《量子空间》书中的神秘礼物

其实，理论物理学家并不是对着一张空白的草稿纸，或者一块空白的黑板开始工作的。可以用来描述基本粒子或整个宇宙的物理学理论，在数学结构上可能有多种可能性，但并不是无穷无尽的。而且，尽管命运青睐具有叛逆思维的人，但先从我们已经了解的数学结构开始总归是有好处的。在革命中，斗争双方用的总是当代的武器。

想象一个理论的诞生过程并没有那么困难。过去，当已经有了很多未得到解释的经验数据的时候，科学家会努力使用熟悉的、在数学上可行的概念，如点粒子（所有的质量都集中在其中心一个无穷小的点上）、无限延伸的三维场、旋涡物体的运动和振动，等等。他们尝试以此构造出一个理论，不仅要看它能否拟合现有的数据，还要看它能否预言一些新的而且最好不同寻常的事实，以便将来通过实验和观测来验证。

如果新的数据不那么容易得到，科学家可能会尝试引入一些新的概念，构造出一个新理论，以填平理解上的鸿沟，更好地解释（即合理化）现有数据。有时候，这个过程需要对已经存在的理论概念进行全新的诠释：我们以为这个概念是这个意思，结果它代表完全不同的另一种意思。

或者，理论物理学家会从一个大想法出发，来梳理各种尝试预测大自然的理论。理论物理学家沉浸在内心的形而上学思考中，就像古希腊的哲学家一样。他们不停地问自己“如果这样或那样，会怎么样呢？”之类的问题。他们尝试用久经考验的数学结构来探索可能的答案，或者只是跟随问题本身的数学逻辑，看逻辑能把他们引领到哪里。

构建粒子物理标准模型的场理论有很多，20世纪70年代的理论物理学界对此也很兴奋，很多物理学家认为这是个绝佳的起点。

既然弱力和电磁力已经被成功统一起来，下一个问题就很明显了。如果我们把强色力也统一进来，形成一种“电核力”呢？这就意味着，原子内部的所有量子场和作用力都只是一个具有更高对称性的、更宏大的统一的场在对称性破缺之后残留的碎片。

但我们不要就此停下，不妨思考一下：如果物质粒子（费米子）与力粒子（玻色子）之间存在一种对称性，使得标准模型中的每种粒子都有一种对应的粒子，就像每种粒子都有与之对应的反粒子一样呢？如果真正最基本的物理实体根本不是粒子，而是一维、二维甚至更高维度的能量细丝（它们被称为弦）呢？

一些理论物理学家认为，为了追寻大自然的奥秘，我们需要放飞想象力——就算不至于狂野，也得很活跃才行。伟大的想法固然要受到它要解释的现象背后的物理学定律的限制，但要引领科学思考上的革命，你就不能畏首畏尾。

这一伟大的想法不可避免地带来了一些不容忽视的副作用。

理论物理学家就像在一丛极为茂密的复杂数学公式的森林中寻找猎物，很容易就会迷路（就像爱因斯坦在计算张量积分时一样），一不小心更是会丧失目标。一开始，他们迫切地追寻在数学上有意义的结果，不断地引入更为深奥的概念，以至于后来所有人都难以给这些概念赋予物理意义或者诠释。不过这并没有（也不会）给他们造成困扰，因为他们寻找的只是一个可以自洽的结构。理论物理学家并不关心普通大众能否理解，更不关心大众对此是否满意（或者概念是否易于普及）。

但第二个副作用就真的带来了严重的问题，它涉及我们对“理论”一词的理解。在日常对话中，我们对这个词的定义是十分宽泛的——关于为什么2016年6月英国公民投票脱欧，以及为什么当年晚些时候唐纳德·特朗普被选为美国第45届总统，我可以说自己有一个理论，我们都认同“这只是一个理论”。

然而，对于科学家来说，成功的理论所包含的东西要比这多得多。尽管它们的概念有时可能有些难理解，但这些理论告诉我们关于大自然如何运行的深刻含义。牛顿力学系统、达尔文的进化论、爱因斯坦的狭义和广义相对论，以及量子力学，它们都是被广为接受的理论，在其被提出的时代背景下都被认为是对现实的真实描述。在它们的基础之上，我们才了解到宇宙是如何演化的，才知道自己处于宇宙中的这个位置，从而建立理论。在复杂的西方科技文化中，我们很大程度上认为应用一系列可靠的科学理论是理所当然的事，有充分而可靠的理由相信它们。

细胞生物学家肯尼思·R.米勒（Kenneth R.Miller）曾解释，科学理论“并不是靠直觉或猜测建立起来的。一个理论是一系列解释，把一整束事实捆在了一起。它不仅能够解释那些事实，还能预言其他观测或实验将会得到的结果”。1

因此，我们可以把新的伟大的想法包裹在一个合适的数学结构外面，但如果我们不能证明它能与事实产生某些有用的联系，它就只能被称为一个科学假设，而非一个成熟的理论。不能以经验数据为基础的“理论”，其地位要低于经典的理论。

然而，哪怕是科学家，也仍然在使用“理论”一词的宽泛定义。不仅如此，在过去的几十年里，在真实世界中找到新的经验数据来证实令人兴奋的新猜想变得越来越困难，有些物理学家甚至因此流露出了降低“成功理论”的标准的倾向，尤其是那些雄心勃勃地要建立一个所谓的“万物理论”的理论物理学家。

20世纪70年代早期和中期，物理学家尝试把强色力、弱力和电磁力统一起来，建立一个大统一理论。他们的这些尝试正是一个绝佳例子，表明了一项理论进展应当如何起作用。虽然外观相似，但组成粒子物理标准模型的几种场论彼此之间是独立而分离的。我们用QCD来研究夸克和胶子，用对称性破缺的电弱力场论来研究夸克与轻子之间的弱相互作用和电磁力。

这一切当然不能让人满意，物理学家开始寻找一种可以将所有这些场与力统一到一个框架下的场论。1974年，美国理论物理学家谢尔登·格拉肖和霍华德·乔治（Howard Georgi）宣布找到了这一理论。这类大统一理论比对称性破缺后的电弱理论拥有更高的对称性和更高的数学维度。人们想象宇宙中原本只有一种大统一力，它先分裂成了强色力和电弱力两种力，这一过程发生在大爆炸之后仅仅1 0-35秒时，也许是由于与某种类似希格斯场的场发生了某种尚不明确的相互作用而导致的。^[1]随后，电弱对称性也因为与希格斯场的相互作用而被打破，产生了弱力和电磁力两种力，这一过程发生在大爆炸之后万亿分之一秒，即10-12秒时。

大统一理论的出现看起来像是带来了一些进展，但引入更高的对称性带来了不可避免的结果，就是每个粒子都与其他所有粒子发生了某种关系，而这种关系是由假想中的“X玻色子”所传递的“电核力”主宰的。在电核对称性破缺后，这些关系中的一部分仍然保留了下来，根据乔治-格拉肖理论，这意味着质子中的夸克会发生一种特定的放射性衰变，将质子转化成一个电中性的π介子和一个正电子。

“然后我意识到，这个理论意味着原子的基本组分之一——质子是不稳定的，”乔治说道，“当时我感到十分沮丧，然后就上床睡觉了。”2

这正是一个尚处于推测阶段的理论应当做的事情：做出预言。乔治之所以感到沮丧，是因为他知道质子是稳定的。之后科学家又做了很多实验，包括在地下建造一个超大的水箱，在里面放满超纯水，希望能发现质子衰变的踪迹，但实验结果都清楚地表明，质子是稳定的，它的寿命比乔治-格拉肖理论所预言的要长至少一万倍。^[2]

物理学家尝试了其他的方法，但没有得到真正的解答。从1980年开始，科学家每年开一场科学会议，围绕着大统一理论的主题来讨论，但这系列会议到1989年就停办了，因为那时候理论物理学家的注意力又转向了别的地方。这正是我们所预期的结局：如果一个理论做出的预言被证明是错误的，这个理论最终就会被抛弃。科学家会从中得到一些经验教训，而物理学共同体还会继续前行。

“或许，为了有进展，我们得把引力加进来，”格拉肖承认，“爱因斯坦一直相信引力在其中扮演了重要角色，这是爱因斯坦的信念，也是在他生命最后的30年里，指引着他走向普林斯顿的花园小径深处的目标。”3

因此，我们得到了又一个伟大的想法。也许理论物理学家之前的野心有点儿太大了，还没有完全理解要统一的东西是什么，就急于尝试建立一个统一场论。不管怎么样，粒子物理标准模型自身就充满了问题，也许先尝试解决这些问题才是最好的选择。其中一个问题被称为“等级问题”，表现在对希格斯玻色子质量的计算上。

2012年7月，科学家在大型强子对撞机实验中发现了希格斯玻色子，这无疑是一场伟大的胜利。但建造这么大的对撞机，并不仅仅是为了产生让希格斯玻色子出现在大众视野中所需要的能量，还是为了在范围很广的一系列能量下探索。这么做的原因，除了希格斯玻色子是如此重要外，还在于在它被发现之前，没有人知道它的质量是多少。

这是因为，计算希格斯粒子质量的标准量子力学理论计算方法需要对粒子的裸质量进行辐射修正，由此实现重正化。这些修正需要考虑到希格斯玻色子在运动中经历的所有不同的过程，包括短暂地产生其他粒子及其反粒子之后又复合的虚过程。既然理论要求希格斯玻色子与其他粒子耦合的强度与其他粒子的质量成正比，那么可以想见，与很重的粒子（如顶夸克）有关的虚过程一定占了希格斯粒子着衣质量^[3]的很大一部分。

总而言之，这样一来，希格斯粒子的质量将会大大增加，达到普朗克质量的量级。普朗克质量约为0.02毫克，足有质子质量的1019倍，这个质量的粒子足以用肉眼看到了！显然，一定有某些过程抵消了所有这些辐射修正，把希格斯粒子的质量“调整”回了我们最终在实验中测量到的值——大约是质子质量的133倍。

关于这一问题，有一些比较明显的解释。美国物理学家斯蒂芬·马丁（Stephen Martin）在2011年解释道：“希格斯粒子的质量中比较危险的大质量贡献被系统性地抵消了，这只能用存在某种阴谋来解释。用我们物理学家所熟知的词语来表示，这种阴谋就是对称性。”4

科学家讨论的这种对称性被称为超对称（supersymmetry）。超对称理论于20世纪70年代初由莫斯科和哈尔科夫的一群苏联物理学家首次提出，在1973年又由CERN的物理学家朱利叶斯·韦斯（Julius Wess）和布鲁诺·祖米诺（Bruno Zumino）再次独立发现。^[4]请注意，超对称理论并不是大统一理论，把它看成一块重要的垫脚石比较合适。如果自然界被证明确实是超对称的，那么粒子物理现有的标准模型中的一部分问题（但并非全部问题）就能被解决，通往大统一理论的路也会变得更加清晰。

以超对称的假设为基础的理论在费米子与玻色子之间建立了一种基本的时空联系，这类理论不可避免地要产生更多的粒子。比方说，把超对称假设应用在目前的粒子物理标准模型上的最简单的理论叫作最小超对称标准模型（MSSM），该理论认为每个费米子都有一个对应的超对称费米子“伙伴”，称为超费米子（sfermion），它其实是个玻色子。电子的超对称伙伴被称为超电子（selectron），每个夸克都有一个超夸克（squark）伙伴。

同样，对于如今标准模型中的每一个玻色子，也有一个对应的超对称伙伴，被称为玻色微子（bosino），它其实是费米子。光子、W粒子和Z粒子的超对称伙伴分别被称为光微子（photino）、W微子（wino）和Z微子（zino）。^[5]

假设粒子具有超对称性，就意味着与重费米子有关的辐射修正和与重超费米子有关的辐射修正会互相抵消。我几乎没有当数学家的经验，也完全没有数学家的能力，但以我有过的经验，可以这样举例：如果你在解一系列极为复杂的数学方程的时候，发现所有难处理的项全都被整齐地消掉了，得到的是一个有意义的数，这个时候你就会感受到最纯粹的喜悦。而这就是超对称理论所带来的结果：从原理上来看，希格斯玻色子的质量就稳定在一个合适的值上。

这类事情之前也发生过。物质粒子与反物质粒子就表明了自然界的一种对称性，但物质与反物质之间的对称性是“精确”的——带负电的电子与带正电的正电子之间除了电荷相反以外，其他任何表现都相同，质量也完全相等。而超对称则不是这样的，因为如果超对称是精确的对称，举例而言，超电子的质量就应该与电子完全相同，这就意味着超电子在大自然中的含量应该与正电子相同。^[6]但如果真是这样，我们肯定早就发现超电子了。

显而易见，我们至今没有观察到任何超粒子。这说明如果大自然真的是超对称的，那这种超对称也应该是破缺的，让已知粒子的超粒子伙伴的质量大到了迄今为止人类建造的任何粒子对撞机都达不到的程度。^[7]然而，究竟为什么会这样，我们还没有找到一个很好的理论解释。

大型强子对撞机所进行的实验已经基本上排除了最简单的超对称理论（比如MSSM）。如今，只包含一种超对称性的理论都需要引入120个额外参数，其中大多数都与自发超对称破缺有关，远远多于科学家理论上想要修正的标准模型包含的20多个参数。包含多种超对称性的理论不仅遇到了参数的问题，而且让这些超对称性都自发破缺、回到我们所知的标准模型也变成了不可能的事。

超对称假设可能有助于消灭麻烦的辐射修正，但它看起来已经不再是等级问题的“自然”解答，而且它在事实上也没能产生任何可以检验的预言。

认为超对称假设最重要的思想就是为粒子找到了对应的超粒子，这样的想法是有误导性的。确实，超粒子是超对称不可避免会产生的结果，但超对称假设中最重要的思想其实是假设费米子与玻色子之间具有本质的时空对称性。实际上，超对称与其说是一种理论，不如说是一整类理论所具有的属性——存在各种各样不同的超对称理论。

这一思路又带来了一条线索。如果我们假设广义相对论的时空是超对称的，那我们就有了一个超引力理论。1976年，美国物理学家丹尼尔·弗里德曼（Daniel Freedman）、荷兰物理学家彼得·范尼乌文赫伊曾（Peter van Nieuwenhuizen）和意大利物理学家塞尔焦·费拉拉（Sergio Ferrara）提出了超引力理论的早期版本，斯坦利·德塞尔与布鲁诺·祖米诺也与之独立地提出了一个版本。这些理论物理学家发现，采用超对称假设，可以部分解决（虽然不能完全解决）引力的量子场论中重正化的问题。看起来，与引力子相关的辐射修正中令费曼及其他物理学家困扰的无穷大的贡献，通过引入引力子的超对称伙伴——引力微子（gravitino）可以被抵消一部分。

围绕8种不同的超对称性建立起来的扩展后的超引力理论，让物理学家兴奋了起来。这一理论不仅包含引力子，还包含8种引力微子和154种其他粒子（从表面看，这似乎暗示夸克和胶子可能并不是基本粒子）。在一段短暂的时间内，物理学家相信这个超引力理论是真正的终极理论。1980年，史蒂芬·霍金就职剑桥大学卢卡斯讲席教授（牛顿也曾担任过这个职位），他在就职演讲中提出，也许理论物理学的尽头已依稀可见。当时围绕着超引力理论仍有争论，但霍金认为这是“目前所见的唯一候选理论”5。

然而，尽管超对称带来了诱人的前景，它也不能完全解决重正化问题。基于8种超对称性的超引力理论是否可重正化在今天仍有疑问，而早在20世纪80年代初，超引力理论就因难以解决这个问题而逐渐淡出了人们的视线。^[8](www.xing528.com)

随后，1982年，一位在马里兰大学理论物理中心工作的年轻的理论物理学家，阿米塔巴·森（Amitabha Sen）发表了两篇论文，马上引起了部分理论物理学家的注意。^[9]

为了理解森到底做了什么工作，我们要先另起一个话题。

在大部分物理学领域中，矢量都扮演了极为重要的角色。矢量指既包含一定的大小（小、中、大），也包含一定的方向（指向这里或那里）的物理量。物理学中最简单的矢量的例子或许就是动量^[10]了。在经典力学中，物体的动量就是物体的质量乘它的速度，它的方向也显然就是物体移动的方向（从这里到那里）。我们通常会将这样的矢量画成一个箭头，箭头的方向就是矢量的方向，箭头的长度则是矢量的大小：箭头越长，矢量的大小越大。

大小和方向都是决定一个矢量的关键因素——问一问专业网球选手他们是怎么准备发球的，你就知道了。

在量子力学中，矢量扮演的角色更为重要，甚至是根本性的。我在第4章提到过电子的自旋：电子在磁场中可以有两种（且只能有两种）取向，我们称之为自旋向上和自旋向下。这一性质可以追溯到电子的内禀角动量。我们用矢量来表示自旋，这样的矢量可以指向两个不同的方向，大小为h/4π，其中h为普朗克常数。

尽管矢量比只包含大小不包含方向的标量稍微复杂一些，但在平直的欧几里得空间中，分析移动的矢量的力学性质并不会带来太大问题。一个带有特定大小和方向（假设它向上）的矢量在受到某种物理力作用时，会从一个坐标为（x1，y1，z1）的位置移动到坐标为（x2，y2，z2）的位置，而其大小和方向都不改变，这没有任何问题。但如果我们考虑空间弯曲的情况，就会遇到麻烦了。

为什么呢？我们不妨了解一下中国人在3世纪发明的器具：指南车。这是一种两轮战车，车上有一个木雕人像，举着一根武器，指向一个方向。在指南车出发之前，人们手动设置指南车，让它指向南方。这样一来，某种内部的齿轮装置就会保证指南车每次拐弯转向以后，人像手中的武器仍然指向南方（这种指南车的发明远远早于磁铁指南针）。

图15　一辆指南车（如图中上方所示）从北极点出发，向赤道（下方）行进。到达赤道后，指南针转朝东，前行约10 000千米后再转朝北。当指南车回到北极点时，我们发现上面的人像所指的方向相对于出发时偏离了90度，这就是矢量的平行移动

我们将人像看作一个矢量，从北极点出发，在这里任何方向都是南方（见图15）。我们让人像指向一个方向，然后一直走到赤道（先不用担心到底如何做到这一点了），就相当于让指南车走过了地球表面的一条“直线”——如我们所知，这其实是一条测地线。到了赤道之后，我们让指南车转朝东，但指南车的内部装置保证了人像一直指向南方。我们让指南车向东走大概10 000千米，即地球周长的1/4，然后再将指南车转朝北，一路回到北极，在整个过程中，指南车上的人像仍然一直指向南方。

我们让指南车回到了起点，但指南车上的人像的指向却与初始方向成90度夹角。我们没有通过任何物理过程改变矢量的取向，仅仅是让它在球面上“平行移动”就改变了它的方向。

既然矢量所指的方向在任何物理学理论中都是非常关键的特性，那么，一个容许各种弯曲空间存在的理论（如广义相对论），就需要考虑到这类平行移动效应。不仅如此，这类理论还应该让平行移动效应与坐标系的选择无关，这是广义协变性的要求。爱因斯坦完全清楚地意识到了这件事。

意大利数学家图利奥·列维-奇维塔（Tullio Levi-Civita）提出了一个解决方案，它依赖于空间自身的弯曲。^[11]在我们的指南车例子里，我们不是想象指南车在地球表面上移动，而是想象我们旋转了整个地球，以让指南车沿着同样的测地线轨迹运动。这一解决平行移动问题的方法叫作球面上的列维-奇维塔联络：我们不再尝试用可能会很复杂的坐标系统（x，y，z）来描述矢量在地球表面的移动，而是让几何（尤其是对称性）自己来做这件事。这种联络就为矢量在球面上的移动提供了一种自然的方法，无须求助于不自然的坐标系。

球面联络的方法也许看起来很难懂，但实际上形成粒子物理标准模型的量子场论也可以被看作是“联络理论”。^[12]在量子场论中，量子场进行了矢量（如自旋的电子）的平行移动，而如果量子场是“弯曲”的，即它的大小和方向在各个位置不同，那么将一个矢量沿一条闭合的路径移动一圈，它在回到起点时的方向可能就和起始状态不一样了，正如指南车在回到北极点时人像指向的方向与一开始不同那样。只要我们把量子场“用钉子固定到”一个任意的平直欧几里得背景空间中，以描述矢量从“这里”到了“那里”、又回到“这里”，这样的事情就会发生。

这就是问题所在。如果广义相对论可以被重新表述成一种联络理论，也许它就能与经典场论一样被量子化了，正如麦克斯韦的经典电磁场理论被量子化而产生量子电动力学一样。然而，还有一个很大的不同点：在广义相对论的联络理论表述中，引力场是联络系统，不过我们当然没有必要把这个场再钉到一个任意的背景时空里去了。时空度规会从联络系统中自然而然地产生。

科学家很早就意识到了这一点。20世纪40年代末，爱因斯坦（还有其他独立研究该问题的科学家，如薛定谔）就尝试用一种列维-奇维塔联络系统作为主要变量来重新表述广义相对论，以将其与电磁理论统一起来。但这一过程很艰难，爱因斯坦也充满疑虑。有一次他向薛定谔评论道：“我们已经在这件事上浪费了很多时间了，得到的结果却像魔鬼祖母带来的礼物一样。”6这些重新表述广义相对论的早期尝试在数学方面陷入了困境，未能得到任何结果。

如今，以联络系统重新表述的广义相对论看起来好像抽象程度更上一层楼了，这并不是令人惊讶的事。如果其思想是要构造一个关于时空本身起源的理论，那么（我们只能接受）它几乎不可能是符合直觉、容易理解或容易视觉化的。这没办法，对不起了。

到20世纪70年代末，有科学家将类似逻辑应用于携带自旋角动量的物体的移动，提出了一种自旋联络系统，在固体物理领域有所应用。自旋联络的概念并不是新产生的——它的起源可以追溯到20世纪30年代，但阿米塔巴·森发现，它可以用来重新表述广义相对论的ADM哈密顿形式，用自旋联络来代替时空度规，这样可以导出我们更熟悉的弯曲时空。这一思路看起来很有前景：它暗示某种物体可能具有我们所期望的引力子拥有的性质。

但这个思路还只是一个停留于草稿纸上的、涂涂抹抹的想法而已。森与很多理论物理学家进行了有益的讨论，包括查尔斯·米斯纳，他还得到了在印度出生的理论物理学家阿贝·阿什特卡的“建议与鼓励”7。森在芝加哥大学读博士时，阿什特卡在那里做博士后，他们合作撰写了几篇研究论文。阿什特卡当时正成为那一代广义相对论研究者中的领军人物。^[13]他们成了亲密的朋友，经常长时间一起散步，森后来甚至还是阿什特卡1986年的婚礼上的伴郎。至今，他们仍然是亲密的朋友。

阿什特卡意识到，森的想法有望完全发展出广义相对论的哈密顿形式。后来森离开了物理学界，转行进入了电信行业，最终进入摩托罗拉公司工作。在那之后的两年里，阿什特卡极大地扩展了森的想法，推进计算结果并得到了惊人的发现。引入自旋联络不仅大大简化了方程，还让方程的形式更接近经典的场论，或许离完整的量子场论只差一步。

这不仅仅是相似的问题了：这一理论如今“有可能将量子场论中某种无疑十分有力的数学技巧引入引力理论中”。8它消除了广义相对论与基本粒子理论之间的鸿沟，又保留了广义相对论内在的对几何的强调。

1979年，李·斯莫林在哈佛大学完成了博士阶段的学习，在之后的几年里他又去了普林斯顿高等研究院、圣巴巴拉理论物理研究所和芝加哥大学做博士后研究员。正如悉尼·科尔曼所警告的那样，斯莫林没有获得任何确定的进展，甚至对于自己还能找到科研工作感到相当困惑。“一个原因肯定是，当时只有很少的一部分人在做量子引力理论研究，”他说，“因此竞争压力很小。”9至少他的同事们看起来对他的工作还是有兴趣的。

1984年7月，斯莫林被任命为耶鲁大学助理教授。几年前，森的论文刚发表时，斯莫林就读过他的论文，他尝试在森的论文基础上做一些工作，但没有立即取得成效。他从1980年开始就认识阿什特卡了，也一直与他保持着联系。1985年，斯莫林在一通电话中听说了阿什特卡关于自旋联络的研究，他意识到，这就是将量子引力变为一门真正的学科所需要的东西。“利用这个理论，我们马上就有可能计算出关于普朗克尺度上的时空结构的清晰预言。”10

于是，他邀请阿什特卡来耶鲁大学做一场报告。

【注释】

[1]有人认为这个对称性破缺的过程是暴胀子场引发的，正是这个过程引起了宇宙的暴胀。

[2]意大利物理学家卡洛·鲁比亚（Carlo Rubbia）解释道：“这个实验就是把五六个研究生送到地底下几英里处，看着一大池子水长达五年。”（引自Peter Woit，Not Even Wrong，Vintage，London，2007，p.104）

[3]着衣质量指考虑了粒子与自身的相互作用以后得出的粒子质量，即粒子和周围一团虚粒子的质量总和，区别于上文中提到的裸质量。——译者注

[4]真实的历史比这要稍微更复杂一些（这是典型现象），好几个理论物理学家先后发现和重新发现了超对称理论的基本原理。

[5]“wino”的发音大致是“威诺”。

[6]还有一个问题在于，如果超对称的确存在，那么所有的物质粒子都将是不稳定的。

[7]2017年3月，欧洲核子研究组织的大型强子对撞机ATLAS实验组发布的最新结果表明，如果超对称确实存在，假想中胶子的超对称伙伴胶微子（gluino）的质量必须超过质子质量的2 000倍。

[8]计算辐射修正需要处理“圈”的问题，其复杂程度各异。科学家证明，超引力在只含有一到两个圈的简单修正情况下可重正化，但对于更高阶的圈就不行了。

[9]森在芝加哥大学读研究生的时候已经分别在1981年和1982年各发表了一篇论文。

[10]动量也称线动量。——编者注

[11]列维·奇维塔是意大利数学家格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗（Gregorio Ricci-Curbastro）的学生，里奇·库尔巴斯特罗是张量积分的发明者，爱因斯坦正是利用张量积分表述了广义相对论。1915—1917年，列维·奇维塔曾与爱因斯坦通信，讨论与广义相对论的数学结构有关的问题。他为爱因斯坦的《狭义与广义相对论浅说》的意大利语译本撰写了序言，该译本于1921年首次出版。

[12]其实，1918年德国数学物理学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）就在寻找一种联络理论，他在寻找的过程中发现了后来被称为“规范理论”（gauge theory）的基础。这是一种特殊类型的场论，广义来讲，它奠定了所有现代量子场论的基础。

[13]阿什特卡就任美国国家科学院成员时，该机构对他表彰的致辞是：“阿什特卡对广义相对论做出了重大贡献，统一广义相对论与量子物理学，发展出了圈量子引力理论。”