外部评价、内部评价与素养相关性的探讨

2021年第一次考试、2019年9月第一次教学的IB新数学大纲把原有的课程设置彻底推翻，分出两大方向，并同时开设标准水平和较高水平。

对于“分析与方法”方向，它主要强调代数方法，在数学思维上发展学生较高的技能，并同时重视抽象和实际数学问题的解决，它主要为将来想修读数学、工程、自然科学和某些经济科学而准备。

对于“应用和解释”方向，它主要强调建模和统计，在把数学应用到现实生活方面发展学生较高的技能，重视使用技术进行现实数学问题的解决，它主要为将来对社会科学、自然科学、医药、统计、商业、工程、一些经济科学、心理和设计等方向的学生而准备。

IB组织本轮课程改革为何会对数学课程做出如此之大的改动？按照IB官方的说法，主要是考虑为学生更加适应大学和社会发展的需要而进行调整，也是为了让更多学生有更多的选择权，等等。其中最核心的一点，社会发展的需要是什么？中华人民共和国国家层面颁布的一些文件恰好回答了这个问题。

如本章开篇所述，2019年7月，科技部、教育部、中科院、自然科学基金委联合制定了《关于加强数学科学研究工作方案》（以下简称《方案》），提出在国家重点研发计划中设立“数学与交叉科学”重点专项，支持高校和科研院所建设基础数学中心，支持地方政府依托高校、科研院所和企业建设应用数学中心等一系列举措。《方案》表示，数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础。数学已成为航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑。《人民日报》为此也发声指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”“统计计算、模型算法……数学不止用于星空之上，也用于社会之中。”为何要学数学？《人民日报》援引中国科学院国家数学与交叉科学中心、科技日报等的信息称，“世界上任何一枚火箭的设计制造，都离不开一个公式：齐奥而科夫斯基公式；航天器何时发射是可以用数学算出来的；数学可以用于国防安全，定量化分析、建模用于现代战争；数论用于信息的‘加密’与‘解密’；数学与生物医药：生命现象可以通过数学模型研究；用数学可以辅助精准医疗；数学与信息：没有快速傅立叶变换，就没有当今互联网；数学可以解决物联网中的关键科学问题；数学与能源：偏微分方程组、几何学关系电的安全；数学也能用于油气勘探；数学与海洋：大数据实现天气预报；数学模型可以预测海啸；数学与人工智能：人工智能归根结底是算法：数学让人工智能成为规范的科学；数学与先进制造：CAD核心功能建立在计算几何等数学基础上；数学用于高档数控机床的数控系统……”中华人民共和国国家层面已经把数学学科的重要性提高到前所未有的高度。

IB组织这次对数学课程的“大刀阔斧”的改革极大地显示出IB课程与时俱进的本色。

数学的第一个层面是由抽象概念和总结所驱动的数学知识，它们可能在实际生活层面没有直接的应用，它们建立在公理之上，以猜想和逻辑推理等方式形成数学理论。我们生活的世界及其运行无时无刻不与这些数学理论有关，尽管我们并没有完全意识到。IB数学新课程“分析与方法”就是在为学生向这个层面的数学发展准备必要的技能。学生需要经常探索规律，构建猜想，寻找证明方法，包括直接证明，反证法证明或归纳法证明等，学生在这门课程中极大地锻炼其分析和推理的数学思维能力。

图1-2　IBDP数学课程模型

数学的第二个层面是直接用数学描述现实世界并解决实际问题，这种情况经常是在其他学科的背景之下进行的，数学被当成一门语言和工具来探索我们的世界，分析趋势，进行预测，发现关系等。在这样一个数据和技术无处不在的世界里，建模与预测变得越来越重要。IB数学新课程“应用与解释”就是在为学生向这个层面的数学发展准备必要的技能。学生需要经常使用技术手段在现实情境下搜集数据、建立模型并做出预测等等，从而在这门课程中极大地锻炼使用技术进行数学建模和问题解决的能力。

评价是教与学必不可少的一环。IB文凭项目最重要的评价目标是：评价必须支持课程目标，鼓励学生进行合适自己的学习。IB认可两大类不同的评价方式：形成性评价和终结性评价。形成性评价能够及时反馈教与学的过程，促进教师根据学生掌握的情况及时调整教学方法，提高教学质量和效率。同时，形成性评价精确地找出学生的优势和弱项，帮助他们更好地发展对数学的理解，促进数学能力的提高。终结性评价给出以往学习情况的总体评估，倾向于测量学生的学业成就。IB文凭数学课程主要聚焦在终结性评价方面，以便在课程结束时记录学生成就。然而，IB鼓励教师使用终结性评价的资源进行各种形成性评价。

IB使用的评价标准是以标准为基准（criterion-related）的，而不是以常模参照（norm-referenced）的。也就是说，这种评价方式根据学生在学科领域的成就水平和表现进行评价，而不会与其他学生的表现进行对比。为此，IB设计了各种类型的评价手段和方法协助赋分，包括评价标准（assessment criteria）、分数带（mark bands）、分析型评分方案（analytic mark scheme）、评分注释（mark notes），等等。

IB数学的评价系统主要由两大部分组成——外部评价（External Assessment，或者EA）和内部评价（Internal Assessment，或者IA）。IB的外部评价，说得直观一点就是考试。外部评价的内容主要覆盖IB数学大纲的5个话题，涵盖数与代数、函数、几何与三角、概率统计和微积分。IB数学课程提出了12个基本数学概念贯穿整个教学的始终，它们是：估计、变化、等价、总结、建模、规律、数量、关系、表示、空间、系统及有效性（具体解释请见本书第二章）。内部评价是运用所学国际文凭数学课程的知识，写一篇数学探索的论文，主题自定。从具体操作上看，外部评价由IB组织网络中的阅卷人（考官）进行批阅评分，而内部评价先由校内教师对照评分标准进行内部评分，然后由IB的电脑管理系统抽取样本上传给外部考官对内部评分结果进行复核，复核结果可能会有所调整。

需要注意的是，IB考试允许学生全程使用公式手册（Formula Booklet）。另外，对于“分析与方法”课程，学生在一卷不可以使用计算器，其他试卷均可使用计算器。对于“应用与解释”课程，学生在所有试卷中均可使用计算器。计算器有指定的多种型号，包括卡西欧与德州仪器等多种品牌，但有些具有高级功能的计算器或部分功能会被禁用。

外部评价的一卷、二卷和三卷均覆盖IB数学课程大纲的全部内容，如下图所示。

图1-3　IB数学课程主题分布图(www.xing528.com)

2021年第一次考试的新大纲的考试模式如下表所示。

表1-5　IB外部评价2021版

IB数学新课程评价与素养的关系请见下表：

表1-6　《IB数学新课程的评价目标表》

（备注：阴影部分表示两个不同课程在素养考核的占比有所不同）

外部评价的三卷是一张全新设计的试卷，是IB组织在课程调整中推出的重大举措，其根本目的是为了促进培育学生“问题解决”的素养。

三卷的问题设置风格会与一卷和二卷有明显不同。一共设置两大题，每道大题设置很多小题以一步步引导学生解决问题，题目总的行数会达到23—32行。小题目的设置基本是从容易的入手，然后难度逐渐加大。值得关注的是，三卷的题目通常为把学生熟悉或者不熟悉的数学使用于他们并不熟悉的情境中。因此，有可能三卷的题目会涉及并不在教学大纲内的数学内容。在这种情况下，题目会给予学生足够的信息和支持，使他们有足够的资源能够顺利完成题目。

从《IB数学新课程的评价目标表》可以看出，三卷的评价目标较一卷和二卷而言，更多地强调了探究方法，而一卷和二卷更强调知识和理解。这就意味着，三卷的题目所直接覆盖大纲的内容会较窄，但相对聚焦，因此，题目会比较长。

三卷强调问题解决和探究方法，因此，它要求学生展示如下素养与能力：

问题解决：回顾、选择并使用他们已有的数学技能、结果和模型，在抽象和现实的情境下解决问题。

探究方法：研究不熟悉的情境（抽象和现实的），组织和分析信息，作猜想，推导结论，检测结论的有效性。

对于“分析与方法”这门课程来说，三卷的题目可能要求学生找到一般规律并验证或非正式地说明其合理性，或者对结果进行证明。对于“应用与解释”这门课程来说，三卷的题目可能要求学生使用课程中所学的数学知识给出一个现实情境下的数学问题的求解过程。

三卷题目的设置可能会让一些同学感觉不那么顺利，特别是当他们在前面的题目就遇到挑战或困难的时候。基于此，三卷的题目设置会比较特别，如果前面的问题没有正确回答，一般不影响后续题目的解答。其采取的命题办法是，前面的题目一般是要求学生说明为什么给定的一个结果是正确的，这样，即使学生无法完成，也可以使用这个正确结果继续完成后续的任务。此外，尽管题目的设置会尽量采取“由易到难”的方针，然而，根据题目的特点，有时会出现前面的反而容易出错，后面的某个题目只是前面一个结果的简单应用。因此，学生需要花时间仔细读题，并根据整个题目的设置方法来决定自己的答题策略，先答什么，后答什么。

从以上分析可以看出，三卷重点考察了问题解决能力，同时与一卷和二卷相比，它更加强调对学生决策能力和总体数学素养的全面检测。

数学内部评价——数学探索更是从各个方面提升学生的数学素养，可参见本书第二章的具体内容。