例1（续8.1节例1） 定性考察反映高等教育发展状况的五个方面十项评价指标，可以看出，某些指标之间可能存在较强的相关性，如果直接用这些指标进行综合评价，必然造成信息的重叠，影响评价结果的客观性。我们的问题是，能不能把这个数据的10个变量用一两个综合变量来表示？综合变量又包含多少原始信息、怎么解释并应用综合变量对学生排序？
主成分分析方法可以把多个指标转化为少数几个不相关的综合指标，因此，可以考虑利用主成分进行综合评价。利用MATLAB软件对十个评价指标进行主成分分析，相关系数矩阵的前几个特征根及其贡献率见表8.3.1。可以看出，前两个特征根的累计贡献率已达到90%以上，主成分分析效果很好。
表8.3.1 解释的总方差
下面选取前两个主成分（累计贡献率达到90.791%）进行综合评价。前两个特征根对应的特征向量见表8.3.2。
标准化变量的前两个主成分对应的特征向量见表8.3.3。
由此可得前两个主成分分别为
表8.3.2 成分矩阵
表8.3.3 成分矩阵
从主成分的系数可以看出，第一主成分主要反映了前六个指标（学校数、学生数和教师数方面）的信息，第二主成分主要反映了高校规模和教师中高级职称的比例。把各地区原始十个指标的标准化数据代入表达式，就可以得到各地区的这两个主成分值，并可以据此排序。可以看出，各地区高等教育发展水平存在较大的差异，高教资源的地区分布很不均衡。北京、上海、天津等地区高等教育发展水平遥遥领先，陕西和东北三省高等教育发展水平也比较高。贵州、广西、河南、安徽等地区高等教育发展水平比较落后。
MATLAB程序如下：
MATLAB中与主成分分析有关的几个函数：
求协方差矩阵cov(X)或cov(x, y)；
计算特征值和特征向量e=eig(a)，得到的e是一个包含矩阵a的特征值的矢量；[v,d]=eig(a)，得到的d为对角阵，其对角元为a的特征值，且将特征值按由小到大的次序排列；v是一个与矩阵a阶数相同的方阵，它的每一列是矩阵a的一个特征值所对应的特征向量。v的第j列与d的第j个对角元相对应。
进行主成分分析用princomp( )函数。
SPSS中进行主成分分析的过程：
（1）在SPSS中，打开对应数据文件，依图8.3.2所示点击菜单“分析→降维→因子分析”（SPSS中，主成分分析和因子分析属于同一个总选项，操作界面相同，只是选项有所不同），出现“因子分析”对话框（见图8.3.3）。
图8.3.2 SPSS因子分析菜单
图8.3.3 SPSS因子分析菜单设置
（2）选择参与因子分析的变量。(www.xing528.com)
①“变量”框：选取参与因子分析的变量。这里选择X1到X10。选取不同的变量，结果是不一样的。
②“选择变量”框：如果空置，全部参与数据因子分析；如果选择该项，则根据选择变量的给定值来筛选参加因子分析的数据。
下面对图8.3.3右侧的按钮进行重点说明：
（3）单击“描述”按钮，可输出描述统计量和初始分析结果。
图8.3.4 因子分析菜单设置
（4）单击“抽取”按钮，系统弹出图8.3.4（a），因子分析有关控制参数设置：因子提取方法，默认的是主成分，即进行主成分分析；如果不选主成分，对于因子分析，点击下拉菜单倒三角
，出现多种方法供选择，可以根据实际情况选择一种方法。
碎石图是特征值（方差）的图像表示，可以直观地给出特征值的大小。
提取因子数，默认的是特征值大于1，若想输出所有的因子，填0，也可以直接填上要提取的因子个数。
（5）单击“旋转”按钮，弹出图8.3.4（b），选择旋转方法：主成分分析选默认的“无”，如果是因子分析，根据实际情况选择（如后面对例1继续进行因子分析时，选择最大方差法）。
载荷图可以直观地反映选取的主成分（或因子）与原始变量的相关性。
（6）单击“得分”按钮，弹出图8.3.4（c），选择将因子得分“保存为变量”时，会在数据集上，添加新变量FAC1_1、FAC2_1、……来保存因子得分，可以根据因子得分进行排序。
完成所有设置后，单击“OK”按钮，便可输出系列结果。
这个数据集的点是10维的，每个观测值可看成是10维空间中的一个点。这里的初始特征值initial eigenvalues就是10维空间椭球的10个主轴长度，又称特征值（是数据相关矩阵的特征值），最大的有7.502 159，占所有特征值总和（又叫总方差）的75.021 586%[=7.502159(7.502159 +1.577 +0.536 +0.206 +0.145 +0.022+…)]。
前两个主成分的特征值累积占总方差的90.791 458%（=75.021 586%+15.769 872%），后面的特征值的贡献越来越少，这里，选前两个主成分即可。碎石图（见图8.3.5，特征值的图示、连线的陡峭程度直观地展示了特征值变化的大小）直观地展示了这一点。
图8.3.5 10个成分的特征值的碎石图
主成分是原数据10个变量的线性组合。前两个主成分具体怎么表达呢？SPSS输出成分矩阵表（Component Matrix），见表8.3.4、表8.3.5。
表8.3.4 成分矩阵
表8.3.5 成分得分系数矩阵
表8.3.4的每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数，系数称为主成分载荷，它表示主成分和原始变量的线性相关系数。它分别是数据相关阵的各个特征值所相应的特征向量，这里它不是单位向量，而是单位特征向量乘以相应特征值的平方根（称为载荷）。载荷为对应的主成分（因子）和原变量的相关系数，这也是单位特征向量乘以相应特征值的平方根的原因。相关系数（绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。这里，第一主成分对各个变量解释得都很充分（相关系数（绝对值）都比较大），而其后的主成分则不然。
为了更直观地解释主成分所代表的意义，把第一和第二主成分对应的载荷配对，画出载荷图（loading plot），直观地显示了如何解释原始变量。
新增变量FAC1_1、FAC2_1的值，即因子得分是如何计算出来的？它们等于表8.3.5中成分得分系数和对应变量标准化后值的乘积之和。这里，标准化的具体计算：如某变量的均值74.98，样本标准差9.688，则65对应的标准化后的值为
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