华应龙教育：数学随笔十周年纪念版

著名的苏格拉底方法为很多教师所熟悉。下面的对话引自柏拉图的《美诺》，是苏格拉底方法的范例，是精心制作的一节课。

苏格拉底：请告诉我这是否是正方形？你能否理解？

奴隶：是。

苏格拉底：我们是否可以在这里加上一个相等的正方形？

奴隶：是。

苏格拉底：有了两个是否还可以加上第三个？

奴隶：是。

苏格拉底：最后在这个角上是否还可以再添上一个？

奴隶：是。

苏格拉底：这里是否共有四个正方形？

奴隶：是。

苏格拉底：现在整个图形是原来图形的多少倍？

奴隶：4 倍。

苏格拉底：但你是否记得，它应该是某个图形的2 倍？

奴隶：当然记得。

苏格拉底：从顶点到顶点联结这样一条直线，是否就将正方形分成两个相等部分？

……

苏格拉底：（问奴隶的主人美诺）亲爱的美诺，你是怎样想的，他是否表达了任何不是他自己的意见？

美诺：没有，全部是他自己的想法。

这正是苏格拉底所自称的，讲师只是助产士，他把我们自己的思想表达出来，而不是表达他自己的思想。让人非常兴奋的是，在我校“‘课堂上，我们的退与进’专题研究月汇报课”上，施银燕老师的“中括号”一课完全是苏格拉底方法的现代演绎。

一句话就可以解决的“中括号”，有什么好讲的呢？正因其平常才更显神奇！

一、“前参”交流

师：首先，有请今天的精彩两分钟！

生：同学们，我们都知道，平时我们用的数字叫“阿拉伯数字”，是古代印度人发明的，后来传到阿拉伯，又从阿拉伯传到欧洲，欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，就把它们叫作“阿拉伯数字”。

数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。现在常用的有200多个，小学课本里就有十来个。它们都有一段有趣的经历，今天我给大家简单地介绍一下几个运算符号的来历。

加号曾经有好几种，现在通用“+ ”号。

“+ ”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。16 世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“più”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“+ ”号。

“- ”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“- ”了。

也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“- ”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“+ ”号。

乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特在1631年提出的；一个是“ ·”，是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”号像拉丁字母“X”，故赞成用“ ·”号。到了18 世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号。他认为“×”是“+ ”斜起来写，是另一种表示增加的符号。我就简要介绍到这儿，谢谢大家！

师：感谢这位同学带来的精彩！没想到，这么简单的数学符号，还都有一段不简单的身世！

很显然，这次的课前“精彩两分钟”是教者精心策划的。题材的选择和加工彰显了老师的良苦用心：“没想到，这么简单的数学符号，还都有一段不简单的身世！”学生画龙老师点睛，师生合作其乐融融。既是精彩两分钟的总结，又是其后教学的铺垫。

二、活动探究

1.游戏，感受中括号产生的必要

师：下面，我们就用这些数学符号，来做一个小游戏，好吗？请添上适当的数学符号，使下列等式成立。

18236=18

生1：18 除以2，再除以3，然后乘6。

生2：18×2÷3+6=18

生3：18×2-3×6=18

生：（齐） Yes！

师：（故意地）咦，我怎么算不到18 呢？18 乘2 等于36，36 减3 得33，33 乘6，不等于18 呀？

生1：不对，应该先算18 乘2 和3 乘6，18 乘2 得36，3 乘6 得18，36 减18 就是18。

生2：加减乘除在一起，应该是先乘除，后加减。

师：原来如此！先乘除后加减是四则混合运算的一个法则。既然是法则，人人都要遵守，包括施老师。

苏格拉底就常这样以自己的“无知”唤醒学生的“已知”。

师：那么，什么时候可以像排队一样，从前往后依次计算呢？

生：如果算式中只有加号和减号，那么谁在前就先算谁；如果只有乘号和除号，也是谁在前就先算谁。

师：是啊，同一个级别的，都是平等的，那就排着队来。

生：我还有两种方法：18÷2+3+6，18÷（2×3÷6）。

（师生鼓掌。）

师：还是这四个数，18，2，3，6，能让得数等于33 吗？

生1：18 除以2 等于9，9 乘3 等于27，27+6 等于33。

生2：我可以用刚才的第三个式子变一变：18×2-3 的外面加上个括号，然后再……（很不好意思地）我看错了。

生3：18×2+3-6=33。

师：（出示：18÷2×3+ 6=33）如果我把得数变成81，那么这个等式肯定是错误的，你有什么办法让这个等式成立吗？

（片刻之后——）

生：在3+ 6 的外面加上括号，就行了。

师：（指小括号）这是什么？有什么功能？添上括号，怎么算到81 的？

生：18 除以2 得9，3 加6 得9，九九八十一。

师：是的，小括号是一个很特殊的数学符号，它可以改变运算顺序，它里面的必须先算。

“添上括号，怎么算到81 的？”自然而然的苏格拉底式的发问，是复习，更是一种解决问题策略的引领：“是的，小括号是一个很特殊的数学符号，它可以改变运算顺序，它里面的必须先算。”我尝试过，如果没有这样的一问，当有学生创造出“中括号”一类的符号后，相当一部分学生会不明就里；明白的学生，表述也大多磕磕绊绊。

师：（屏幕上的得数变成1）你能让这个算式的得数等于1 吗？

生1：18 除以2，再减去3 加6 的和。

生2：你这么说是不对的，如果是减的话，那就等于0 了。应该是1 8 除2，再除3 加6 的和。

生3：我想给你纠正一下，读“除以”而不是“除”。

（生点头称是。）

师：这么变，倒是等于1 了。但是，我们再看看要求：添上适当的数学符号，使等式成立。

师：是啊，不许改变，只许添加。

学生回答中的问题，老师指出得多么艺术！不是某个人的意志，而是题目的要求。规则意识就该这样一点点构建起来。这么一“逼”，好多学生一筹莫展。“行到水穷处，坐看云起时。”“中括号”已经呼之欲出了。

生1：18 除以2 乘3 加6 的积，后面再加一个括号。

师：把你的想法写下来，好吗？

［生1 在黑板上写下了：18÷（2×（3+ 6））］

多好的创造！学生“再创造”出来了。如果教师不退出来呢？如果知道“中括号”通常写法的学生抢了这个先呢？此乃天成，真是“文章本天成，妙手偶得之”。

生2：我觉得你写的不对！应该是：18÷［2×（3+6）］(www.xing528.com)

（边说边来到黑板前修改）

师：（指着“［ ］”问）这是什么符号？你为什么不像刚才那位同学那样，继续用“（ ）”，非要用这么一个新的符号？

生1：这是中括号，因为小括号外面还要加一个括号，就要用中括号了，如果再用小括号，就把原来的两个数给分开了。

生2：我认为不可以用小括号。因为，中括号的作用就是：首先要先算小括号里面的，再把中括号的数加、减、乘、除小括号里的，再用中括号外面的数加、减、乘、除它。

生3：小括号外面就得用中括号，中括号外面就要用大括号了。

师：同学们知道的知识还真不少！一开始，第一个同学在2×（3 +6）的外面又添加了一个小括号，他的想法是完全正确的。但是，好多同学都给他提意见了，大家认为，小括号外面如果还要加一个括号的话，为了和“（ ）”区别开来，得换一种形式了。这样就产生了“［ ］”——中括号。就像衬衣外面就不再穿衬衣了，得穿外套。这样可以表示得更有层次，更清楚。“［ ］”是代数的创始人——数学家魏治德首先发明并使用的。

咀嚼回味“（指着‘［ ］’问）这是什么符号？你为什么不像刚才那位同学那样，继续用‘（ ）’，非要用这么一个新的符号”，活脱脱苏格拉底弟子的形象浮现眼前。

学生1 二合一的右括号，不正好说明了（ ）外加（ ）有道理，但读、写时却容易出错，容易引起各种误会。老师肯定他完全正确，应该！“衬衣”和“外套”的比方，新颖、有趣、贴切！教师进得好，好在时机；进得妙，妙在富于艺术性。

2.讨论比较，掌握四则混合运算的顺序

师：这个又有（ ），又有［ ］的算式，（ ）里的要先算，［ ］里的也要先算，到底按照什么顺序计算呢？

生：先算小括号里面的，再算中括号里面的。

师：是的，别看小括号“小”，但因为它在里边，就数它最厉害了，最先算的还是（ ）里的，然后才是［ ］里的。说说，怎么算到1 的？

生：先算小括号里的3+6 得9，再算中括号里的2×9 得18，最后18÷18 就等于1。

师：刚才我们认识了［ ］，知道了含有［ ］的算式的运算顺序。说说下面三题的运算顺序，再算出得数。

9 0 ÷ 1 0+5 × 2

90÷ （10+5） ×2

90÷［（10+5）×2］

师：（算第3 题的时候，有几个反应快的学生举起了手，生A 第三次自己站起来抢着发言，师示意其坐下）稍等一下，可以把机会让一让吗？你看，同学们都在举手呢！你也不是小括号，对吧？

“你看，同学们都在举手呢！你也不是小括号，对吧？”真是神来之笔！在当下的课堂上，常常可以看到少数“资优生”尽显风流。怎么办？不“进”，不该；“进”得不好，首先是必定打消“资优生”的积极性，再如果课上有如此能量的学生与老师对着干，那可不是闹着玩的。“你也不是小括号，对吧？”智慧的话语，醍醐灌顶！

（算完之后）

师：比较一下，这三道题有什么相同的地方，又有什么不同的地方？你有什么想法？

生1：相同的地方，就是三道算式的数都一样。不同的地方是第一个算式没有括号，第二个算式有小括号，第三个算式既有小括号又有中括号。

生2：相同的地方还有都用了除、加、乘。

生3：三道题的得数也不一样。我还发现，括号越多，得数越小。

师：数都一样，运算符号也都一样，唯一的区别就是括号的不同。括号不同，实质就是什么不同？

生：（齐）运算顺序不同。

师：运算顺序不同，得数也完全不一样。看来运算顺序非常重要。刚才那位同学发现括号越多，得数就越小。挺有意思的一个想法，到底是不是这样呢？同学们可以课后去研究。

“千金难买回头看”。“比较一下，这三道题有什么相同的地方，又有什么不同的地方？你有什么想法？”老师引导学生做“聪明的解题者”。对于学生的发现，老师“进”了又“退”：“刚才那位同学发现括号越多，得数就越小。挺有意思的一个想法，到底是不是这样呢？同学们可以课后去研究。”尊重了学生的创见，留有研究的空间。

3.动笔计算，学会有理有据地表达

师：刚才的几道题尽管步骤不少，但数据很简单，所以我们可以直接算出得数。但是，更多的时候，我们可没那么幸运。如果数据比较复杂，要有条理、有根据地把计算的过程表达出来，我们通常用什么形式？

生：脱式计算。

师：好的，看这道题360÷［（12+6）×5］，脱式计算，在课堂本上试着完成。

（师巡视，两分钟后，指名展示）

=4

生：（小声地）错了！怎么这样啊！第一步360 到哪儿去了？

师：我觉得你的想法好像没错，我能明白你每一步要做什么，同学们明白吗？同学来评价。

生2：我知道，他是想先算小括号里的12+6=18，再算中括号里的18×5 得90，最后用360÷90 就得4 了。

师：是呀，顺序没错，计算也很细心，只是表达起来有点小问题！谁能帮帮他？

生3：脱式计算应该是这么做的：没有计算的都要抄下来，先算的不要抄，把得数写下来就行了。

生4：我想问问你：“=”是什么符号？

生1：（疑惑不解地）等号！

生4：对了，等号表示的是相等！你这么做，一会儿等于18，一会儿等于90，一会儿又等于4，就不相等了。

师：就是这个道理！为了保证每一步都相等，先算的我们就写出得数，没算的就要原封不动地抄下来。

（生1 在黑板上写出了正确的过程。师注意到生1 写得特别工整，等号都用直尺画。）

师：对了吗？生1 真会学习！另外，我特别喜欢他画的等号！一位数学家认为，用两条平行且完全相等的线段来表示相等，是最恰当不过的了。他写的完全是数学家心目中的等号！

（全班学生给予生1 热烈的掌声。）

对于学生1 显然的错误，老师竟然“我觉得你的想法好像没错”，看到了学生思维成果的合情成分、正确成分，难能可贵！当然，这种错误产生的原因是学生只知道“=”是为了得出结果，而忽视了“=”最根本的含义：表示相等。“我觉得你的想法好像没错”，不是老师“进”来简单地告诉，而是给学生们一个思考和表达的时空。正因为老师的尊重，所以学生1 修改得特别工整，等号都用直尺画。又因为学生1 等号都用直尺画，才给我们带来了老师充满智慧的评语，“他写的完全是数学家心目中的等号！”“他写的完全是数学家心目中的等号！”这样的话语，不说不是错，说了更精彩！当然这样的话语，只有具备相当数学教学功力的人才能看到和说出。这是不可能事先预设的，只能是在事到临头的生成状态下考量教师的专业功底。游刃有余地解牛的庖丁，依附的是对牛的透析、精准的把握。我明白了为什么有的人模仿苏格拉底的方法只能“形似”不能“神似”的原因。

生5：（实物投影展示：360÷［（12+6）×5］=360÷（18×5）=360÷90=4）我第一步把（ ）里的算完之后，就把［ ］改写成（ ）了。我有一个问题想问问大家：这里18×5 的外面到底应该是保留［ ］还是改成（ ）？

生6：我认为［ ］里已经没有（ ）了，就应该把［ ］改成（ ）。

生7：我认为应该保留［ ］，因为（ ）里已经算完了，您刚才还说，没算的要照抄，［ ］也应该抄下来。

生8：我不同意！（ ）外面才加［ ］呢。我认为（ ）里的算完以后，（ ）都没了，［ ］当然得改成（ ）。

师：多少个同学同意改成（ ）？（绝大多数同学举起了手）你们的意见是（ ）都没了，单独的［ ］看上去很不舒服，就像没穿衬衣就穿外套一样？（学生点头认可）还有一些同学坚持保留［ ］？（三四个同学举手）大家的意见不一致。这样，我们一起请教身边的老师——打开数学书，翻到74 页。看看书上是怎么写的？

生：（或兴奋或沮丧地）保留中括号！

师：其实，两种做法都完全正确！不过，我个人更喜欢保留中括号的那种。理由恰恰是因为这个看上去不太舒服的［ ］，能够表达更多的信息：看到这个［ ］，我就知道，它的上一步刚刚完成了（ ）的运算，我还知道，下一步就要算［ ］里的了。而且，这么写，不需要作任何的改变，所以也就不容易出错。我这么说，大家同意吗？

生：同意！

师：同意，我们就这么做！

老师的“退”是为了更有效地“进”。脱式的书写，老师不讲，放手给学生尝试，“进”来之后，也是充分尊重，没有生硬地“强加于人”，而是言之有理。记得在音乐里，4、7 两个音因为不够稳定与和谐，所以往往不会作为结束音。但是在乐曲进程中，由于4、7 两音的加入，反而能带来旋律的变化，使乐曲更丰富多样。从“不够舒服”走向“舒服”的脱式过程是否与其有异曲同工之妙？

4.去掉多余括号，进一步理解中括号的作用

师：淘气特别喜欢刚刚学习的中括号，他在自己列的所有的算式里都加上了小括号、中括号。请你好好观察，看看下列运算中，哪些括号是可以去掉不要的？

［（36+24）÷15］ -18

24×［19- （2×6）］

320÷［5×（26-18）］

15×［4×（12+ 22）］

（学生小组讨论后，全班交流）

师：该出手时才出手，简洁是数学永远追求的目标。

课首，添加括号；课尾，去掉不必要的括号。中括号的作用在一加一减的对比练习中得到了很好的突出。给我的体验是：数学从某个角度说就是符号的乐园。

三、总结延伸

师：我再问大家一个问题：为什么要有［ ］？

生：因为（ ）外面还要先算的部分，就要加［ ］。

师：那么，有了［ ］以后，是不是所有的问题都解决了？

生：还要有大括号！

师：那么加了大括号之后呢？其实，无休止地加括号没有意义。我们一般用到｛ ｝就够了。计算机要做的运算常常非常复杂，而用计算机编写程序计算的时候，只用一种（ ），一层一层地往上套，是不是很有意思？有兴趣的同学课后可以去查找相关的资料。

由中括号自然地拓展到大括号，再意外地回复到小括号，真是课已终，而意无穷。我想有兴趣的同学一定不会少！