宋代宋代数学家邵雍与八卦文化

纵观中国历史，很多有名的科学家同时也精通术数，不少人还是著名的阴阳家。精通八卦文化必须有深厚的数学修养，这其中最著名的就是宋代的邵雍，它不仅是精通八卦的易学家，更是有着令世人叹服的数学才华。之所以产生这样的现象，这主要得益于八卦文化之中蕴含的丰富数学知识。

八卦文化中的阴阳之数

《周易·系辞》记载：“河出图，洛出书，圣人则之。”从中不难看出，八卦是以河图、洛书为准则的，是在河图、洛书的基础上建立起来的。而对河图、洛书进行仔细的研究不难发现，两者都是先人将宇宙万物用数字表达出来的符号体系。用通俗的话来说就是这两幅图将宇宙自然界的万事万物都进行了较为全面的量化，因此我们可以称它们是数字化的产物。

河图与洛书将一个物质系统内部的成分用明确的阴阳数量进行了比较彻底的分析。而以河图与洛书为基础产生的八卦文化，也秉承了河图、洛书的精神。在八卦系统中，阴阳也达到了量化的程度。在八卦中，每卦的组成不仅都有着确定数量的阴爻和阳爻，这些阴阳爻还都有着严格的位置安排。我们可以看出，八个卦的自身特点，正是通过其内部阴阳爻之间特定的数与位表现出来的。

八卦文化中所包含的“数”，还有着哲学上的深刻内涵。《周易》中称河图、洛书、八卦、六十四卦这种将事物内部的情况以数量化的形式清晰解剖出来的做法为“数”，而这个“数”在哲学上的含义就是阴阳之数，因此我们可以称这些数为极数。极数就是指对一个事物内部阴阳数量和位置的了解达到了一种极致，在现实中是指对一个事物内部组成成分的数量和结构的了解达到了极致。而八卦文化数字里表达出的阴阳，也不是笼统的阴阳，而是被精确量化了的阴阳，因此，这些图其实就是一个抽象事物的定性定量分析图，也是一个抽象世界的定性定量分析图。

八卦文化中之所以蕴含着“极数”，是有一定科学依据的。《周易·系辞》中曾经指出了八卦诞生的条件：“古者包羲氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与（天）地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”从这段文字不难看出，八卦并不是古人们凭空编造或杜撰出来的，它是对宇宙自然界真实情况的一种反映，其诞生是建立在对大自然进行周详考察基础上的。

从上述篇章可以看出，八卦文化以及作为其诞生基础的河图、洛书在演示宇宙万物本质之时，不但做到了将事物“一阴一阳之谓道”的属相来定性，而且还做到了用“极数”的方式来定量。

事实上，虽然在对客观世界本质和各种因果关系的揭示上，中国古老的天地图与现代科学的表达形式不同：即现代科学是分门别类地将人们发现的各种自然规律具体地表达了出来；而中国人创立的这些图谱是将大自然的所有规律抽象地概括了出来。但是，建立在对大自然实事求是的观察和数学的基础之上的中国八卦、六十四卦等图谱，与现代科学基础在内涵上其实是一致的。由此也可以充分表明，早在远古时代，中国人已经能够在没有科学仪器设备、没有开展多少科学实验的情况之下，用一双深邃、敏锐并且饱含智慧的眼睛，从纷繁复杂的客观现象中将“神明之德”和“万物之情”抽象出来，达到“圣人有见天下之赜，而拟诸其形容，象其物宜，是故谓之象。”

八卦生成中的数学知识

八卦文化中，我们可以体察出中华文化与西方文化的不同之处，那就是中国文化中的图谱是不具体科学领域的，可以称得上是真正的效法自然的产物，因为在真实的宇宙是宏观和不分科的。八卦文化之中所抽象出来的规律是大自然通用的、整体的规律。虽然其表达形式非常简单，但是其内涵却能够概括今天人们细化的几乎所有学科，甚至很多当今科学结论可以在这些图中得到印证。

汉代以后，易学开始发生一些根本性的变化，其主要的原因在于卦象符号本身的结构特点。通过占筮的方法来求卦，每次得到的筮数都有两种可能，或为奇数，记为阳爻；或为偶数，记为阴爻。渐渐的，不仅是从微观上，在八卦生成的过程之中，我们也可以看到很多微观的数学知识。《易传·系辞》对卦象结构特点进行注释之时说道：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶成大业。”从中我们可以看出，八卦衍生的规律为：太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。由此可见，八卦中蕴含着数可分的四象。而在太极八卦图之中，我们可以看到，阴阳两仪的面积是相等的，而两个对称圆形的面积也恰好是太极图面积的二分之一。在“两仪生四象”之中，我们可以看出，如果用数学坐标的图像表示八卦四象，则各象的正负完全吻合X和Y轴的符号。而在“四象生八卦”之中，则更好地体现了排列组合当中的思想。

如果继续将八卦进行演进，我们可以发现，从太极经两仪四象到八卦和六十四卦，恰好体现了阴、阳爻重复排列次数的递增，当排列次数增到6时，26＝64，组合形态的总数达到64，即六十四卦。在六十四卦中，由六个筮数的有序排列构成的卦象则相当于阴阳爻这两个基本符号在纵向上重复排列六次所呈现的组合形态，其中包含着复杂的数理逻辑。由两个基本符号重复排列N次，可以形成2N种组合形态，当N分别取0、1、2、3、6时，可以得到相应的组合形态个数，依次为1、2、4、8、64。

从两仪到六十四卦的排列方法可以用这样的形式表达出来，四象为22=4；八卦为23=2×2×2；六十四卦为26=64。我们可以看到，从两仪到六十四卦的排列与数学中的重复排列相当。当研究在八卦基础之上变化而来的六十四卦之时，我们又会发现其中在数学方面所表现出来的等比级数观念。如1、2、4、8、16、32、64……M；20、21、22、23、24、25、26……2n。从中可见，每一项和前面一项的比值为一个常数，这就相当于在数学概念中的公比数。(www.xing528.com)

这种数学上的知识还表现在伏羲先天八卦方位在数字上表现出来的稳定和对称状态。1与8、2与7、3与6、4与5，数字之和都是9，如果继续按照1至8的顺序顺数，逆数，就可以得到一个方阵图，这个图里面的横排从下到上以64递增，而各竖行的数字和则都为260。不仅是伏羲八卦，和八卦有着密切关系的和图与洛书之中，也都隐含着各自的数学知识。在洛书中，不管将其数字按照横、竖还是斜着相加，得到的数字之和都是15。而在八卦占卜法当中，也都是依据测算出的9、8、7、6这四个数字来确定卦形，仔细观察不难发现，阴爻8与6，阳爻9与7数字之和同样都为15。而在古代被认为是天数的1、3、5、7、9之和25，与地数2、4、6、8、10之和合成的天地之数55与河图也有着一定的联系。在河图之中，将1、6排列于北，2、7排列于南，8、3排列于东，4、9排列于西，5、10排列于中央，这些数字都是以奇数代表阳，偶数代表阴的阴阳搭配。另外，河图外层的数字6、7、8、9和八卦占卜法之中的6、7、8、9也是吻合的。

莱布尼茨“二进制”与中国八卦文化

莱布尼茨是德国自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，他和牛顿同为微积分的创建人，他的研究成果和著作还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、植物学、地质学、法学、哲学、历史、外交等等方面，是一位非常罕见的天才人物，他对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。不仅如此，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，并且与中国文化有着深厚的渊源。

莱布尼茨最重要贡献之一是发现了二进制。在人类采用的计数法中，二进位制是最低的进位制。二进制仅以0与1为符号，用1和0表示所有的自然数字。二进制的数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机，其发明与应用模式就是二进制。由于符号简单，便于计算，二进制也是计算技术中广泛采用的一种数制，因此当前的大多数电子计算机系统使用的基本上是二进制的数字路线系统。这同时也证明了莱布尼兹的原理是正确的。

在历史悠久的八卦文化中，蕴含着一些与二进制相关的思想，而莱布尼茨这位世界著名的数理哲学家也与八卦文化有着一段不解之缘。

在法国首都巴黎的法国国家图书馆内，至今仍然保存着法文编号为17240的一封信，这封信是法国传教士白晋给莱布尼茨的信。这封信的主要内容是白晋和莱布尼茨探讨有关《周易》八卦的问题。早在1685年，法国传教士白晋接受国王派遣来到中国，他在向中国人传播耶稣教的同时，也开始学习并研究《周易》。逐渐地，白晋感受到了《周易》的博大精深，他甚至把“易学”视为同柏拉图、亚里士多德的学说一样合理完美的哲学。1697年，他回到法国以后曾经在巴黎作了一次与《周易》有关的讲演，并借此机会会见了莱布尼茨。此后二人开始通信，并在信中不断地探讨很多数学和哲学问题。白晋曾在1701年11月4日给莱布尼茨的信中为他展示了六十四卦的圆图和方图，后来莱布尼茨对其中卦的排列顺序进行了仔细的研究，并且发现与他在1679年发明的二进制算术是吻合的。

在《中国哲学对欧洲的影响》一书中，莱布尼茨对八卦文化作出了很高的评价，他看了《周易》和六十四卦图后曾经惊喜的说道：“在这书里包含着不可思议的神秘，我从来未曾用过新的计算方法，居然由我去发现了，这新方法能给一切数学以新的光明，因此方法，人们可以解决了许多困难。就关于这方面的材料来考察，我以为古代伏羲已得到此方法的关键。”根据《中国数学简编》转载，莱布尼茨曾经说：“易图是流传于宇宙间科学中最古的纪念物。”

有一种说法甚至认为，莱布尼茨是从中国的八卦中受到启发而发现二进制的。相传，他还曾经和清朝的康熙皇帝通过信，并认为64卦的排列顺序就是把64个数字用二进位法写出来。如果把卦中的阴爻替换成0，把阳爻替换成1，自下而上地把三条爻画当作三位数字，那么64卦可以表现为一个二进制数列，这是与德国数学家莱布尼茨所创立的二进制相吻合的。可以表示为：

从乾卦到坤卦体现出了“逆数”的关系，这种结果令人十分惊叹。

除了二进制，甚至有人还认为，八卦学说也包括当代电子计算机的主要特征，易数的运算功能、易理的逻辑功能、易象的贮存记录功能都与电子计算机功能有相似之处。

二进制与八卦关系的争论

关于莱布尼茨是否通过《周易》得到了启发而发现二进制规则这件事，学界多有争论。一种说法认为：莱布尼茨早在1679年就已经完成了对二进制的研究工作。在二十多年以后，他才从中国回来的传教士那里看到了《周易本义》中所谓的伏羲六十四卦图。莱布尼茨看到这些内容之后非常的兴奋，并认为所谓的伏羲六十四卦图是可以用他发现的二进制来解释的。当时，他赞叹道：“这恰是二进制算术”，并说：“在伏羲的许多世纪以后，文王和他的儿子周公，以及文王和周公五个世纪以后的孔子，都曾在这六十四个图形中寻找过哲学的秘密”。他惊叹这深藏几千年的奥秘没能被很好理解，而如今被他所理解了。很显然，这种观点认为：二进制并不是莱布尼茨看了《周易》后才发明的，而是他寻找到了用二进制来解释伏羲六十四卦图。无论二进制的发明是否来源于莱布尼茨受到《周易》的影响，但值得肯定的一点是，古老八卦文化中传达出的内涵与现代数学是有着紧密联系的。