数学绘本的特点及其教育效果

（一）图文并茂的数形呈现形式

“数”和“形”是构成数学内容的核心要素。“数”属于数学抽象思维范畴，广义上包括数字、数学表达式、数学分析、算术、代数等概念。“形”属于形象思维范畴，广义上包括数学图形、数学图表和空间形式等概念。“数”和“形”常常结合在一起，共同构成数学学习的主要思想方法，“数形结合的实质内容是结合抽象的数学表征与直观的图形表征，结合抽象思维与形象思维，实现抽象概念和具体表象之间的对等转化”。小学低年级数学教材和数学绘本的编排均体现出了一定数形结合思想，但二者之间既有联系又有一定的区别。

1.数学教材的数形呈现形式

人教版小学一、二年级数学教材包含36章节，其中的4个“总复习”章节主要属于“综合与实践”板块，本书暂不对此做展开论述，有关主题知识的剩余的30个章节是本书论述的重点内容。纵观小学低年级数学教材的编排，每一部分内容都有体现数形结合的思想，通过对教材内容的分析可以发现，具体表现为以形助数、以数助形、数形互依三种形式，这三种形式均体现数与形之间的相互依存关系。其中，“以形助数”的形式在教材中运用最多。

低年级数学教材中“以形助数”形式的呈现，通过数与物（形）的一一对应关系帮助学生建立起数学的基本概念；通过数与物（形）的对应关系，帮助学生建立起较为抽象的数学概念；通过将“物”过渡到“形”的思想转化，如画线段图、集合图、列表格等，便于学生对复杂概念的理解。“以形助数”呈现了较为直观的数学符号，有利于学生分析梳理其中的数量关系，进而提高学生理解概念、分析问题和解决问题的能力。例如，人教版二年级上册“进位加”通过呈现小棒帮助学生理解进位加的意义；二年级下册中“利用数轴比较数的大小”，使抽象变具体。

“以数助形”的思想主要蕴含在图形内容的学习中，学生通过数图形的个数、用固定个数拼图形等方式，体验数与形的结合，感知空间图形，发展空间观念。例如，人教版一年级上册《认识图形（一）》，通过数图形加深学生认识。

“数形互依”主要是“通过数和形的结合来说明一定的数量关系或阐明定理”。例如，人教版一年级下册《认识人民币》，通过呈现“物”使学生认识人民币的版式和面值，通过面值之间的数量关系使学生认识人民币单价间的换算知识。

2.数学绘本的数形呈现形式

数学绘本作为绘本大类中的一种形式，其内容也主要由图片和文字组成。但从通篇排版来看，数学绘本主要以图片为主，呈现出了更为直观的视觉感受，而在传达数学概念的过程中，图片和文字却扮演了不同的角色，以图文并茂的呈现形式展现出了数学领域中的“数”和“形”的理念。数学绘本中的“数”指图文中所呈现的数或数量关系，“形”指图画中所呈现的直观思维层面的图形、符号和实物等，其数和形以生动形象的大页面的配图，并赋以少量的文字衬托，展现了一幅生动的图景。有别于数学教材中以直观“物”或抽象“形”结合“数”的数形呈现形式，数学绘本大多体现了“以形助数”的数学思想，具体为以下三种呈现形式。

（1）以图画为主的数形呈现形式

在数学绘本中，有部分内容主要是通过图画呈现表达出来的，体现了“以形助数”的数学思想。知识内容无须借助文字的引导，如排序、分类、图形等，图画较之文字在视觉上发挥着独特的直观性，儿童能够从直观形象的图画中无形地感受到潜在的数学信息，并借助图画理解数学概念、进行数学运算、探索数学规律等。例如，《让谁先吃好呢？》中，涉及数学概念中的排序问题，即小动物们都想吃大的桃子，通过设定标准进行排序的方法来决定谁来吃桃子。绘本以图画的形式形象直观地传达出与排序有关的数学概念，以动物的身形体态和具体实物的呈现，抽象出数量关系中的身高的高矮、体重的轻重、嘴巴的大小和耳朵的长短。如此一来，不需要文字的重复赘述，儿童便能直观地感受到绘本中所要传达的数和形。

饱含正义情感的数学绘本《吃了魔法药的哈哈阿姨》，通过运用大量的空间集合图形来展现其故事情节。这些形象鲜明的几何图形的展现，不是通过一般意义上“几条边，几个角”的描述手法，而是以生活中常见的大小不等的实物、图形等形式进而呈现图形的空间结构及图形间的大小关系。儿童通过色彩明亮、生动活泼的图画一眼就能辨出各种形状各异、大小不等的图形以及各个图形间的差别。此外，在富有勇敢精神的《乱七八糟的魔女之城》绘本中，所呈现的主题是规律和模式。绘本中有一段文字是这样描述的：“面前的石路一眼看不到头。”但通过对图画的仔细观察可以发现，公主面前有一条石路是以粉色、蓝色、白色的图形相间的规则呈现的，揭示出事物之间A—B—C的规律性，而且在探索的过程中引申出解决问题的策略模式。

（2）文字引导、图画展示的数形呈现形式

经研究发现，教科书中仅依赖图画的编排方式可能会导致潜在数学信息的大量流失，如序数、测量工具使用等易被忽视的概念。而在数学绘本中，相关知识内容是通过图画展示且配以文字引导的形式加以呈现的，以简洁性、精确性的文字或数字引导的方式，使儿童更大程度上关注了数学绘本中容易被忽略的或是潜在模糊的数学概念。例如，《真正的魔法师》中的魔法师按照从小到大的顺序排队考试，学生从图片中很直观地看到1、2、3、4、5、6、7、8、9、10名魔法师，但是学生很难体会到序数真正的含义，所以其在图画中按顺序配以文字，如第一、第二、第三等字样，进而以数和形结合的方式来共同呈现序数的概念。

数学绘本中对于一些关于时间的感受以及平面和立体的关系等知识也是配以相关文字加以引导的。例如，《时间的故事》中的一版面仅呈现出“闭眼”和“睁眼”的图画，图画极具感染力，使学生不由得跟着图画有意识地重复这一动作，但仅以图画却不能很快地捕捉数学概念，所以这一版面的前一页就利用文字加以描述引导：“你问我一秒是什么？嗯，一秒是……”在《寻找消失的爸爸》中，爸爸留给智娜的平面如果缺少文字的引导，智娜就不知道观察方位或角度，无法判断出平面图所表示的立体图。

（3）图文互依的数形呈现形式

图文互依的数形呈现形式是指通过图画和文字相结合的方式来传达相关数学内容，如数、测量等概念，两者相互作用以至达到相对平衡状态的呈现形式。即通过图画对数学概念进行直观性的表达，通过文字对数学内容做出简明性的描述。例如，以月份为主题的绘本《成为好爸爸》中，文字有条理地描述每个月及这个月份的自然景象和果果的愿望，单从文字上看，此情此景却是学生很难感受到的，但是经过图画的完美呈现，学生就如身临其境一般。图画形象地描绘出可爱的果果和美丽的自然景象，以及代表月份的数字，同时经过文字的描述，所要传达的数学概念更加清晰明朗。又如，以数与计算为主题的《鼓鼓和蛋蛋的梦想》中，图画以羊或石头为实物且配上数字表示，演绎出数形结合的数学计算，加之文字的阐释，进一步引申出数学概念间的逻辑连贯性。

（二）以数学知识为主的内容设计

教育情境下的学习是指按照教育目的要求，由经验产生的行为变化过程。数学学习是学生通过获得数学知识经验而引起的持久行为、能力和倾向变化的过程。数学知识是指“客观事物数和形方面的特征与联系在人脑中的能动反映”。数学知识按照表征形式可以分为以下三类：陈述性知识（数学概念）、程序性知识（数学技能性知识）、策略性知识（数学思想方法）。

1.绘本中数学概念的展现

陈述性知识主要表现为数学概念、性质、定理、法则、公式等，数学绘本将视角聚焦在数学概念的表达上，在故事呈现过程中传达数学概念，且数学概念与故事内容紧密结合并推动故事情节发展。

数学概念是“数学知识的细胞，也是思维的单位元，是学生在学习教学中赖以思维的基础”。一个数学概念通常包括名称、定义、例子和属性。长春出版社2009年版的《数学绘本（36册）》是以“数学绘本”这一大类名称命名的绘本，36册数学绘本将数学概念划分为五大主题领域：“数与计算”“图形与空间”“分类与顺序”“测量”“规律性和数学应用”，每个主题领域细分为主要数学核心概念和具体数学核心概念。主要的数学核心概念是指与故事发展的主线紧密相关的核心概念，是绘本中顺利传达数学概念的切入点；具体数学核心概念是指在绘本故事中涉及的或是潜在的、有待整合挖掘的数学概念。

根据对36册数学绘本所包含的数学概念的梳理与分析可知，数学绘本所涉及的数学概念不是单一的，有相当一部分涉及多个数学概念，但在故事中所占比重不同。例如，绘本《奶奶的红裙子》主要涉及部分与整体的关系，并蕴含着潜在的、有待挖掘的有关图形的知识。

2.绘本中数学技能性知识的传达

数学技能性知识是指做什么、怎么做的知识，是指按照一定程序和步骤进行运算、处理数据、作图、绘制图表等。数学技能性知识的掌握有利于学生数学技能的形成，发展和提升数学能力。数学绘本将技能性知识融合于故事情节中，或随情节的发展而展开操作步骤，或以故事主人公的操作方法、算法的方式传达知识，儿童在情与景的故事中读到故事人物在“做什么，怎么做”的经验，从而获得技能性知识，形成数学技能。

《数学绘本（36册）》的每个主题领域都包含着一定的数学技能性知识。以“数与计算”为主题的绘本按照数一数、分一分和列式等呈现数学算式。例如，《鸟儿鸟儿飞进来》呈现了木匠爷爷为鸟儿做鸟窝的故事。故事中爷爷做好了鸟窝，想要知道能住多少只鸟。绘本以形象的图画向学生呈现鸟窝，学生通过图画能直观地数出容纳量。同时绘本为图画配以文字说明并呈现数学算式。

以“分类与顺序”为主题的绘本根据故事需要的标准进行分类、处理数据，按照一定的步骤绘制图表。例如，《避开恶猫的方法》讲述的是老鼠以少数服从多数的原则选择方法避开恶猫的故事，故事中老鼠首先对调查对象分类，然后对数据进行分析与整理。老鼠首先用实物进行象形统计图绘制，然后逐渐抽象到以符号代替的象形统计图，最后以数字的方式绘制出柱形统计图。绘本通过故事的发展呈现了从数据处理到图表绘制的操作过程。

以“图形与空间”为主题的绘本根据点、线、面和已有图形等进行拼、看、画等。例如，《点和线相遇》中的活动片段：“四边形里也能找到三角形”。在这一片段中，绘本首先呈现一个四边形，通过对折寻找三角形，经过几次对折后再展开观察，四边形里面有很多大大小小的三角形，还有四边形。绘本为儿童的拼折活动提供了技能性经验。

以“测量”为主题的绘本根据物体属性和工具属性，按照一定的步骤进行测量。例如，《最棒的蔬菜》中挑食的建跟着爸爸一起种植蔬菜，在这一过程中，他学会选择和使用测量工具，并对其进行经验记录。绘本以呈现建的日记的形式向儿童传达技能性知识。(www.xing528.com)

以“规律性与数学应用”为主题的绘本通过从数学的角度出发对事物进行分析观察，发现生活中的规律和数学。例如，《我和爷爷的建筑之旅》中爷爷说：“结实又美观的房子的秘诀，是因为数学。”其通过严密地测量既定空间，画出毫无误差的空间设计图；通过观察建筑物，分析、抽象出各种几何图形等。绘本通过一系列的数学操作，展现生活中的数学。

3.绘本中数学思想方法的渗透

数学思想方法是一种关于如何学习、如何思维的知识，是学习、记忆、解决问题的一般方法。数学思想方法是数学认知结构中最积极活跃的因素，是对知识内容的内部运动变化规律的认识。曹才翰在《数学教育心理学》一书中，将数学思想方法分为四个层次：“解题术”“解题方法”“数学思想”“数学观念”。本书将从这四个层次对数学绘本中的数学思想方法进行分析和梳理。

“解题术”是指与某些特殊问题联系起来的方法。绘本中的某些主要数学知识随故事的发展反复不断地向孩子呈现解决问题的方法，这一方法只在特定的情境中才能发挥作用，具有比较固定的操作方法。例如，《我家漂亮的尺子》中临时测量单位“一柞”的应用只适于小的测量情境中，是对测量物的简单估量，《真正的魔法师》中确定空间事物或事件的顺序利用序数的方法等。

“解题方法”是指解决一类问题时可以采用的共同方法。《数学绘本（36册）》以五个主题领域进行系列划分，每个主题领域都存在一定的解决问题的共同方法，如“数与计算”系列绘本呈现解决“走了”“除去”“分走”等一系列问题的减法；“分类与顺序”系列绘本对数据的分析与整理呈现出图表法；“测量”系列绘本对事物的测量进行一套固定操作方法的介绍等。

“数学思想”是对数学概念、法则以及数学方法等的本质认识。数学绘本利用趣味故事作为承载数学思想方法的媒介，通过直观形象的情景，让学生在具体形象思维中感悟数学思想。第一，“比较思想”，是小学低年级阶段高频出现的数学思想方法之一。《都陵村168号》等7本书，从不同的角度讲故事，引导学生体会比较思想，进行数字的大小、面积、体积、数量等的比较。多种多样的“比较”通过故事呈现，使学生的经验不断沉淀，为以后比较思想方法的使用奠定基础。第二，数学模型思想。《世界上最帅的猪》通过三大版块的故事情节逐步阐述了自然数的抽象过程映射出数学模型思想。首先，其用不同形式的文字表示数量的一致，然后让学生通过感受故事中隔着数、倒着数等方式，体会数量的不变性，最后让学生从事物中抽象出阿拉伯数字，形成数数原则，建立自然数模型。第三，统计思想。绘本《猜猜看》通过列举生活中许多应用概率和统计的事例，以及抛硬币等游戏，让学生通过实践操作过程积淀统计的方法，凝结思维过程。第四，分类思想。《一起一起分类病》通过生活中的案例，使学生明确每个分类对象的属性，再找出相同属性，对事物分类。在故事中学生随情节发展边分类边感受分类的方法，逐渐掌握分类思想。第五，数形结合思想（上文已进行详细分析）。数学绘本中蕴含的丰富数学思想，以润物细无声的方式悄悄呈现出来。

“数学观念”是指对数学的根本态度，“所谓一个人具备数学观念，实际上是指他已学会用数学的眼光来看待周围事物，能用数学的方法来处理周围的事物”。《数学绘本（36册）》中最明确、最清晰传达数学观念的是以“规律性与数学应用”为主题的系列绘本，其引导孩子探索自然界中存在的规律性，带领他们寻找隐藏在美术、建筑、音乐当中的数学概念，使孩子保持一颗对数学的好奇心，激活孩子用数学的眼光探索生活的求知欲。同样地，其余四个主题的系列绘本也以其独特的方式加强儿童的数学意识与数学观念。例如，以“数与计算”为主题的绘本，通过各种主要核心概念加强孩子的数学思考；以“分类与顺序”为主题的绘本，通过排序、分类等加强孩子在日常生活中运用数学知识的意识与能力；以“图形与空间”为主题的绘本，引导孩子将这些空间和几何概念与日常生活中遇到的事物联系起来；以“测量”主题的绘本，通过概念和方法等的学习，提高孩子将数学知识运用到实际生活的意识等。

（三）逻辑性较强的形式结构

绘本的形式结构是指绘本所呈现出多种多样的表现形式，它所关注的是绘本形式性要素及其相互关系，是绘本的显性结构。科学合理的形式结构能充分揭示出绘本自身的内在逻辑联系，有利于知识的渗透，既有利于绘本在教学中更好地运用，同时又符合学生的认知规律，从而提高学生绘本学习的自觉性。从微观层面来看，数学绘本的形式结构主要体现在绘本的部分组成及其版面设计上。部分组成主要指绘本中的各个部分的内容组成，如开本、封面与封底、正文、图画等部分。本书将对绘本的正文和图画等的部分组成进行比较，分析其间的逻辑关系。

1.逻辑性较强的框架编排

绘本的正文部分主要指绘本中除开本页、封面和封底部分的主题内容部分，通过图和文的形式向儿童传达数学概念。数学绘本正文部分的框架结构主要分为三个部分，各部分分工明确又相互联系。数学绘本的第一部分是“数学故事”情节，蕴含丰富的基础数学概念，是绘本的核心部分，每册绘本都有一个独立的数学故事，数学概念随故事的发展而发展；每册绘本的第一部分中基本上都会出现若干个小提示框，为家长和教师介绍指导儿童阅读的方法。第一部分是化抽象为具体，通过故事向儿童传达具体的数学知识。

第二部分是“数学概念理解”，通过简洁的文字对相关概念进行理解分析，为家长和教师对专业知识的进一步了解奠定基础。这部分内容是对主题数学概念的总结，是前一部分具体数学知识的逐步抽象。

第三部分是“数学概念扩展”，其第一个环节是数学游戏，游戏简单易操作，游戏指导策略绝大多数是由文字叙述，简明扼要，多为五个步骤，阐明游戏规则。从内容和目的上看，第一个环节是对前期数学概念的巩固与运用；从参与成员上看，第一个环节侧重于亲子游戏的设计；从道具上看，第一个环节中均为儿童常备的游戏用具或是生活实物；从操作空间来看，第一个环节只要有足够的活动空间即可，多为课堂外的空间。第二个环节是数学课题，以主题故事为背景续编故事，通过故事扩展和延伸相关数学概念。第三部分内容是数学知识的进一步抽象，是知识的运用、巩固和拓展环节。

综上所述，绘本正文的每个部分间存在着一定的逻辑关联性。前一部分是后一部分的基础，后一部分是前一部分提升，各部分围绕同一数学核心概念展开，知识反复出现，呈螺旋上升趋势，逐步形成网状知识结构。按照一定的顺序，绘本内容被整理成数学知识系统。

2.逻辑性较强的图画设计

数学绘本的图画通常横跨两个版面或占据整个版面，并配以文字进行相关解说。绘本中的图画承担着讲述故事、传达知识的大部分任务，能够扩充、延伸或补充文字表达的不足。图画与图画之间虽看似相互独立，实际却包含着故事和知识间较强的逻辑关联性。

就故事本身而言，数学绘本图画讲述着故事并推动故事的发展。每一张图画都是一个故事片段，图画中的每一个事物形象存在着千丝万缕的联系，读者按照想象、猜测、推理等逻辑方法能够读出图画中更深层次的故事情节；图画与图画之间，前一张图画是故事的前提和开始，后一张是故事的延续和拓展，每张图画前后联系起来就是一个完整的故事。就数学知识而言，大部分图画都蕴含数学知识，只有极少部分图画是以传达故事为主，目的在于增强故事的趣味性与完整性。一个故事由多个故事场景构成，一个故事场景可能由一张或多张图画呈现，同一场景中的若干张图画按照由简单到复杂、由浅显到深入的逻辑顺序呈现出完整的知识链条，读者在阅读图画、探索知识的过程中，不觉间即可养成逻辑思维习惯。从整体上看，图画是以数形结合的形式、按照螺旋顺序向读者呈现数学知识的。

（四）具有可操作性的数学故事设置

操作是一种动作形式，“可操作性”从字面上看就是可以动手去做、去实施的意思。数学绘本的可操作性对学生来说，主要是供学生阅读；对教师来说，“动手去做、去实施”的含义可引申为“教师可以用于教学”。本书主要对绘本在数学教学中的运用进行研究，侧重于教师对绘本的操作，因此本书从数学故事所映射和蕴含的知识和情景两个方面分析教师对数学绘本的操作与应用。

1.知识内容的可操作性

数学故事是数学知识的土壤，数学知识是数学故事的主要组成部分，数学绘本以故事为背景蕴含着丰富的数学知识。故事中知识内容的选择、排列、表述等符合儿童认知结构和心理特征，知识内容的科学性、逻辑层次性和完整性为教师在教学中的应用提供了便利。

从知识内容的选择上看，数学绘本中蕴含的数学知识是学生在生活中经常要用到的知识，知识大部分属于低年级学生学习内容。《小学数学课程标准（2011）》根据学生的认知水平在各个学段分别安排了四部分的课程内容，即“数与代数”“图形与集合”“统计与概率”“综合与实践”，而《数学绘本（36册）》的五大主题领域“数与计算”“图形与空间”“分类与顺序”“测量”“规律性和数学应用”的知识基本上类属于这一课程内容标准。

从知识内容的排列上看，《数学绘本（36册）》整体的知识结构由浅入深、由易到难，符合数学的逻辑规律，每册绘本中核心概念的呈现也是由易到难、由浅到深、螺旋上升的。例如，绘本结构上的三部分，由故事逐渐渗透数学概念，然后对概念进行概括和总结，最后通过概念扩展对概念进行运用和拓展，形式环节上类似于课堂教学的主要活动环节。又如，绘本《各国的早餐》，首先通过故事传达数学概念，向儿童呈现简单的分数，随着故事的发展依次呈现，在学生对分数感知和认识后，进一步呈现较为复杂的与，然后对分数概念进行分析、总结与概括，最后通过游戏活动加深学生对分数概念的理解与掌握，如此一来分数故事的发展蕴含着整体与部分的关系，映射出“分享的快乐”。

从知识内容的表述上看，数学绘本的内容体系呈现出表述完整、层次清楚、明白易懂等特点，为儿童思维的发散留有了充足的时间。仍以绘本《各国的早餐》为例，其对分数概念的呈现突出了分数教学的重难点，即分数的产生及意义，由情境和图画映射的方式表示了分数的产生，由文字阐释分数的意义，点到为止，而并没有对分数线进行知识渗透。绘本知识中这种残缺的恰到好处，正是教师可以发挥的极好天地。

2.绘本情境的可操作性

杜威提出“思维源于直接经验的情境”，即教学要在具体教学情境中引起学生的学习动机。教学中教师往往费尽心思为教学创设合理且具有吸引力的情境，但有时可能达不到预期的效果，而数学绘本为教师提供了丰裕的教学情境，儿童可以在合理有趣的情境中慢慢走进数学世界，在数学活动中感受数学学习的乐趣。

故事情境是数学故事缺一不可的基本元素，一个完整的故事由一个或多个情境构成。教师对绘本情境的操作主要表现为利用故事情境组织教学活动。绘本中的故事情境主要分为两种，一种是贯穿全文的完整连贯的情境，一种是片段性情境，两种故事类型都是以主要数学核心概念为主线展开的，既能有助于活动的完整，又能为情境的选择和截取提供便捷。例如，《乱七八糟魔女之城》围绕公主营救王子展开故事情境，完整紧凑，环环相扣，满足儿童的心理需求，而且完整的故事情境使知识体系更加系统、全面。又如，《点和线相遇》主要呈现片段性故事情境，以具体数学概念为主创编故事，更好地突出知识重点，为教学中知识重点的突破提供情境资源。