电流传输导热问题的数理方程解析

在常电流作用下，由于电流在导体内部做功，导线发热。导线热量来源主要为三类：导线内部的直接传热、导线表面与周围介质的热交换以及常电流在导线内部做功产生的热。假设导线在同一截面上的温度均相同，热量与时间t和位置x有关。

首先考察无热源情况下导线内部的热传导问题。以函数u（x，t）表示该物体在时间t和位置x的温度。根据傅里叶导热定律，导线在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与导体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比，即

在导线内任取一闭曲面Γ，它所包围的区域记为Ω，根据上式对该柱体进行积分，从时刻t1到t2流进此闭合曲面的全部热量为

流入的热量使物体内部温度发生变化，在时间间隔（t1，t2）中物体温度从u（x，t1）变化到u（x，t2），它所吸收的热量为

因此成立

假设函数u关于变量x有二阶连续偏导数，关于t有一阶连续偏导数，利用格林公式将上式化为

交换积分次序，可得

由于t1，t2与区域Ω都是任意的，则

即得

当导线内部有热源（即电流做功）时，设在单位时间内单位体积中所产生的热量为F（x），方程形式为

其中

根据电流强度i和电阻系数r，由焦耳定律，电流在截面上的功率为，乘以功热当量则(www.xing528.com)

根据牛顿冷却定律，从物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比：

dQ＝k1（u－u0）dSdt

故单位时间内单位体积中与外界热交换热为

因此

故在常电流作用下，导线的温度满足微分方程

假设导线长为，始末端均为介质温度u0，初始时刻导线的温度分布为φ（x），则将问题转化为在区域t＞0，0＜x＜l中求解如下定解问题：

该微分方程中同时含有及u，不方便解出，故先做未知函数代换u＝u0＋v（x，t）e－βt，其中。代换后形式如下：

其中，。

此定解问题为非齐次方程非齐次边界条件的问题，可通过将其分解为齐次方程非齐次边界条件和非齐次方程齐次边界条件两个问题，再结合齐次化原理求解。

求解可得

即为原方程的解。