率”内容的教学安排顺序情况，其统计数据如表6-20所示.

表6-20　“概率”内容教学安排顺序情况

表6-21　“概率”内容教学安排顺序差异的影响因素

基于15,18题教师对于理科概率相关知识编排问题的认识情况（大部分教师认为《标准》版教材关于概率与其相关知识的编排顺序不科学），再结合20,25题的统计数据可以看出，有约占44%的教师赞成按照概率的编排顺序进行教学，有约占 73%的教师赞成在必修3之后直接进入选修2-3中选讲计数原理部分内容，在不影响学校教学进度安排的前提下尽量实现板块化的系统教学，以保证知识的连贯性与相对完整性.上述认识主要是《标准》版教材相对于原有教材关于概率内容编排变化造成的.原有教材的编写在第二册下中首先是排列、组合和二项式定理、概率，紧接着是第三册理科选修中的概率与统计（离散型随机变量的分布、期望与方差等），这样的编排优点在于知识的系统性，学生在学习时能够一步到位，容易形成一个完整的知识系统.而《标准》版教材在必修3中安排了统计和概率，计数原理则调整到理科选修2-3中，这种变动的最主要目的是避免受排列组合、计数原理的影响而更好地培养学生的随机观念与随机意识.课改后，由于教师的观念转变不到位，不适应课程改革，所以有约占 56%的教师在处理概率教学的过程中并不是严格按照教材中关于概率的编排顺序教学，更有甚者约占73%的教师会直接进入选修2-3中选讲部分内容，因为这样处理既能保证知识的系统性，更有利于概率的解题教学.在某中学实习期间访谈了部分任教理科班的高二数学教师，他们普遍认为在必修3概率章节的教学过程中仅利用列举法（列表法、树形图）进行概率教学很局限，虽然思维简单但操作过程略复杂，不利于解题效率的提高，故而高二数学组基本上达成共识——在概率内容教学之前或之后有必要选取选修2-3中的计数原理（加法、乘法计数原理）部分知识进行讲解.再结合表6-21中对影响25题选择的因素中教龄、学历、职称、参加教师培训次数的卡方检验值（p＞0.05），可以看出，教龄、学历、职称、参加教师培训次数等因素对其选择并不存在显著性差异，故而综合来看，针对教学顺序安排变动归根结底在于中学阶段保守的解题教学思想，忽视了课改概率变动的初衷.

第22,23题主要是调查教学中针对文理科概率的处理情况，其统计数据如表6-22所示.

表6-22　对文理科“概率”的处理情况

由22题的统计数据可以看出，有约占 70%的教师赞成在理科学生学习概率之前先讲解排列组合或计数原理等部分工具性知识，约占 11.1%的教师持不置可否态度.原有教材中概率安排在排列、组合、二项式定理之后，广大师生很容易将概率看作排列组合的一个应用，而忽视概率设置的目的.《标准》版教材在概率内容编排时为了更好地实现培养学生随机观念的初衷，特意将排列组合安排在选修2-3中.结合访谈分析造成上述现象的原因如下：

（1）大部分教师的思想认识还没有转变到位，没有充分理解概率设置的初衷，依然停留在原有教材教学的既有模式上.

（2）概率解题教学的需要.排列、组合、计数原理等相关知识作为概率解题的工具性知识的应用很广泛，缺少这些工具性知识只能依托列举法进行一一列举，其局限性非常明显，这些知识在选修系列中会具体讲解，所以现在只是把部分知识提前，无碍“大局”.

（3）受升学压力的影响.如何培养学生高效的解题是当前高中教师普遍思考的一个问题，因为高考升学直接影响着社会对学校的评价，继而影响着学校对教师的评价，以成绩作为教师的主要评价标准几乎成为社会、学校的共识，所以出现考什么教什么的教学策略.教师能够认识到概率设置的培养初衷，但随机思想在考试中很难得以考查，最终概率的考查还是落脚于概率的解题上，迫于“无奈”，只能进行“取舍”.

（4）数学在各所学校都备受重视，所以课时安排比较充裕，甚至晚自习也比较充裕，即在不影响正常教学进度安排的前提下，客观上也为教师讲解计数原理抑或排列组合提供了便利和充足的时间.

但还是存在 19.0%的教师不赞同在理科概率教学前讲解计数原理等相关知识，因为这部分教师充分认识到在没有讲解计数原理、排列组合的前提下进行概率教学可以避开其干扰，有利于学生更好地理解概率意义及随机思想的培养.

从23题的调查统计数据可以看出，有约占 58.8%的教师认为在文科概率教学前有必要简略的补充计数原理或排列组合等相关内容，约占11.1%的教师持不置可否态度.虽然文科概率要求相较于理科比较低，文科只会在必修3中涉及概率，在选修系列中没有安排排列组合、计数原理等相关知识的学习，但依然有过半的教师认为有必要补充部分计数原理等知识，造成这种现象的主要原因基本上还是处于解题教学的考虑.综合实习阶段观察的现象有以下情况：

（1）很少一部分教师选择在概率教学中不补充计数原理知识.

（2）占一大部分教师会选择在概率之前补充加法和乘法计数原理.

（3）也有老师在概率内容之后补充计数原理知识.

（4）很少有老师既补充加法、乘法原理又补排列组合知识.

老师处理必修3概率这章前都补充讲解了加法原理和乘法原理.在和数学老师交流的过程中提到的一个主要问题便是这样更有利于本章的古典概型概率解题教学，提高解题效率，有效避免繁杂的列举，且学生也难以做到列举得不重不漏.另有约占 30.1%的教师持不赞成或很不赞同的观点.为了了解其中的原因，我利用实习阶段对高二数学组担任文科班级教学的部分教师进行了访谈，其中存在部分教师认为在教学过程中随意“添加”知识点是教学的一大忌，在补充知识上一定要慎重.首先要看教学情况是否有补充知识的必要，知识点本身是否晦涩难懂；其次，考虑班级层次及班级学生的学习情况和“消化”能力.另外，文科概率本身要求并不算高，列举法在初中阶段的概率学习中已做了比较详尽的讲解，学生们利用列举法基本都能满足文科古典概型的解题要求，没必要给学生“加负”，况且概率教学的核心问题应该着眼于随机思想、随机观念的培养.

第24,26题主要是调查教学中对必修与选修“概率”内容的处理情况差异，其统计数据如表6-23所示.

表6-23　对必修与选修“概率”内容的处理情况

从24,26题的调查统计数据可以看出，约占85.7%的教师认为针对必修3中的“随机事件的概率、古典概型及几何概型”等概率内容着重让学生认识随机现象，体会随机思想，了解概率意义以及理解概型特征，而约占85.7%的教师认为选修2-3中的“计数原理、离散型随机变量及其分布列以及条件概率和事件的独立性”等概率内容则着重让学生掌握概率计算的“工具性”知识及生活中广泛应用的概率模型.由此可见，大部分教师在必修与选修概率教学中的侧重点不一样，其中必修3概率教学的要求体现在认识、了解、知道、理解的层次，而不是一味地执着于解题与计数，比如古典概型的教学.首先是充分认识古典概型的特点.其次，最主要的是引导学生能够把生活中的一些实际问题转化为古典概型，以培养学生的分析和转化能力，而不是把重点放在“如何计数”上；对于结果，给出一个合理的解释，理解其中的概率意义即可.对于理科选修2-3中的概率内容，既是知识面的一个拓展，也是概率应用层次的一个体现，所以针对这部分内容的要求，体现在对计数思想的理解上，避免抽象的讨论计数原理，而且强调计数原理在实际中的应用；学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题.另外，约占11.1%和12.7%的教师持不置可否态度，只有约占3.2%及1.6%的教师持不赞成观点.为了探究对其选择差异的影响因素，分别对24,26题的可能影响因素作卡方检验，其卡方检验统计值如表6-24所示.

表6-24　必修与选修“概率”内容的处理情况差异的影响因素

由表6-24的卡方检验值可以看出，教龄、学历、任教班级人数、职称（p＞0.05）等因素在第24题的选择上不存在显著性差异，但参加教师培训次数（p＜0.01）的不同在第24题的选择上差异极其显著，由此说明，教师培训对教师更合理的处理必修3中的概率内容有着明显的影响.

从第26题各因素的卡方检验值可以看出，学历、任教班级人数（p＞0.05）等因素在针对选修2-3概率内容的教学处理上不存在显著性差异，但教龄、职称、参加教师培训次数（p＜0.01）三因素对其选择存在着显著性差异.即随着教龄的增加，自身教学经验的累积，职称的晋升，对教材的理解更深刻以及整体大局把握得更好，所以对选修2-3概率的教学也就更合理.另外，因为四川在2009年才开始使用《标准》版教材，所以最近几年的教师培训主要是针对新课程改革，而参加教师培训次数的增加对课程改革的认识也更加深刻，故而在选修2-3的概率教学处理上能更好地把握好其侧重点，进而说明教师培训在某些方面达到了预期效果.