数学概念的含义及特点-基于核心素养培养

（一）数学概念的含义

关于概念的定义有许多，在不同的学科方向，有不同的表述。心理学上认为，概念是人脑对客观事物本质特征的反应。每一个概念都包括两个方面：内涵与外延。内涵表达概念的质，外延表达概念的量，内涵以定义的形式出现，外延指概念范围，多以例子表达。

概念是反映一类对象的本质属性。那么数学概念可以理解为，是能够反映数学相关对象的本质属性，是一种思维形式。数学所研究的问题是现实世界中的数量关系和空间形式，包括了内涵和外延两个方面。内涵是指对应的概念所能反映出来所描述的对象能够存在的本质属性。外延指的是所反映对象的全体。例如，“三角形”这个概念的内涵是指“由同一平面内不在同一直线的三条线段首尾相连组成的封闭图形”，其外延则是指三角形的全体。数学概念是构成数学学科的基石，体现了数学思维形成的过程，因此具有高度的抽象性、概括性和简洁性。对数学概念发展和界定出来所具备的客观背景来说，一般有两种情形：一是直接从客观事物的空间形式或数量关系中反映得来；二是通过对之前存在的数学概念的理解，在该概念的基础之上，经过多层次的理解，引申及抽象和概括，从而形成新的理解。

（二）数学概念的特点

1.数学概念的抽象性与具体性

数学概念是对现实的反映，但是这种反映具有抽象性，仅仅从数量关系或空间形式来反映事物的本质特点，所以数学概念具有概括性与抽象性。数学概念多以定义的形式表述，表达的简洁性也表现出概念的抽象性。虽然数学概念具有抽象性，但是数学概念不是脱离事物独立存在的，数学概念源于现实世界，在现实世界有它的原型。比如，正数与负数，产生的条件是现实生活的需要，借助它们及它们相互之间的关系来描述现实世界，在现实世界中能找到它的原型。因此，数学概念与我们的生活息息相关，与现实世界息息相关。

2.数学概念具有层次性

通过对人教版数学教材中200多个概念进行整理，发现这些概念并不是杂乱分布的，它们有一定的层次性。数学知识包括函数、几何、数列等，每个部分下面又可以分成很多层次。数列概念下面可以分成等比数列的概念和等差数列的概念，构成数列概念的层级结构。

3.数学概念的逻辑联系性

数学概念有其自身的逻辑性，概念间也存在着一定的联系。通过对人教版高中数学教材的分析，也能发现概念之间的逻辑联系。比如，单项式与多项式，方程、函数与不等式也存在内在的联系。在实际的学习中，往往会借助一个概念去理解另外一个概念。在数学概念教学中，把握数学概念的逻辑联系性，有助于促进知识的迁移，形成完整的认知结果。

4.数学概念的发展性

数学概念的生成是一个过程，随着研究的深入，数学概念得到不断完善。例如，在数学教材中，对数学概念的安排也体现了数学概念的发展性。

5.数学概念的表达的简洁、概括性

数学概念多以定义的形式表达，具有简洁、概括的特点。这些特点是由数学概念的抽象性决定的。数学概念还可以用数学符号来表达，反映出数学概念在表达上的简洁与概括。数学概念有其自身的特点，只有清楚数学概念的特点，才能更好地进行概念教学与概念学习。比如，在立体几何中，我们习惯用大写的英文字母A、B……来表示点，小写的英文字母a、b……表示线，希腊字母α、β……表示平面。这些符号既能反映出概念的本质属性，又能使其表达更加清晰、准确、简明。

（三）数学概念常用定义形式

揭示数学概念的形成过程，是进一步正确理解和应用数学概念解题的基础，从而研究数学概念是以何种形式呈现就有着特别重要的意义。

1.从直观现实模型中抽象出的原始概念

原始概念：因为不加定义（或根本无法定义）而被直接采用的概念称为原始概念，如数、点、线、面等概念。可以从一只兔子、一棵树……这些现实对象中，抽象出“1”这个概念，类似地，又产生了“2”“3”等自然数。再如，画出的点我们不考虑它们的大小，画出的线我们不考虑粗细，画出的面我们不考虑厚度。这些都是由具体到抽象地感知它们都具有某一共同特征，然后加以归纳形成概念。

2.用运动的观点定义的概念

这种概念是由被描述概念的发生或形成的过程来下定义的。比如，圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆。再如，点运动形成线，线运动形成面，面运动形成体。

3.种概念加类差定义的概念(www.xing528.com)

种概念是包含被定义对象的上位概念中最邻近或外延最小的概念。类差指被定义概念在其种概念里区别于其他类概念的本质属性。该法即按公式“种概念+类差=被定义的概念”下定义。

比如，空间中顺次连接不共面的四点构成的图形叫作空间四边形。在上述定义中，空间四边形最邻近的种概念是四边形，而类差是“不共面的四点”这个本质属性，这个属性恰恰就是空间四边形所独有的本质属性。用这种方法定义的概念，好处在于可以用已知的种概念的内涵来揭示新定义概念的内涵，而又用类差来揭示被定义概念的所特有的本质属性，达到了既准确又明了的效果。

4.利用关系式定义的概念

以被定义概念要反映的对象与另一对象之间存在的关系，或以它与另一对象对第三方的关系作为类差定义的概念。比如，真子集的定义：集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫作集合B的真子集。

5.思维理想化定义的概念

有些数学概念只是在理论上存在或理论上有应用价值，而实际上根本找不到，甚至不存在，从而人们将其理想化，纯粹地抽象出来。比如，把线看成是无限延伸的，把平面看成是无限延展的，这些都是一种理想化的假设。像“+∞”“-∞”等是人们假设抽象出来的脱离现实世界的概念，但它们均在理论研究方面有重要的作用。

6.直接揭示概念外延定义的概念

直接揭示外延作为其概念的定义，也都是一些常见的概念。例如，向量的概念：具有矢量的大小和方向的是所谓的位移矢量，称为向量。

7.为解决更多问题定义的概念

为了要进一步研究数学的某一类问题，必然要产生新的更为抽象的数学概念。例如，我们在数的认识过程中，由于无法继续计算或是原有计算无法解释等原因，使得新数概念产生。比如，复数的产生：对比方程x2=1有两个实数解1或-1，而方程x2=-1在实数范围内是无解，因而复数应运而生。再如，可以由指数函数问题的研究引出对数函数概念的探究。在细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的函数y=2x，自然我们也会想知道，如果知道了细胞个数，分裂次数如何确定，从而得到一种新的函数y=log2x，这就是对数函数。

8.归纳类比定义的概念

在高中数学学习过程中，我们经常运用归纳类比的方法来发现或定义新的数学概念。我们在学习立体几何时会发现，其中许多概念都是由平面几何中的一些概念类比得来的。比如，类比平面内平行于同一条直线的两条直线平行，得到空间中平行于同一个平面的两个平面平行。归纳类比的思想是很重要的解决问题的数学思维。

上述提出的八种定义形式，可以说是数学概念通常产生和发展的主要类别。但是，数学概念的产生和发展也还有其他形式的。这八种形式也并不是相互独立的，有的概念产生既合乎这个形式，又合乎其他别的形式。

（四）数学概念的地位和作用

数学概念是数学最基本的知识，被认为是数学知识的细胞，也是整个数学知识体系最基本的组成部分。数学概念还被认为是数学最基础的表达形式，同时还是一种思维方式。正确的思维需要清晰的概念，高层次的思维需要以清晰的概念为工具进行。因此，数学概念教学应该被充分重视。

现代的教育要求学生全面发展。因此，在数学教学中，数学思想方法的传授应该被重视，也应该是每一个教师追求的目标。在数学概念教学中传授数学思想方法是十分必要的。在人教版高中数学教材中许多数学概念与数学思想方法有机结合，会更加具体与形象。例如，涉及数形结合思想内容有函数以及各种图形等。进行分式概念教学时会涉及类比思想，通过比较分数与分式的相同点以及不同点，找出内在联系，获得分式的概念。

教育是培养“完整的人”，具有传授知识的任务，还要培养学生的情感态度与价值观的任务。数学概念教学作为重要的课堂活动，对此有不可推卸的责任。概念教学中，介绍数学家事迹，为学生树立榜样，感受严谨的学科态度，通过介绍数学文化与数学史，感受数学的魅力，以及它对人类发展的意义，促进学生情感态度与价值观的转变或提升。

（五）数学概念的分类

数学概念大体源于两方面：一是对客观事物的空间形式和数量的直接抽象，二是在已有的数学理论上所进行的逻辑建构。因而，可以把数学概念分为两大类：一类是对客观事物或其相关关系直接抽象而成的概念。这类概念与现实生活很贴近，以至人们可以自发地通过若干次接触后就可以概括成型，但或许不懂得如何用专业严谨的语言进行准确详细的描述，以致将概念与现实原型融为一体，如圆柱、正方形、球、平行、相交等都有这种特性。另一类是纯粹的数学抽象物。这类概念是对逻辑思维抽象的产物，是一种数学逻辑建构，没有具体的客观存在与之对应，如函数、方程、向量的数量积等。这类概念是数学理论建构的基石，是数学的灵魂与精髓。