数学教学技能原则-中学数学教学模式与学生能力培养

（一）思维训练与操作训练相结合的原则

1.本原则的含义

第二条教学原则讲的是知识与能力之间的关系问题，这一条原则讲的是诸能力之间的关系问题。能力包含许多方面，最重要的是思维能力、操作能力，这两种能力的协同效应又构成能力的重要内容。思维能力、操作能力的培养以及把两者紧密结合起来，是第三条原则的基本要求。思维对于操作的影响是容易理解的，一切动作听脑的指挥，指挥的效果反映了思维对操作影响的大小；思维参与的程度越高，操作的效果越好，对技术的掌握越精；若有创造性思维参与，就会有创造性的尝试和行动，就会有技术革新或新产品的设计和制作。在操作的过程中，思维既影响技术与技巧的掌握，又影响操作的效率、效果，影响创新的程度。操作对思维也有多方面的作用。心理学家在划分思维阶段时有所谓动作式思维阶段，肯定了操作在思维发展初期的直接作用，不仅记忆在动作的配合下可以取得更好的效果，而且借助于眼、口、手、足的动作也可以理解得更好。

2.数学教学中的思维训练与操作训练相结合

（1）数学教学中的思维训练

数学的思维，是以抽象思维为主，以形象思维为辅。我们先讨论数学教学中抽象思维训练应注意的几个问题。

归纳的反复性。由相对浅显的内容归纳出概念后，由概念再演绎到事实，演绎完成后，相应的事实和为新的相对浅显的内容归纳到新的概念，多次反复，学生才能掌握概念的内涵和外延。一般说来，中学教材中每出现一个概念、一个定理之后，都有相应的练习，教师或学生对每一个练习，都会自觉不自觉地返回概念或定理，这一点一般不会被忽略。重要的是，当教材进入另一些概念和定理时，旧的概念要渗透进来加以复习（只要新的内容可容纳）。

判断的准确性。一般教科书中对概念的表述是准确的，但运用概念再进行演绎就有一个判断的问题。学生在解题时，最大的失误莫过于判断失误。这种失误常表现在下列方面：一是相近概念的混淆；二是当概念的外延过多时，对一个属概念的一些种概念熟悉了，而碰到另一些种概念下的例子就没有把握甚至想不到；三是形式上相近而实属不同概念的事物被误认为属于同一概念。针对上述失误，教师根据自己的经验有意设置陷阱引导学生做判断练习是必要的。

推理的合理性和熟练性。这是抽象思维训练的核心内容。数学建立在形式逻辑的基础上，归纳、演绎、类比的推理方法是数学推理的基本方法，其中演绎所占的比重尤大。教师在进行演绎推理时应常使用分析法和综合法，以启发学生的思路，必要时将同一问题的各种演绎通路和错误的道路加以对比，以强化学生的认识。类比推理对学生发现新知识有很大的作用，但也较难掌握，特别是某些形式上的对比会导致错误。因此，类比推理要结合演绎推理，归纳推理也应如此。

再谈到形象思维。形象思维在数学思维中占有一定的比重，在几何学中的比重又较别的学科大。形象思维本身是一种认知手段，也是科学发现的一种手段。对于各种几何图形，特别是空间图形，识别其形象就是对该图形的第一步认识。圆锥曲线如不借助于图形，光凭方程，则不可能被清晰地认识。中学生在抽象思维还不发达的情况下，对知识有一种看到其形象的心理要求，“直观性”被许多教育理论家视为教学原则，就是这类要求的反映。形象思维与抽象思维是互相渗透的。观察黑板、书本、太阳、月亮的形象，其中也自然抽象出矩形、圆的概念。演绎出几何命题时，要作图，要试作各种辅助线，边观察图形边分析，这就是一个抽象思维与形象思维相结合的过程。但是，对于数学教学来说，重要的是形象思维要适时地向抽象思维过渡。因为数学本身是由概念构筑的逻辑体系，只有运用抽象思维才能真正把握它。

（2）数学教学中的操作训练

操作训练在数学课程中所占的比重并不如物理、化学、生物等课程中那么大，但其意义相当。数学中操作训练的内容，主要有几何作图、实物测绘、电脑（包括计算器）操作、数学实验操作和语言训练。如果把操作的概念扩展为实行的能力、完成的能力，那么证题、解题都可列入操作，数学训练中就处处皆见操作了。(www.xing528.com)

（3）数学教学中的思维训练与操作训练结合

在广义操作训练的含义下讨论思维训练与操作训练的结合，主要体现于“可操作性”的考虑。操作是需要动手的，怎么动手，就首先需要思维参与。其次要考虑问题的可操作性，三等分一个角，用圆规和无刻度直尺是办不到的，这是不可操作的。做一个角等于已知角的三倍，可以在已知角的基础上分两次完成，这是可操作的，这需要先想好，这就是思维与操作的结合。玻利亚在《怎样解题》一书中，给出了解题的程序：①熟悉问题；②深入理解问题；③探索有益的念头；④实现计划；⑤回顾。这就是一个可操作的程序。思维与操作的结合就是要找出适合的操作程序。

（二）收敛思维训练与发散思维训练相结合的原则

1.本原则的含义

第三条教学原则讲的是思维能力与操作能力的关系问题，这一条原则讲的是思维能力中两种思维能力的关系问题。对于思维，有各种不同的分类，有抽象思维与形象思维之分，有同向思维与异向思维或逆向思维之分，有逻辑与直觉之分，也有收敛思维与发散思维之分。

发散思维是具有多维特征的，由多个思维指向、多个目标、多个起点、多个思维程式、多个思维结果或方案组成的思维模式，它是一种取得一个或多个合理设想或猜想的思维模式。收敛思维与发散思维恰好相反，它指向第一，目标明确，思维过程顺此发展。

现代社会对人的创造力格外重视，创造性思维是创造力的基础，创造性思维多以发散性思维开始，以收敛思维告终。发散思维对于收敛思维来说，在其前，起开拓的、突破的、提供指向选择的作用；在其间，起辅助的、支托性的推动作用；在其后，起进一步拓宽突进的延展作用。收敛思维则对于发散思维的各种“产物”进行鉴别、选择、评判、论证的工作，这些工作中尽管也随时可能有直觉灵感的参与，但其主线上是收敛性的，对于各种“产物”，谬误者迅速涤除，尚属疑问者进一步探究。教师应该让学生知道这两种思维的不同特点和作用，使学生也能有意识地培养这两种能力并把两者结合起来。

2.数学教学中的收敛思维训练与发散思维训练相结合

在数学发现过程中，发散思维与收敛思维往往是穿插进行，结合使用。数学学习过程可视为数学发现过程的纯粹化再现，因此，发散思维与收敛思维的结合训练是完全必要的。

这种结合训练主要表现在归纳和演绎过程中。先看归纳过程。有位老师做过这样的数学实验，为了让学生自己归纳出三角形全等的判定公理，要求学生用硬纸剪出可以重合的任意三角形三对，可以重合的直角三角形一对，可以重合的等腰三角形一对，图形底样先印好发给学生，剪出后混合打乱，要求学生逐个找出与它重合的三角形，再琢磨你是怎样把两个三角形重合起来的，要求学生用边和角两个概念表达重合过程。看到学生会重合但是讲不清楚，又要求学生琢磨重合两个等腰三角形的步骤，直到有学生说出：“先重合一边，再重合两端的角。”多数学生受到启发，但又觉得如此容易的事却这样难准确表达。随后，该老师要求学生表达重合两个直角三角形的步骤，由于有了上面的经验，这次较容易说出先重合一角，再重合两旁的边，在此基础上引导学生用命题的形式提出两个全等三角形的判定公理。之后，讲在生活中盖三棱柱盒子时，往往是对准三边，演示三边对准的动作，启发学生获得另一条命题的表达法。最后，总结这种重叠的方法，对任何两个可以重合的三角形都是适合的。学生有了这些直觉思维做基础就容易上升为全等三角形的判定形式。以上教学过程较为典型地说明了归纳过程中发散思维与收敛思维的结合训练。第一步，学生先是会重合但讲不清楚，这个“讲不清楚”实际上包含了很多想法，有着多维的指向。第二步，教师要求学生琢磨重合两个等腰三角形的步骤。实际是将思维收敛一些，但并不是一维的，只是减少难度。终于有学生说出“先重合一边，再重合两端的角”，这已经接近了角边角公理而尚未达到这个公理。其他学生受了启发，但仍感到难办，这说明思维仍处于发散状态。第三步，教师要求学生表达重合两个直角三角形的步骤。从等腰三角形到直角三角形，思维的对象是发散了，思维的方向却在继续收敛。学生终于考虑出边角边这一条。第四步类似于第三步。整个过程，学生的思维是处在自然的发散和在教师诱导下的收敛状态中，如果不是教师开始就提示学生以边角概念表达重合过程，则学生思维还要发散得更宽。对这一问题以如此的发现法教学，学生的兴趣会激发，对三角形全等的判定公理也会掌握得较为牢固。反之，如用接受法，学生会感到枯燥，记不牢固。