语言文字总是个麻烦的事情，因为任何一种成形的人类语言总可以被这样那样解释。当语言本身被写下来成为文字的序列，少了语音、语调和语气乃至说话时的氛围、场景时，它所携带的信息就丢失了一部分，而被记录的文字又可以被这样那样地解读，作者写作者的，读者读读者的。文字本身只是一个思想交流的载体，至于交流什么，并不能唯一确定。数学家早就意识到人类的日常语言作为交流工具的不稳定和不靠谱，所以力图创造一套符号和公理系统，使用这套系统，数学家就可以避免如上所说的不确定，避免不同读者的诠释而造成麻烦。比如在证明一个问题的时候，无论用法语还是英语，总会难以避免地用一些“因为”、“所以”、“这样”、“那样”的词汇，而这些基于自然语言的词汇是逻辑证明中被认为最不准确的东西。
科学总充满邪恶的精彩，哥德尔（Kurt Godel）便是例子。萧伯纳讲，吹牛这事情通常我自己来，别人都吹不到点子上。然而哥德尔已经不在了，我们只好请爱因斯坦为他站台。那么哥德尔对逻辑学和数学基础做出的工作到底有多重要？爱因斯坦说他晚年之所以坚持每天都走路去办公室，是因为在路上可以和哥德尔聊天。
哥德尔的贡献要从希尔伯特（David Hilbert）雄心勃勃的计划说起。德国著名数学家希尔伯特出生于东普鲁士的哥尼斯堡，他是一位名副其实的数学大师，“数学界最后一位全才”。希尔伯特力求为整个数学体系寻求一个坚实的基础，他的目标是将整个数学体系严格公理化，用“元数学”——用来证明数学公理的数学，来证明整个数学体系是建立在牢不可破的坚实基础之上的。他对这个伟大的架构是这样规划的：首先，要将所有数学内容形式化，让每一个数学陈述都能用确定而唯一的符号表达出来，让每一个数学家都能用定义好的规则和符号来处理数学定理和论证的陈述。这样就可以使数学家们在思考任何数学问题的时候能够彻底摆脱自然语言的模糊，取而代之的是毫无含糊之处的符号语言。比如说，我们是可以把“因为”写成“∵”，“所以”写成“∴”，这样可以避免用“缘起”、“由于”、“理由是”、“远因”、“近因”，或者“since”、“for”、“because”、“as”之类的词带来的麻烦。这样，数学家们就有了一套严格的自己的语言。这套语言不会有歧义，并且跟数学家日常生活语言区分开来；接下来第二步证明数学是完整的，也就是说所有为真的陈述都能够被证明，而所有伪的命题都能被证伪，这被称为数学的完备性；然后再证明数学是一致的，也就是说不会由理论内容推导出自相矛盾的陈述，这被称为数学的一致性。完备性保证了我们能够证明所有的真理，只要是真的命题就可以被证明；一致性确保我们在不违背逻辑的前提下获得的结果是有意义的，不会出现某一个陈述，它既是真的又是假的，保证了自相矛盾的情况不会出现。在保证一致性这个前提之下，又有了完备性，那么任何一个数学命题都可以被证明或者被证伪。这就是说，对于任意一个数学猜想，不管它有多难，假以时日，通过一代又一代人的努力，总是可以知道这个猜想对不对，或证明它或证伪它。换句话说，在数学中，通过逻辑推演，我们必定能够知道我们想要知道的东西，了解事情的真伪只不过是个时间问题。最后，希尔伯特期望可以找到一个算法，用此算法可以自动地、机械化地判定数学陈述的对错，这被称为数学的可判定性。你可以想象这是一个多么宏伟的计划，一旦达成，人们就可以坐下来，看着一个又一个数学定理被证明出来，就好像“哆啦A梦”的口袋，一个又一个定理自己蹦出来，我们拿着用就好了，或者把它订成书直接出版。
希尔伯特计划先在基础的数学领域中进行这样的形式化，比如数学里的算数系统，然后再将其推广到更广阔的数学系统中，最后实现整个计划。在希尔伯特提出这个雄心勃勃的计划以后，许多数学家都投入了对于这个问题的研究，其中包括英国人罗素。伯特兰·罗素（Bertrand Russell）自1910年开始花了三年时间，写他著名的《数学原理》。就像开尔文勋爵说物理学界的大厦已经建立一样，这一代人希望数学的大厦也会因为这项伟大的工程而完善，以后只是定理中的符号代表哪个具体名词的修修补补的问题了。但希尔伯特的伟大工作严格意义上还没有完成，就出了一个“坏人”，捷克人哥德尔，1931年，他宣布对算术系统的希尔伯特探索的最终胜利，然而他的这个终结者式的胜利意味着以希尔伯特和罗素为首的野心勃勃的数学家们过去二十多年的“终结者计划”的终结！哥德尔说明即使把算数这样简单的数论形式化之后，也总可以找出一个合理的命题来，既无法证明这个命题为真，也无法证明它为假。希尔伯特伟大工程的第二步、第三步是根本无法完成的。举个例子：我们说“这句话是错的”。判定这句话是对还是错的时候，我们发现，它既没法被判定为“对”，也没法判定为“错”，而这样的问题在数学逻辑体系中普遍存在。哥德尔的结论后来被称为哥德尔不完备性定理。这个不完备性定理包含两个内容：
第一，对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么这个系统不可能同时满足完备性和一致性。也就是说，要是我们能在一个数学系统中做算术的话，要么这个系统是自相矛盾的，要么有一些结论，即使它们是真的，我们也无法证明。
第二，对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么我们不能在这个系统的内部来证明它的一致性。
哥德尔不完备性定理的证明过程很复杂，但是其核心思想运用了逻辑学里“自指”的概念：这个陈述“陈述”了它自己。这又被称为罗素悖论：定义一个集合，它包含所有不包含自身的集合，那它是否包含自身？推广算数系统到一般的形式逻辑来讲，哥德尔构造了一个命题，这个命题陈述的正是它自身的不可证明性，表达为：
不存在对这个命题的形式证明。
• 如果它是真的，那么它是不可证明的，说明系统是不完备的，因为存在一个真的而又不可证明的命题；
• 如果它是假的，那么就存在一个对它的证明，这样它应该是真的，这又说明了系统是自相矛盾的、不一致的。
这就是哥德尔第一不完备性定理。然后，我们再来考虑一致性的问题：
假定系统是一致的，也就是说不会自相矛盾，那么我们刚才提到的命题就是不可证明的。如果我们能在系统内部证明系统的一致性的话，就相当于在系统内部证明了那个命题，这与不可证明性是矛盾的。也就是说，这个假设是错误的，在系统内部不能证明系统本身的一致性。
由此，哥德尔证明了他的第二不完备性定理。如果我们假定数学不会自相矛盾，我们就必须承认数学是不完备的，也就是说有那么一些数学命题是不可判定的，我们既不能证明它们为真，也不能证明它们为假。
自从哥德尔不完备性定理被证明以来，越来越多的数学系统内的问题被证明是不可判定的。而它也迅速扩展到一般的逻辑体系。哥德尔证明在一个逻辑系统中，一定会产生无法证明且无法证伪的命题，而这个逻辑系统的限定条件非常的宽泛，几乎覆盖了所有逻辑范畴，它不适用的范围，反而成了我们现在需要探求的问题。从本质上讲，哥德尔不完备性定理否定了两件我们习以为常的事情：
其一，真理的否定。我们建立的逻辑系统里，推理的根本目的就是澄清这个逻辑系统内部每个命题的真伪，这是理性精神的基本体现。但哥德尔证明这是妄想，即使在一个不自我矛盾的逻辑系统内部也会有这样超出理性的范围：包含无法证明亦无法证伪的命题。假设我们发现了这样一个命题，它是这套已知逻辑体系之外的，即已定义的逻辑体系对它无法证明亦无法证伪。通常我们的解决方法是：将其补充进入整个逻辑系统的公理之中，然后在其基础上进行推论。但是现在发现这种做法也是徒劳，因为你即使补充进来了新的公理，根据哥德尔定理，仍然会有新的超出理性能力范围的命题在这个被补充之后的公理体系内出现。
其二，方法的否定。不存在一个通用的方法能够判定一个命题究竟是不是无法证明且无法证伪的。假使我们知道一个方法来判断一个命题是否是这样的命题，我们就可以节省很多的时间和精力，不浪费在理性能力之外的命题上。但是哥德尔定理告诉我们：这样的方法是不存在的。你可能针对某个具体的命题来进行单独的证明，但不存在通用的方法。
总之，哥德尔定理告诉了我们数学和逻辑的极限，这也几乎是人类理性的极限。它证明理性不是无所不能的。对一个理论体系的逻辑范畴来说，只要这套体系建立起来，以有限的假设被陈述和表达，就会存在这样的问题：不管这个理论框架构造得多完美或多繁复，它只要被描述成基于一条一条的假设而由逻辑和数学得出的一条一条的定理，这个体系本身就一定存在这样无法被证伪也无法证明的非理性问题。我们自然可以对这样的问题给一个说明，限定它在某一前提下成立，这样这个问题就是可以被解决的。但当这一前提也被容纳进来的时候，又成了一个更大的不可自证明的假设集合。哥德尔说明：这样矛盾的事情是普遍存在的，每一个理论体系都存在这样的问题。当然，我们人是不会受这件事情困扰的，我们总能给出一个新的假设来化解当前的矛盾，或者很快意识到在做一个无稽的判断而终止。但对一个自动化的逻辑体系，机器人没法在有限的时间内意识到这是个无聊的问题，它会不断地重复推演，直到新的逻辑规则告诉它已被证明或被证伪。而哥德尔定理对方法的否定又阻止我们可以预先设定当某一类现象出现机器人可以不予理会的企图。从这个角度，哥德尔的不完备定理限定了人工智能与人之间的关键差别，以目前的框架而言，人工智能在我们看得到的时间内与我们有本质的不同。
好吧，回头看我们习惯上以为天经地义的逻辑体系。为什么要不断地提到我们要小心自己习惯的假设呢？欧几里德几何原理中的公理之一：等于同量的量彼此相等。这个很显然啊，比如我们说两个东西都跟第三个东西相等，那么这两个东西相等。举个实际可以操作的例子来说，我们做如下陈述：
A）甲等于丙；
B）乙等于丙；
Z）甲乙相等。
作为一个找茬的，我可以承认A）B）两个假设是对的，但第三个陈述Z）我表示怀疑，不一定吧，事实上，从物理上来讲，还真的不一定，以长度测量来举例。
从实际操作的角度来考虑，“这个东西”拿尺子量长一米，拿尺子去量“那个东西”也是一米，那么这个东西跟那个东西是不是一样长？我们假设这是对的，通常情况下我们认为这当然是对的。
但我们知道大多数东西的材质都是热胀冷缩的。用尺子去量“这个东西”的时候，尺子处在“这个东西”所在地的温度，把尺子挪到“那个东西”所在地的时候，尺子的长度跟处在先前地方的尺子的长度不一定是一样的，这个地方和那个地方温度可能不同。不能保证这个东西和那个东西一样长。
所以我们要补充新的要求，必须要在同一个地方量，不能挪地方。现在我们需要有四条假设：
A）甲等于丙；
B）乙等于丙；
C）假设A）B）在同一地方发生；(www.xing528.com)
Z）甲乙相等。
但是现在我们面临一个新问题，同样的地方测量也存在先后的问题。第一次测量时的温度和第二次时的温度不一定一样，地点没变，但可以一个在早上测，一个在中午测，中午气温升高了。那这两个东西的长度还是有可能不一样。所以现在假设里面又要多一条，就是说必须同时测量。现在陈述就变成了五条：
A）甲等于丙；
B）乙等于丙；
C）假设A）B）在同一地方发生；
D）假设A）B）在同一时间发生；
Z）甲乙相等。
熟悉物理定律的读者可能马上意识到一个问题，当我们谈及同时同地的时候，这个定义就相当的麻烦，它难免涉及狭义相对论里关于同时同地的定义，那里还有两条假设，即光速不变假设和协变性假设。好吧，我们绕开这个麻烦，直接要求两次测量时温度相等，即，
A）甲等于丙；
B）乙等于丙；
C）假设A）B）成立时温度相等；
Z）甲乙相等。
但这又是一个细思极恐的描述，这不就是温度的定义吗？热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，即温度相同，则它们彼此也必定处于热平衡。我们用这个办法定义了温度本身！
其实哥德尔的不完备性定理不是个陌生的问题，只不过我们通常把它作为偶尔出现的特例，把它们归纳为悖论。我们还可以举几个例子：
1. 理发师给镇上所有不自己理发的人理发。那么理发师给自己理发吗？
2. 下一句是假的。上一句是真的。
3. 人不能跨过同一条河。
“咱俩明天河边见。”但我们没定义什么是同一河边，你所想的河边和我所想的河边可能不一致！我们说在河边见的时候，是在大家公允的假设下讨论的，是一个通过经验、习惯和社会共识达成的默认结果。这个结果事实上不能被理性严格描述，这也还是哥德尔所描述的问题，需要无法穷尽的确定概念来表达。我们不只要认为：这条河名字一致就是同一条河；我还要说在这个地方的这条河，因为隔省也有一条一样名字的河；加上时间、地点、空间、水流、泥沙、地质环境、地球运动等等，对同一条河的限定就可以无穷多。没有默认的不需陈述和罗列的共同认识，我们不用再见面了。像我们在后面的章节里要讲的量子信息一样，在陈述一条可描述的经典信息的时候，我们需要无穷多的共同“默认”的常识来为这句话背书。这里我还是要强调，这是一个小心的陈述，“量子信息”在这里只表达了不可穷尽的经典描述集合，它与已知的量子信息的对应关系有待证明。
事实上为了让逻辑体系够完备，需要不断地往里面添加新的限制条件，而哥德尔指出，这样的工作在理性严格的要求上是没有穷尽的。建立一套公理体系，如果要求这套公理体系完备所需的假设就可以是无穷多条的，而我们知道真实的世界里，无穷是个非物理的定义。我们通常只能做到在有限的局部限定下展开论述，体系内部一定会有不能自己证明自己的描述。为了让它完备，你需要给已有体系一个新的假设，而把这个新假设囊括进来，这个被扩大的新体系又有了问题。明确了这一点，当我们希望发生有意义的讨论时，必须在讨论开始之前限定我们讨论的前提是什么，必须要先界定我们讨论的范畴，讨论双方默认我们不讨论这假设允许之外的议题和定义，除双方认可，不引入新的假设，否则的话，就会导致我们讨论的基础不同、彼此无法说服。
为了在建立新理论过程中避免尴尬，我们需要承认公有的假设基础，不去问这些假设为什么是这样，为什么不可以有别的。我们只在适当的假设体系内讨论问题，并且设计实验去验证这些推论是否正确。对科学探索而言，我们并没有尝试建立一个无法撼动的科学体系，而是通过不断自我否定的小心翼翼的方法，试图去扩大我们认识的版图。从这个角度讲，我希望读者可以触类旁通，为什么我们对民间科学家的发现不会太在乎。因为任何人都可以建立一个理论体系，而验证这个理论体系是一个艰巨的复杂的过程，往往需要建立在已有的方法上，与已知世界的实验相对照。而自然世界成为为哥德尔的不完备诘难提供新假设的源泉，宇宙深处的奥秘永远为新的探索提供“多一个假设”的可能。物理学因此成为人类理性思维和自然世界碰触而得到验证的第一道界面。狭义相对论有两条基本假设，光速不变和协变性原理。很多人都想推翻狭义相对论，于是要从光速不变入手，假设光速是可以被超越的。但事实上狭义相对论并没有说光速不可以被超越，只是在这个体系内，光速的不变性解释了为什么牛顿力学在速度接近光速的时候出了明显的问题。接下来有大量的实验证明光速不变这个假设是站得住脚的。人们当然可以不以此为终结，尽可以提出新的假设，构建新的理论体系，但如果没有实验验证和支持，这样的假设就没有实际的意义了。我们永远无法在体系内部去推翻体系本身，因为这个体系内部总不能自己完全证明或证伪。这也是我们经常开数学家的玩笑，说你们那是人文科学，而物理学才是自然科学的深层原因。自然界总会给我们更多的线索和维度来拓宽和检验我们的认识。给出新的假设成立的证据来扩大假设体系是建立一个新理论的唯一出路。这又被哥德尔言中，他就是告诉我们人类要不断地这么做，这才是我们认识自然的规律。于是做科学和数学的人都好开心，吃不完的饭，永无终结！
我想我肯定是把读者搞糊涂了，两件事作为这一节的收尾。第一，无神论者会邪恶地问“上帝能造一块他举不起来的石头吗？”这就有点讨厌了，因为你不承认我们只在假设体系之内讨论这一基本原则。对于任何一个理论体系都有这样的问题，但对人类来说，从来就不是问题，亲爱的，我们不该讨论这个问题，上帝既然能造你，也就能让你问出这样的问题来让你表现自作聪明。这就牵涉到第二件事，人工智能。同样，机器人也无法回答这样的问题，对于人类，我们似乎有一种面对理性而玩世不恭、严肃不起来的能力，让我们不断地为理论体系找出更多的假设而跳出圈外，但从基于理性逻辑体系的机器人身上我们还看不到这样的能力。人类从不会因非理性而困扰，人可以选择合适的时候闭上眼睛不去回答这个问题，或者主动寻找一个新的维度来弥补现有理论体系的不足。这是人主动学习和探索的自由度，但不是机械的自由度。从这个角度来说，人依然要做很多机器人做不了的事情，这也是机器人在短期之内可能没法取代人类的原因之一，因为机器人的逻辑是被定义在一个有限的可描述的逻辑体系之内的。
今天我们谈人工智能，努力想让机器来代替所有的事情，让计算机来替我们完成所有对自然的描述、所有的逻辑体系、描述所有的模型计算，这不正是罗素在《数学原理》这本书里想做的事情吗？我们没有用抽象的数学符号“∵”“∴”，甚至用了更简单的符号，只是用01的组合字符串来代替。但是哥德尔已然证明这件事情有内在的不完备性或不一致性。这给了人工智能一个警示，我们试图用一个有限长的计算序列来表达、计算和证明所有理论模型，事实上不也有这样的问题吗？做人工智能的人会跳出来说，图灵机可以模拟任何一个算法：一个抽象的机器，它有一条无限长的纸带，纸带分成了一个一个的小方格，图灵认为这样的一台机器就可以模拟人类所能进行的任何计算过程。然而，图灵机是一个无穷长的序列，物理上我们无法制造一个真实的无穷序列。图灵早就知道这是个问题，“停机问题”在根源上限定了现有的计算机体系无法具有人思维的自由。相反，为了阻止人工智能有一天失控，我们倒是可以现在就开始组织对付人工智能的颇为“恶意的”、“搞笑的”问题，这些问题让机器人不知所措，因为它的理性的严格把自己困住。而哥德尔不完备性定理保证了机器人永远猜不出我们下一个问题是什么，哪一类问题是它不需要判别的。因为哥德尔说了，没有一个通用的方法来判别问题是否是不能被证明也不能被证伪的。我们定义计算机的一个算法，或者编写一个程序，它的计算规则只会是一个有限的范畴，一旦需要跳出这个范畴，机器自己就无法完成。无论把假设的体系做得如何完整、如何庞杂，这样潜在的危机是必然存在的。作为自然的一部分，我们人总有这样的智慧可以跳出已有的限定而给出新的假设，相比较计算机作为一个有限设定下的理性体系，我们没看到类似的智慧。就像我们要讨论的量子力学一样，我们可能要首先从这个角度去了解自然是怎么回事，才能了解人的智慧是怎样来的，进而试图让机器像我们人一样思考，这个过程恐怕还要三百年。
哥德尔的不完备体系和现代科学研究方法一脉相承。在建立一套理论体系之前，我们不得不先在讨论的范畴之内达成共识，不去对范畴之外进行讨论。范畴和假设之内的讨论是有意义的。在假定之内推演而得到结论。但这个结论是否有效，需要通过更多的实验来证明，实验扮演了新的检测维度，但这个检测维度在新的假设体系内部我们还是永远无法再证伪。于是我们小心翼翼地说明在现有可观测的实验范围之内，这个理论是正确的。我们永远不排除新的实验现象发现了原来理论无法解释的问题，从而需要在已有的理论体系里纳入新的假设。现有理论体系的矛盾被新的假设解决之后，又成为一个已知体系，就又会有不完备的地方。整个知识体系由此不断进化，不断向更大的未知扩展，而不会是一成不变的。这事实上否定了神秘论所宣传的绝对真理的存在，没有一个真理囊括了全部事实，也没有一个方案可以解决所有的问题。所以哥德尔启示的是一套完全不同的知识体系。这套研究和认知世界的办法，我们把它叫作科学。
我一直不喜欢用过多的比喻。如果把我们已认知的内容为圆内的集合，未认知的内容在集合圆外。当圆面积越大的时候，圆周所接触的外界未知也更多。作为科学工作者，从来对世界和未来有敬畏，仰之弥高，钻之弥坚。年轻时有种幻想，后人们阅读今日我们的文字，他们会怎样看我们今天的幼稚呢？但他们也会羡慕我们，那么容易就跑到了边界，而对他们来说要跑很远。也未必，人类的新科技能让他们省点劲，比如现在的孩子们不用再花时间去背九九乘法表和拨算盘了。而事实上，随着我们认识视界的扩大，我们看到的还未被认知的范围也更广阔。
图1–11 《天使与恶魔》（左），《打结的莫比斯环》（右），埃舍尔
埃舍尔（Maurits C. Escher）是荷兰的版画家，《天使与恶魔》是他的代表作，类似的画作还有《同心圆》、《四面体星球》、《大与小》、《行星循环的界限》和《打结的莫比斯环》。一直到今天我们的电子游戏《无限回廊》、《纪念碑谷》都有埃舍尔版画作品的影响。哥德尔启发了埃舍尔，埃舍尔启发了现代的平面设计。真理与命题之间的矛盾，似乎是悖论的必然表现。这个表现的本质在于，它证明了“真理”本身的相对性，而“绝对真理”只能建立在体系完备的基础上，哥德尔定理证明了这是不可能的。当人们追求“绝对真理”的时候，实际上就已经偏离了追求“真理”的正确道路，其结果是：发现绝对真理这件事情本身就是悖论。我们退而求其次，只求方法的靠谱和在限定前提下相对可靠的结论。
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