小学数学课程：重新认识性质

今天对小学数学（也称为儿童的数学）的认识发生了根本变化，这个根本变化可以概括为三个“数学观”。

（一）生活数学观

长期以来，我们一直认为，作为教育的数学，就是存在于数学科学体系中的，并经专业人士或专家加工和重新组织的一部分——被精简和形象化了的最基础的那一部分。因为“数学是由人造就并唯一存在于人的大脑的，因此，学习数学的人的大脑造就或再造就数学就是必然的。在这个意义上，学习数学的人正是造就数学的人”^[6]。即学习数学就是为了在大脑中“再造就”系统的严密的数学知识。因此，我们往往将学校数学和科学的数学一样，也看做是一种形式数学。

而生活数学，是一种存在于生活实践活动中的非形式数学，是人们在社会生活的实践活动中获得交流和理解的数学。长期来，人们一直将它排斥在数学科学之外，认为它是一种纯经验的、非精确的、没有自然结构和严密逻辑体系的知识群。可见，人们一直认为，作为科学的数学，是一种抽象符号数学，更多地运用逻辑和推理；而作为生活的数学，则是一种经验符号的数学，更多地运用语言和直觉。

研究表明，儿童在日常的生活实践中，也有许多有意识的经验活动（这被认为是形成“日常科学”的途径），并通过这种活动形成了许多的“日常概念”（也称为前科学概念——一种由经验形成的非精确化的观念），使儿童的数学学习成为“日常概念”与科学概念交互作用的过程。这些经验活动是将儿童的日常生活或经验与数学科学结合起来的最好的桥梁。可惜，在传统的数学学习中，我们常常不是去利用这些儿童已有的活动经验，反而可能会去用规范的数学概念来割裂它们。因为我们忽视了儿童常常是通过探索他们自己的生活世界和精神世界来了解并进行学习的，是通过自己大量的实践活动来获得数学知识的，是在许许多多的问题解决过程来发展自己的数学认知能力的；还忽视了儿童认识数学的起点并不是符号所组成的逻辑公理，而是他们自己的生活实践所积累的经验。即儿童的数学活动并不都是从观察符号开始，用逻辑推理来进行的，更多的是从观察现象开始，用特征归纳来进行的。

例如，一个儿童，两只手上都有几块糖果，他想知道有多少，就会用数数的方法，从一只手上的糖果开始数起，依次数到另一只手上的最后一块糖果。这样的活动反复几次以后，他会将两只手上的糖果一起倒在桌上，然后再来数。这样，他就构建了基本的“加法”思想。

事实上，在儿童的生活中处处有数学，数学就在他们所有碰到的现象中，在所有遇到的问题中，在所有采取的行为方式中。正如Niss指出的：“数学教育的目的应该是使学生能够认识、理解、判断、运用数学，并能经常在社会中运用数学，特别要在对学生的个人、社会及职业生活有实际意义的背景中运用数学”^[7]。因此，“中小学数学不应是外在的知识，让学生感到陌生，而要处于学生的文化和生活现实中”。也正如Dewey所说^[8]，必须填平儿童兴趣和经验与科学之间的鸿沟，儿童的经验和文化应该成为学校学习的基础。

（二）儿童数学观

我们所理解的数学，往往就是指作为科学的数学，一种成人的、纯粹形式化的数学，一种从公理体系开始，通过非常严格的逻辑演绎形成的数学，一种为了理解数学世界而学习的数学。而儿童的数学，受“数学学科就是数学科学的一部分”的观念影响，也就常常被作为“需要儿童接受的数学科学的一部分——如关于算术的逻辑体系”。实际上，所谓儿童的数学，就是作为儿童生活的数学，一种非完全形式化的、从日常经验开始，通过并不严密的归纳概括而形成的数学，一种为了理解生活世界而学习的数学。

例如，在弗赖登塔尔看来，一个6岁的儿童用手指或计算器算出8+5=13，对成人来说，可能这并不算是什么数学，但在这个年龄层次的儿童来说，就是一个严格的数学证明。又如，儿童认识加法就是从已有的生活经验开始，在具体的数数基础上概括形成的。可见，我们所理解的成人数学与儿童的数学，还是有一定的差异的。

首先，表现在数学学习的层次有差异。成人往往用的是逻辑演绎，而儿童往往用的是经验归纳。因此，儿童的数学往往是一种“可误”的数学。

其次，表现在数学活动的过程有差异。成人数学更多的是抽象的符号操作，而儿童数学更多的则是直观材料的操作。例如，对于“均分”，开始时，儿童可能会依照经验，为了保证每个人所得的同样多，就用一种类似于一群人围在一起打牌时发牌的方式，将物品轮流地一个一个地分发（有时也会每一次先等量地分发给每一个人，然后再这样轮发）。用弗赖登塔尔的观点，这就是关于分配问题的“横向数学化”。但是，当任务较大（要分的物品或分配的对象等数额较大）时，他们就会去尝试获得另外一种分法，即寻找尽可能大的份额来一次性地完成分配，最终形成了“除法”的概念与算法，这就是弗赖登塔尔所说的“纵向数学化”——逐步的图式化。

最后，还表现在构建数学知识的方式上有差异。例如，一群小朋友在做一个争夺红旗的游戏，有一面小红旗插在地上，然后让这些小朋友排列在红旗的正前方，等老师发出口令后，大家都奔上前去夺这面红旗，以夺到为胜。他们可能会立刻提出异议，这样的游戏方法不公平，理由是每一个人到达红旗的距离不相等。那么，怎样解决最合理呢？思考、讨论、尝试等一系列的探究活动，他们很快就逐渐形成一个手拉手的形状（一个圆），于是，一种“动点到定点是一个定长”的意识就形成了——尽管它并不是一个严格的数学概念。而对成人来说，他们就可能会从空间“点集”的性质特征来构建“圆”的概念。(www.xing528.com)

（三）现实数学观

按“科学结构主义”的观点，数学本身是一个有组织、严密和封闭的演绎体系，这就是所说的理论的数学。而建构主义也认为，在我们的现实世界中，无处不存在着数学现象，虽然这些现象常常是局部的，这就是所说的现实的数学。

理论的数学是依靠公理体系来支撑的，不依赖于人的经验，存在于数学家头脑世界之中。它可能有各种各样的问题，但这些问题存在于完整的体系之中。而现实数学是依靠“局部组织”来支撑的，它往往依赖于人的经验，存在于我们的现实之中，它可能也有各种各样的疑问，但它们常常存在于并不完整的体系之中。

现实的数学实际上是由不同个体在不同环境中的不同生活经验所形成的，用以支持自己在社会生活中的行为决策和行为方式。现实的数学虽然并不存在于严密的结构和体系之中，但对于大多数人来说，却是他们与外部世界进行沟通和交互，从而获得高质量生存并推进社会进步的一些必要知识，同时也是他们进一步研究数学科学的重要基础。所以，与数学科学不同，小学数学学科的任务，主要是通过教师有效的教学组织，引导儿童将自己的经验不断地“数学化”，从而构建一些基础的、必要的和现实的数学。

（四）基本结论

从“数学是属于所有的人”观念之下的“大众数学”，来看做为小学数学课程的数学学科，它至少应具有如下几个性质特征。

1.生活性

倡导将数学学习回归于儿童的生活，这已经成为当今转变小学数学教育观念的一个重大命题。因为我们已经开始关注到，儿童是从自己的生活实践认识数学的，所以，就要将儿童的数学学习真正地回归到儿童的生活中去，在学习中时时关注儿童关心什么？经历了什么？对什么感兴趣？在生活中发现了什么？让数学学习与儿童自己的生活充分融合起来，将学习纳入他们的生活背景之中，让他们在自己寻找、发现、探索中认识和掌握数学。

2.现实性

儿童的数学是现实数学，因此，儿童的数学学习组织，应源于他们的数学现实。这种现实存在于儿童与外部世界的沟通和交流之中，存在于儿童社会生活的实践性活动之中。这些“现实”是小学数学课程的起点，也是儿童掌握数学的学习活动与生活实践之间的节点。课程的任务是构建抽象与现实的连续体。因此，小学数学课程的一个重要特征就是沟通抽象数学与现实实践之间的联系，强化数学的学习与运用，真正回归儿童的生活现实。

3.体验性

即学校的数学教育，应当努力去改变相应的课程内容、教学方式、组织策略和评价模式。倡导努力探求解法，而不单是记忆步骤；主动探索模式，而不单是记忆公式；积极大胆猜测，而不单是做些习题。可见，我们的学校数学教育应当成为一种学生去亲身体验数学问题解决的活动，不要总是将整理好的详细证明（事实）材料提供给学生，而应尽可能地让学生通过仔细的观察、粗略的发现和简单的证明发现事实或结论，只有这样，才有可能使学生真正经历超越局部的、非单纯接受的问题解决过程。