《郭书春数学史自选集下册》中的《筭数书》特征及编纂方面的特点

我们再探讨一下《筭数书》的特征。首先讨论其数学内容的特征。

第一，《筭数书》有大量十分抽象的术文，体现了相当高的数学理论水平，从而部分反映了中国先秦数学在数学理论上所达到的高度。这些术文按抽象程度高低和应用范围大小可以分成两类。^[11]第一类是非常概括抽象、应用非常广泛的运算法则。这里有各种情形。

1.条名即是术名

（1）单独立条，本条中没有例题，但是，随后的条目往往是其例题。

（2）术、题在一条中。

2.条名为题名，术、题自然在同一条中

这些术文在表述上，有的，比如赢不足术，不如《九章筭术》那么严谨；有的，比如“粟求米术”，只是《九章筭术》的今有术的“子术”；有的，比如“减分术”，没有像《九章筭术》那样单独立术；人们还可以挑出一些不足；但是，就其抽象程度与应用广泛，以及在当时的数学中所起的作用而言，与《九章筭术》的若干抽象性术文是不分轩轾的。大体可以称为术文统率例题或应用问题的形式。

第二类是关于一种问题的抽象性术文。这些条目中的术虽不如上一类抽象程度高，应用宽泛，但是，其术文也不像《九章筭术》卷三、卷六两卷的后半卷以及《孙子筭经》的问题那样，术文都是具体的数字运算。

以上两类情形，充分反映了《筭数书》对数学理论的重视和取得的重大成就。采取抽象性术文统率例题的形式的比例虽稍逊于《九章筭术》，却是后来其他数学著作所无可比拟的。

将具有共性的不同的数学问题，抽象成一类数学模型，给出抽象性的术文，这是深刻的数学理论创造。先秦数学家陈子在答荣方问时提出，学习数学，必须“能通类”。他指出：“夫道术，言约而用博者，智类之明。问一类而以万事达者，谓之知道。”又说：“是故能类以合类，此贤者业精习智之质也。”[11]笔者曾经认为“这种思想实际上规范了中国传统数学的形式与特点。”[12]这种看法是不准确的。应该说，它首先是“当时存在的数学的总结”[13]，然后才规范了后来中国传统数学的形式与特点。当时存在的数学，既包括《九章筭术》在先秦以“九数”为主体的某种形态，也包括《筭数书》所源自的各种数学著作。《筭数书》含有的若干“问一类而以万事达”的抽象性术文，就是对不同类的数学模型的解法进行抽象的结果，表明创造《筭数书》数学知识的数学家在“通类”的基础上，进行了“类以合类”的艰苦工作。另外，《筭数书》有的同一条目中，既有解决同一类问题的不同的抽象性术文，也有相同或基本相同的抽象性术文。将它们归到同一条下，无疑是归类的结果。因此，就数学理论所达到的高度而言，在后来的现存汉唐算经中，除《九章筭术》及其刘徽注之外，可以说，再无居《筭数书》之右者。

此外，“增减分”条给出了分数的性质，这也是数学理论研究的体现。中国传统数学的其他著作中从未见到这种命题。

第二，《筭数书》含有若干预备知识。《筭数书》中有许多条目不是数学术文或例题，而是一些算表（“相乘”“乘”条的10的乘方乘法表、分数乘法算表），一些常数，包括各种粟米的互换比率（“程禾”“粟为米”条，以及“粺毇”条中所反映的内容），还有一些官方或约定俗成的规定，通常以“程”表示之。这些内容成为全书计算的工具或依据，实际上是全书的预备知识。《九章筭术》除粟米章有展示粟米互换比率的“粟米之法”外，没有这类内容。《孙子筭经》与后来的许多元、明数学著作中这类内容的比重相当大，通常集中于卷首。《筭数书》的这类内容是不是集中在全书的卷首，或某些卷之首，不得而知，然而，它开《孙子筭经》中预备知识之先河，则是无疑的。(www.xing528.com)

第三，《筭数书》具有非常强烈的实际应用性。数学密切联系社会实际，是中国传统数学的重要特点。《九章筭术》《孙子筭经》等著作中都有大量的来自于人们生产、生活实践的应用问题，但是，有相当多的题目是作者为阐明某些术即算法而设计的，并不是直接来源于实际的。比如，《九章筭术》开立圆术的一个例题，其立圆（即球）的直径为14 300尺，按1尺=0.23米计算，约合3 289米，世界上根本找不到这么大的球。《九章筭术》和《孙子筭经》中还有一些趣味题，如蒲莞共生、二鼠穿垣、兽禽首足、渠鱼相次等问题，也都不是来自于现实生活中的问题。因此，笼统地说中国传统数学著作采取应用问题集的形式，不仅不符合其主体采取以术文统率例题的形式的《九章筭术》的实际情况，也不符合《孙子筭经》的实际情况。而《筭数书》却没有一道不是来源于人们生产、生活的实际的题目，完全是为了解决人们日常需要这提出的数学问题而设计的。这是《筭数书》与《九章筭术》《孙子筭经》等传统著作的重大区别。

第四，与《九章筭术》和其他传统数学著作一样，《筭数书》也是以计算为中心，它70条中，没有一条不是关于计算的。即使关于分数的“增减分”条，也是如此。

第五，《筭数书》中数学问题和数学术语的表达方式，比如问题的提出与发问方式，答案、除法、分数等等的表示，十分纷杂，没有统一的格式。初步统计，数学问题的起首方式有4种，发问方式有3种，问题答案的表示方式有4种，除法的表示方式有7类19种，名数分数的表示方式有2类6种。关于这个问题，笔者有另文讨论[16]，此不赘述。

然后，我们再讨论《筭数书》编纂方面的特点。我们仅指出两点：

1.《数书》内容多处重复

（1）标题重复。在《筭数书》的70个标题中，有2条“羽矢”，2条“粟求米”，2条“少广”。

（2）预备知识重复，如“相乘”与“乘”二条中分数乘法算表有部分重复；粟米互换的“程禾”“粺毇”“粟为米”“粟求米”中重复很多，“粟求米”完全涵盖了“粺毇”条的内容。

（3）术文重复。有的，比如，“分乘”条的“分乘分术”与“相乘”条中的“乘分术”几乎完全一致；“粟求米”与“米求粟”二条开头的抽象性术文与其前“粟求米”的中的二句完全相同。有的则是一条内重复，“约分”条中的“约分术”与“其一术”程序相同而文字稍异；“合分”条有4条抽象性术文，“母相类”的情况重复了2次，而“母不相类”的情况有2种处理方法，各重复了1次；“里田”条中“里乘里，里也”重复了2次，而1平方里化顷、亩的方法，重复了3次，“广一里，从一里”的题目，也重复了1次。

2.《数书》有的内容矛盾，不能自洽

（1）有的同一条的内容矛盾。如“程禾”条中前2段“程曰”给出的粟米互换比率，化成整数，若粝米为30，在第1段中，粟50，毇米24，而第2段中，粟60，毇米20，显然矛盾。第1段有糳米、禾黍，第2段却没有；第2段有麦、稻禾、，第1段却没有。

（2）有的诸条之间互相矛盾。“程禾”条第1段的米、毇米、粟与“粺毇”“粟为米”二条中的比率相同，而禾黍率，“程禾”条为30，“粟为米”条为75；“程禾”条第2段的诸粟米率与“粺毇”“粟为米”二条中的几乎完全不同。