热误差建模理论探讨

通过实际的测量数据来提取机床温度和热误差模型之间的关系，并用一种数学函数形式表达出来，就建立了热误差模型。热误差模型在软件补偿技术中用于根据机床温度预测热误差的值，因此其是决定补偿精度的关键环节。

之前在第2 章也说过，要提升热误差模型的品质，除了选择合适的建模算法外，确定作为模型输入变量的机床温度测点位置十分关键，通常将确定的温度测点位置称为温度敏感点。因此，机床热误差建模包括两个关键点，即温度敏感点的选择和建模算法的选择。

目前，大量研究基本上采用分类选优的方式来选择温度敏感点，如图4-9所示，先对所有温度测点进行分类，将相关性强的温度测点归为一类，然后从每一类中选择一个对热误差影响权重最大的作为温度敏感点。对温度测点分类的目的是减小温度测点之间的共线性，因为从数学角度来说，共线性越小，越有利于提升后续建模算法建立模型的预测精度和稳健性。

建模算法最常用的包括多元线性回归、神经网络等，这些算法有共同的特点，即均源于残差平方和最小化思想，残差平方和见式（4-6）。

其中　yi——热误差的实际测量值；

　　　——热误差模型的预测值；

　　　n——测量数据的长度。

图4-9　分类选优温度敏感点选择过程

残差平方和反映了热误差模型预测结果和实际测量结果之间的差异程度，其值越小说明模型精度越高。残差平方和最小化的思想即确定模型的系数或参数，使输入变量测量值代入模型后，得到的模型预测输出值和输出变量测量值接近程度最高。

多元回归和神经网络算法的区别在于模型形式的不同，进而求解满足残差平方和模型参数的算法也不同。多元回归模型用于输入变量和输出变量呈线性关系时的情况，模型形式是线性多项式的形式见式（4-7）。(www.xing528.com)

其中　x1，x2，…——模型的输入变量；

　　　y——输出变量；

　　　k0，k1，k2，…——待求解的模型系数。

多元回归模型形式比较简单，利用最小二乘算法，通过一个公式就能直接求出满足残差平方和最小化的解。

神经网络模型形式为网络节点的形式，如图4-10 所示。

图4-10　神经网络模型

如图4-10 所示，神经网络包括多层节点，输入变量从第一层节点进入，经过处理传递至下一层节点，直到最后一层产生输出。每个节点都包含一些参数，理论上，如果神经网络的节点层数和每层的节点数量合适，无论输入变量和输出变量之间的关系多么复杂，均可以进行拟合。神经网络处理非线性数据的优势较大，但其模型形式的缘故，无法像多元回归那样通过公式直接求出满足残差平方和最小化的网络参数解。因此神经网络采用多次调整的方式进行建模，每一次调整均会使残差平方和小一点，直到残差平方和小到满意的程度即认为完成建模。通常将神经网络调整模型参数的建模算法称为反向传播（BP）学习算法。

除了模型对热误差的预测精度需要注意以外，模型的稳健性对于工程应用来说也是必须注意的问题。稳健性对于热误差模型来说，可以看作模型在长时间内（如几个月或一年），抵御工况环境下各种外部干扰并维持热误差预测精度的能力。模型在一定条件范围内始终保持较好的预测精度的能力，称为模型的稳健性。稳健性的强弱与模型使用条件、范围、大小密切相关。如数控机床就涉及环境温度范围、机床主轴转速范围、工艺参数设置范围等。使用条件越宽泛，稳健性越好。工程影响因素复杂，某些系统误差难以找出，但仍在一定条件下存在影响。如某些系统误差会在特定条件下（如温度场、切削量、进给量等）耦合激发出现等。相对于工程应用建模来说，实验室研究成果往往存在模型使用条件、范围狭小的问题。模型稳健性越差，意味着机床热误差补偿功效的有效条件越苛刻，可有效使用范围越窄。工程应用中，稳健性是精度的基础，没有稳健性的精度不能称为机床的精度。精度和稳健性两者相辅相成，缺一不可。机床的精度必须是在一定稳健性条件下的精度，故机床的精度必须附上保持精度的参数条件。

热误差模型精度和稳健性的提升是热误差补偿技术研究的重点和难点，本著作后续会对目前建模算法的稳健性进行详细分析。