基于数学建模的小学数学广角教学设计优化方案

（一）小学“数学广角”内容分析

《新数学课标》是国家课程的基本纲领性文件，是数学教育改革的方向，规定了课程的地位性质、目标和理念，指导着数学教材的编写。《新数学课标》共有三个学段，每三年为一个学段，因而小学阶段包括了前两个学段。从二年级至六年级，共十册设定有“数学广角”的知识版块，结合学生的特征，难度逐渐增大，每一册均独立设置一个单元，“数学广角”的教学内容与生活联系十分紧密，每部分知识均蕴含一定的数学思想。“数学广角”在教材中的编排中充分体现了这个规律和特点，循序渐进地向学生渗透数学思想方法，通过一些生动有趣的事例体现出来。

在小学数学教学体系中有知识和思想方法这两条线贯穿其中。明线为数学知识，在教材中清晰地呈现出来；暗线为数学思想方法，隐藏在知识的背后，通过学生对知识的理解掌握而体现出来。利用身边常见的现实实例提炼问题，在教学过程中，感受其中所蕴含的数学思想，同时学生的思维得到了训练，培养学生解决问题的经验和能力，然后拓展到现实生活中，达到学以致用。“数学广角”的知识体系如下表4-1：

表4-1“数学广角”教学内容整理

通过对整套教材的梳理，我们能够更深入、更清晰地把握知识点之间的联系，教材从注重形象具体思维逐步过渡到对抽象思维，各个教学内容的难度呈现螺旋上升。每一个学段的侧重点都不同，在第一学段侧重“操作实验”，因为学生在此时的知识储备比较少，需要在具体活动中展开探究；第二学段侧重“抽象建模”，在拥有一定的基础知识上，难度相对提升，更加抽象。因此，在实践的基础上，强调“抽象建模”的要求。

（二）基于数学建模的小学“数学广角”教学目标设计

《新数学课标》的总目标从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面进行了具体阐述。教学目标对教学质量的提升和教学过程的进行有很大作用，“数学广角”的目标就是使每个学生都能初步感受一定的基本数学思想方法。

“数学广角”的知识点之间既有联系，又有区别。在教学设计时，教师要考虑到知识之间的前后联系，以前者为基础，准确把握数学目标定位，抓住联系点进行设计和有效教学，明确学生之间的差异，设计出与学生的知识水平相一致的数学模型，提升学生的求知欲。

基于数学建模的小学“数学广角”教学设计同样围绕三维目标进行目标的设计：第一，知识与技能。这一维度指数学基础知识和基本技能。第二，过程与方法。通过数学学习过程，把握数学思想方法，形成数学能力，发展数学思维和数学意识（如应用意识、创新意识），提高问题解决能力。第三，情感、态度与价值观。这是对于数学的不易改变的感悟与看法，表现为兴趣、爱好等看法立场，以及审美观。

因此，教师在进行教学目标设计时，以“数学广角”这部分知识为基础，以过程方法为途径，立足于数学建模。在引导学生学习的数学过程中，把知识与技能的学习与情感态度价值观的培养结合起来。通过对这部分知识的教学，在潜移默化中渗透建模思想，使学生受到知识背后思想方法的熏陶和影响。

（三）基于数学建模的小学“数学广角”教学方法设计

数学教学方法是完成教学任务所使用的工作方法，对于学生的思维训练和知识技能的掌握都具有非常重要的意义。通过基于数学建模的方式对这部分知识进行教学设计，可以更好地完成教学任务，提高教育质量。注重渗透数学思想方法，可以提升学生的建模能力。笔者根据“数学广角”的特点，进行教学布置，从建立数学模型的角度对教学方法进行设计，以期达到更好的教学效果。

1.情境教学法

“数学广角”的内容与日常联系十分紧密，创设学生熟悉的情况和活动，从而建立数学模型。感受知识的形成过程，培养学生寻找疑问、提出疑问、对问题进行分析和解答的技能。教师创设学生熟悉的场景，可联系学生身边的事物发现并提出问题。通过查看、动手、猜想等活动，了解数学与日常生活的紧密关系。除了从日常中建立情境，还可以通过问题探究建立情境。根据学生的认知水平建立情境；在动手操作中建立情境；引用小故事建立情境。

2.问题教学法

此种教学方法注重让更多的学生加入课堂教学中来，可发挥其主体地位，使学生积极主动地参与其中。此种方法可以帮助学生更加大胆地学习和参与讨论，也可以培养提出疑问和探索问题的能力，以及创新思维能力。在实际教学中，此种方法要注重科学和实际，考虑可能的问题。素质教育的核心是培养学生不断创新、不断创造的思维。此种教学方法就是充分调动学生的积极性，通过探究发现感受知识的形成过程。教师通过创设疑问制造悬念，让学生自主地建立解决问题的模型，并对模型使用熟悉的方法进行解答，从而掌握数学的思想方法。

3.讲授法

讲授法，是指教师在课堂上应用丰富的语言，详细地为学生传授数学知识，并在此过程中，提升学生思考问题的能力，拓宽其思维范畴，进而发展提高学生的逻辑思维和智力水平。这是一种学生在不断地接受中获取知识的方式，是一种最传统也是最基本的教学方法之一。我们十分明确讲授法的优缺点，其优点是有利于在规定时间内完成教学任务，有利于发挥教师的作用，可控性强，等等。然而，学生机械的、被动的学习，“填鸭式”学习等后果也随之带来，不利于学生主体作用的发挥以及学习兴趣的激发和创造能力的培养。教师在教学中要充分发扬该方法的优势，并综合其他方式，共同完成教育任务。

（四）基于数学建模的小学“数学广角”教学过程设计(www.xing528.com)

基于数学建模对这部分内容进行教学设计，也就是在讲授这部分内容时，利用数学知识建构模型，以完成数学向数学模型过渡，逐步引入模型思维，从小培养学生建立模型求解疑问的思维方式。通过把现实疑问构建成为数学题目，从而使学生的建模思想得到提高。基于对建构主义理论、数学建模理论、教学设计理论的理解，结合小学数学教学课堂教学的方式，笔者认为基于数学建模的“数学广角”教学设计可分为这几个环节：一是创设情景，感知模型；二是共建模型，探究求解；三是运用知识，应用模型；四是反馈总结，完善模型。将建立数学模型的过程引入课堂教学的每个环节中，可以发展学生的思维意识、应用意识及建模能力。

1.创设情境，感知模型

建立实际的问题环境，以了解疑问的背景。小学生能理解的数学是基于现实的，他们对数学的学习是以过往的知识为基础的一种认知历程。模型的建构是建立在真实的情境中，小学生还处于感性的认知水平，教师在教学中要结合学生的认知规律。结合学生日常中熟悉的素材，营造实际情境，为数学模型的建立做准备。

例如，在人教版教材“搭配”中，学生喜爱“喜羊羊”这一角色人物。于是笔者设计了一出“灰太狼抓住了美羊羊，喜羊羊通过闯关解题最终救出美羊羊”的趣味故事。通过生动形象的故事，对需要掌握的数学知识进行教授。在第一关的设计中，喜羊羊指出：密码是两位数，由1、2组合而成。小朋友可以很快解出答案，顺利地进入到下一关，也就是课堂教学的核心内容。下一个题目：也是一个两位数，但需要从1、2、3三张纸片中的两张纸片选出数字。小朋友通过不断地尝试，利用卡片组合，并记下每一次可能出现的结果。当然，对于可能出现的三种情况，只要不胡乱编排，按照顺序填写，就不会出现重复和遗漏的情况。通过学生所熟知的动画人物，在情境中将教材内容生动地展现出来，利用学生已有的生活经验，感知情境背后所体现的排列组合思想，激发学生的学习兴趣，让学生在日常情境中建构模型，体会数学来源于日常，感知数学模型无处不在。

2.共建模型，探究求解

建立数学模型是进行建模教学十分关键的环节，根据学生的理解和对情境的感知，选择合理的建模策略，学生亲身经历抽象概括为数学模型。例如，在教学“植树问题”时，通过创设在100米道路一旁植树的现实情境，每10米种一棵树，道路首尾都要种。在此基础上，提出“共需要多少棵树”的问题，先让学生猜一猜，并感知“间隔10米”指的是两棵树之间的距离是10米，学生采用多种解决办法，如画线段图、摆小棍、列表等发现规律，建立“全长÷间隔长度=间隔数量；间隔数量＋1＝植树棵数”这样一个数学模型。然后，把建立好的模型用于类似的问题，改变小路长度和间隔数，同样是两端都植树，利用模型计算验证。再次，确定模型的正确性。最后，拓展为只在小路一端植树，再通过画图列表得出只在一端植树的模型“全长÷间隔长度=间隔数量＝植树数量”。在建立模型的环节中，让学生感受到知识的形成过程，发现规律，把复杂题目简单化，在解答的过程中渗透数学建模的思维。植树题目的模型在我们身边随处可见，具有非常重要的实际意义。通过建立模型，让学生感知植树问题不单单只用于解决植树的情况，还可以解决相类似的题目。

建立模型后需要对已有模型进行求解，利用收集到的数据，根据一定的数量关系对模型进行求解。求解模型方法中，教师可启发学生的拓展思维，通过其他的方法对所建立的模型进行求解。建立的数学模型只是一个数学结构，不是建模教学的终点，模型的求解与运用才可以使问题得以解决。例如，“鸡兔同笼”这个题目中笼框里有许多只鸡和兔。从上往下看，可以看到8个脑袋；从下面往上看，可以看到26个脚掌。问鸡有多少只，兔有多少只？设有x只兔，鸡就有（8-x）只。列出方程4x＋2（8-x）=26。问题的模型，也就是构建的这个一元一次方程，接下来需要对模型进行求解，也就是解一元一次方程，方程的解为x=5，因此鸡有5只，兔有3只。

求解模型之后，需验证模型是否合理准确，将求出的结果与实际情况进行分析与比较。如果结果和实际情况一致，所建立的模型可以广泛应用于此类问题的解决。倘若和实际情况不符，那么所建立的模型就存在一定的问题需要修正，修正后再一次求解。比如，植树问题中求解模型后一条路可种植15.5棵树，鸡兔同笼问题求解方程后得出鸡有5.5只，模型验证后发现求出结果均与实际情况不符，需要对建立的方程模型进行重新修正，再次求解验证。

3.运用知识，应用模型

将建立的数学模型用于解答我们身边遇到的难题才是数学建模的最终目的，应用数学模型以体验数学知识的应用价值，在对模型的过程中，学生不仅可以对生活中的相关问题进行解决，还可以对所学知识进行巩固运用。运用数学建模解决实际问题的过程中，可锻炼学生的迁移能力以及进行质疑和独立思考的习惯，激发学生的创新精神，培养学生对数学的浓厚兴趣。例如，“抽屉原理”题目中，构建“抽屉原理”的普通化模型与生活中的联系，使学生学习到如果有8个学生，其中的2个学生必然是在同一周的相同一天出生；使学生学习到如果有367个学生，其中的2个学生必然是在同一天出生过生日。解答完这些题目之后，一定要让孩子明白“物体”和“抽屉”是指的什么。这不仅是能不能正确回答问题的重要条件，又是学生学习把实际数学题目从杂乱的日常生活中找出本质的数学模型的经历。将日常题目与“抽屉原理”这一问题结合在一起，发现其中的联系关系，有效地增强学生对“模型思想”的体验和认识理解，从而运用模型解决实际问题。

4.反馈总结，完善模型

在一堂课的尾声，需要对该节课所讲授的知识进行归纳。把离散的、不完整的知识点进行统一、汇总和整理归纳，把不够清晰的，甚至是错误的地方进行修正。对于意境建立的数学模型，师生共同探讨巩固，对模型进行完善，考查验证是否符合客观现实。在这个环节让学生自主总结，提出疑惑，教师针对学生的总结，对不合理的地方进行订正，对模型进行巩固和完善，灵活运用规律。例如，在教学“抽屉原理”时，当学生利用有余数除法解决了具体问题后，教师引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律，使学生进一步理解掌握“抽屉原理”。

（五）基于数学建模的小学“数学广角”的作业设计

作业的设计在教学中至关重要，针对学生的个体差异，实施素质教育，在教学“数学广角”之后，需要进行分层作业设计，以适应不同程度的学生。具体而言，不但要让“差生”学会做，又要让中等生知道怎么做，还要让优秀生举一反三。“数学广角”单元的知识内容与生活联系紧密，通过生动有趣的事例，完整地向学生展现数学思维，从而发展学生的思维能力。在课堂上从数学建模的角度对“数学广角”单元进行教学，课后需要学生完成相应的作业练习进行巩固应用，充分体现了模型应用。

1.基于模型设计层次性的作业

通过建模教学后，教师一定要把每一个学生都看成完整的、充满个性的、不断提高的个体。针对每一个学生的身心发展以及教学任务的要求，在尊重每一个学生不同特点的基础上，有针对性地开展教学，设计基于该模型的层次性作业。给予每一个学生都可以不断思索、开拓创新、成功解决问题的机会，并在课后习题的布置中考虑到不同的学生不同的学习、解答问题能力，创新作业设计，区别对待。具体而言，可以考虑将习题的难度分成一、二、三三个等级。学习特别优秀的学生解答第一类别的作业；学习成绩比较普通的学生解答第二类作业，学有余力的同时可以对一类作业进行挑战；学习成绩靠后的学生选择第三类作业，难度比较小。针对各种类型的学生，因材施教，发展学生的应用能力，达到更好的教学效果。

2.模型应用型作业

由于该部分知识与日常生活紧密联系，能让学生在不断观察、解答和总结的过程中，提高学生对社会生活的认识，积极参与到社会实际中。通过“数学广角”的知识，建立数学模型用于解决生活中的实际问题，可针对教材中某一特定的知识点展开专题教学，按照实际情况，既可以让学生独立一个人完成，也可以采用分组合作的方式。完成模型应用型作业可以是一种开放性教学，让学生在应用模型中收获生活的经验，然后再研究、再培养，明确数学在自己身边的应用价值。同时，模型应用型作业也可以是书面上的，把实际问题描述抽象成为数学问题，把数学模型应用于该类数学问题的求解，同样体现了模型的应用性。

3.模型拓展型的作业

小学数学教育的最终目标是教授学生可持续进步的数学知识，发展他们的思维能力，课后习题设计要具有独特性。例如，在学习“优化”后，让学生回家后观察妈妈做饭的顺序，按照怎样的顺序，炒菜用的时间最短，并设计出一个流程图。这样的拓展性作业不仅发展了学生的应用思想，并且渗透了优化思想。数学教学的目的是要让学生在实际操作中体会数学思维，提高思维素质，形成独立思考解决问题的能力，促进他们的创新创造能力的提升，特别要注意联系学生的生活。再如，在学习“搭配”后，让学生回到家中，把家里衣柜的衣服进行搭配。有趣的作业设计能够轻松愉快，不仅可以引起学生的兴趣，也可以对学过的知识再复习强化，最终达到轻松、快乐学习的目标。