高中数学教学研究：教师访谈揭示教学认知分歧与应用价值

在对作为函数模型的数列问卷分析中，从第20题的调查统计可看出，部分教师对数列模型的应用价值还不十分清楚；从第18题和第22题的统计中发现，教师对数列的教学方式存在重大认知分歧；而从第23题的统计中又得知，教师对等差数列和等比数列与一次函数和指数型函数之间的关系有不同程度的认识.为进一步探明以上三个问题，选取了部分教师，进行了教师访谈，得出了以下结论：

（1）大多数教师认为，数列与我们的生活息息相关，能用数列知识来解决生活中的相关问题，如小学时的数数、衣服的尺码标准、存款的利息增长等问题.并且，数列本身作为一种数学模型，其数学概念、定理和公式等就是从实际问题中抽象出来的；反过来，我们又用数学模型去解决生活中的类似问题.

这说明，大部分教师是熟知数列模型的应用价值的，并认为学生了解数列模型的应用价值是有必要的.这与《普通高中数学课程标准》提出的“认识数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力”和“发展学生的数学应用意识”基本理念和要求是相吻合的.

（2）关于数列的教学方式，大多数教师是在讲数列的同时补充与函数的关系，两者兼之，交叉教学.如数列的概念，可解释为“定义在正整数集或其有限子集上的函数”；数列的通项式，也可看成对应的函数“解析式”.这样可把数列与函数紧密联系在一起，能使学生明白可将数列看成函数来学习；也有一部分教师是先把数列知识讲完，再补充说明：数列也可看成一种特殊的函数；极少数教师是从函数的范畴来讲数列，教师们认为学生对函数的认知水平还较低，若用数列的上位概念——函数来同化教学，学生很难理解，会造成认知上的障碍.

由此可看出，教师们基本都是把数列与函数统一起来讲解，并将函数的思想和方法渗透到数列教学中，自始至终体现数列与函数之间的关系，从而揭示数列就是一种特殊的函数，是函数的另一种表达形式.

（3）许多教师认为，学生深入理解“等差数列是一次函数的离散形式，等比数列是指数型函数的离散表示”是非常重要的.因为等差、等比数列是高中阶段要学习的两种最基本的数列，同时也是我们生活中常见的两种数学模型，它为我们后面学习递推数列奠定了基础.因此，要求学生熟练掌握和深刻认识等差、等比数列.而使学生理解“等差数列是一次函数的离散形式，等比数列是指数型函数的离散表示”，能更好地帮助学生从函数思想上来理解和掌握等差、等比数列.

这表明，教师对等差、等比数列十分重视，对学生学习等差、等比数列的要求也较高.因为高中数列问题主要是以等差、等比数列为载体展开的，同时它们又很好地体现了数列的本质特征，即“等差数列是一次函数的离散形式，等比数列是指数型函数的离散表示”.

（4）据了解，目前高中学校几乎都是大班授课（70人以上），许多教师认为，大班授课的工作量较大，教学任务过重，老师很少有时间进行教学反思和总结；还有，大班教学操作性不强，有些教学策略和方法得不到很好施展，如不能充分尊重个体差异性、难以进行探究性学习.由此看出，班级人数对教师的教学方式和教学任务有一定影响.

1.7.3 教学分析

通过问卷分析和教师访谈，我们了解并分析了教师对“作为函数模型的数列”的课程观、教学观和应用价值观.为了进一步研究教师关于数列的教学行为与认识是否统一，比如：是否注重从生活问题中引出数列相关概念；是否重视数列的实际应用教学；对数列的相关概念教学具体是采用哪一种教学方式，下面以“等差数列（第一课时）”为案例进行教学分析.

片段一：

【教材分析】

数列是高中数学重要内容之一，它在我们的实际生产和生活中有着广泛的实际应用.它不仅是对前面函数的承接，而且也为后面学习数列、函数的极限做好了铺垫，在教材中起着承上启下的作用.

数列作为一种特殊的离散型函数，当然与函数思想密不可分，而等差数列是我们在学习了数列有关概念和给出数列的两种表示方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入了解和拓展.从特殊数列入手来研究数列的性质，然后拓展到一般数列，是数学中常用的研究方法.另外，把研究等差数列的方法迁移到今后要学习的等比数列上，也体现了数学中的类比思想.

通过“教材分析”，我们可发现，教师对数列在高中数学中的地位和作用是十分熟悉的.学习数列其实是我们对函数所做的进一步的研究和学习，也为以后学习高等数学（极限、级数等）奠定了基础，起着承前启后的作用.同时，教师对数列在实际生活和生产中的应用价值也很关注.而本讲课“等差数列”，正是从特殊数列入手，来进一步研究数列性质的.

片段二：

【学情分析】

（1）学生已经学习了函数知识，会用函数的思想和方法来处理一些问题，能以函数的观点认识等差数列（如等差数列的图像、单调性等）.但要以函数的观点指导解题还有些困难，还不能用函数这一上位概念来同化等差数列这一下位概念.因此，关于等差数列的概念教学，若采用概念生成教学法，更符合学生的认知规律.

（2）学生已经学习了数列的基本知识，会类比数列是一种函数，得出“等差数列是一次函数的离散形式”.

（3）学生已经具备简单的“观察—归纳—猜想—证明”能力，故而可让学生自主探究等差数列的通项式，可引导学生进行严谨的推理并证明其通项式.

（4）通过前面对函数的相关知识的学习，学生已经具备初步的数学建模能力，能从简单的生活背景中抽象出数学模型，进而形成数学概念.

从“学情分析”中，我们可得知，教师把数列看成一种函数，并希望用函数的思想方法来进行等差数列的教学，但考虑到学生对函数的认知水平，学生可能不容易理解用函数的概念来同化等差数列.因此，从生活实例中归纳生成出等差数列的概念更符合学生的认知水平.另外，教师在分析了等差数列与一次函数之间的关系后，可以引导学生通过类比数列与函数的关系得出.并且，学生具备了一定的数学建模基础，可以为抽象出等差数列模型做准备.

片段三：

【教学目标】

（1）知识与技能：记忆等差数列的通项公式，理解等差数列与一次函数的关系；理解等差中项的概念；会根据等差数列的定义和通项公式来判断和证明一个数列是否为等差数列；已知通项公式an=a1+(n-1)d中的任意三个量，会求另外一个量.

（2）过程与方法：通过生活实例建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程；体会等差数列通项公式推导过程中的各种方法（归纳法、迭代法、累加法）.

（3）情感、态度和价值观：在应用等差数列的通项公式解决问题时，体会其中所蕴含的函数思想和方程思想；在应用等差数列来解决实际问题的过程中，体会等差数列在日常生活中的广泛应用性，以培养学生的学习兴趣.

【教学重难点】

（1）重点：等差数列的概念及其通项公式；理解等差数列与一次函数之间的关系.

（2）难点：探索并掌握等差数列的通项公式及其通项公式的应用；体会其中的数学思想方法.

从“教学目标”和“教学重难点”中，我们又可发现，教师把等差数列与一次函数的关系作为本讲的知识目标和教学重点，可见教师要求学生需很好地理解这两者之间的关系；从“过程与方法”的教学目标中，可反映出教师很关注等差数列模型的实际背景，注重模型的过程教学；同时，从“情感、态度和价值观”目标中又可看出，教学设计体现了等差数列的应用价值，目的在于培养学生利用数列模型解决问题的能力.

片段四：

【创设情景，引入新课】

师：在日常生活中，像教育贷款、购房贷款、存款利息等这些实际计算问题，同学们以后接触的会比较多.这些问题都与数列中一个特殊的数列相关，本节课我们就专门来学习研究这个特殊的数列.

问题呈现：

“情景1：我们常常这样数奇数：1，3，5，__，__，__，__，…①

情景2：女子举重比赛中有较轻的四个级别体重组成数列（单位：kg）：

情景3：一个水库的水位是20 m，每天放水降低3 m，最低降至5 m，那么从开始放水算起，到最低水位那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：

情景4：存入银行10000元钱，活期年利率为0.72%，按照单利计算，5年内各年末的本利和（单位：元）分别为

【合作交流，探索新知】

师：让学生观察上面的数列①,②,③,④，发现它们有什么共同特点？

生：经观察分析，我们可发现：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于(www.xing528.com)

也就是说，从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，从而归纳概括出等差数列的概念.

……

师：在日常生活中，我们常常用到的等差数列有衬衫的尺码等.大家还能举出一些例子吗？

这里教师采用了“生成概念”的方式.他从一系列生活实例中抽象出等差数列的概念，这不仅体现了等差数列的知识背景，更加体现了数列模型的“源”.同时，又让学生联想到生活中具有等差变化的事或物，引发学生积极思考，突出等差数列在生活中的常见性.

片段五：

【例题剖析，强化概念】

例题1：判断下列数列是否为等差数列？

（1）2，4，8，16，…

（2）4，4，4，4，4.

（3）1，2，4，6，8,…

（4）an=3n-5,n∈N+.

从例题1的第（4）小题中，我们可发现，an是关于n的一次形式；也可看成an是n的一次函数.而{an}就是一个等差数列，这里不仅介绍了一种判断等差数列的方法，而且其中隐藏了等差数列与一次函数之间的关系，为后面继续探究两者之间的关系埋下了伏笔.

片段六：

【引导探究，合作交流】

师：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列有重要的意义；同学们思考下，等差数列有通项公式吗？如果有的话，是什么形式呢？

方法1：观察法.

我们知道，数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项与序号n之间的关系.下面请同学们观察数列①,②,③,④，找出其中的规律，分别写出它们的通项公式：

对于数列①，其通项公式是an=2 n-1 或 an=1+2(n-1)；

对于数列②，其通项公式是an=48+5(n-1)；

对于数列③，其通项公式是an=20-3(n-1)；

对于数列④，其通项公式是an=10072+72(n-1).

从而归纳概括出等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d.

方法2：累加法.

……

方法3：归纳法.

……

方法4：迭代法.

……

这里介绍了推导等差数列通项式的许多方法，其中的方法1为观察法.从函数的表示方法角度看，观察法就相当于从“列表”中观察数列的变化规律，通过不完全归纳得到通项公式.其实，我们还可从“图像”角度得到等差数列的通项公式，因为等差数列的点分布在一条直线上，只要得到直线的方程，即可得到等差数列的通项式.教师可试着引导学生从图像角度推出通项式，给学生耳目一新的感觉，从而使学生进一步体会两者之间的关系.

片段七：

【讲解例题，巩固新知】

例题2：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，需要支付多少车费？

解答：（多媒体演示）.

随堂练习：教材第39页练习第2题.

例题3：已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

解答：（多媒体演示）.

通过例题2，列举平常生活中的打车付费问题，并从实际问题中抽象出数列模型，然后用数列知识解决实际问题，体现了“数学建模”思想，也体现了等差数列的应用价值，从而让学生感知学习等差数列是有用的.这与新课标提出的“注重数学知识的应用价值和培养学生情感、态度和价值观”理念是相一致的.

通过例题3，进一步揭示了等差数列与一次函数之间的关系，从而得到了判断一个数列是否为等差数列的另一种方法.再次突出本讲课的教学重点.

片段八：

【探究学习】本节课最后设计“活动探究”，旨在让学生通过作图来探究等差数列与一次函数的关系，以加深学生对等差数列的认识，即等差数列就是一次函数的离散表达形式，突出了两者之间的本质联系.但将其安排在本节课的最后，可能会受课堂时间影响，不能充分揭示等差数列与一次函数之间的本质联系，如作为课后思考，恐不能达到预期设计的目的.其实，在探索通项式时，可从图像角度，由点的分布情况与对应一次函数的关系得出等差数列的通项式.这不但揭示了两者之间的关系，而且还从函数角度推出了通项式，可谓一举两得.

作业布置：教材第39页练习第3、4、5题；

教材第40页习题2.2 A组第1、2、5题.

“作业布置”，旨在训练学生的建模能力，培养学生解决问题的能力.这关注到了等差数列的实际应用，体现了等差数列的应用价值.

综上所述，教师通常采用“数列与函数的关系”交叉教学，还从生活实例中，先归纳概括出等差数列，再研究等差数列，同时揭示了等差数列与一次函数的关系，并不断渗透体现.这种教学方式并未采用从函数的角度来统筹数列教学，这与教师对“数列可以从函数的角度来教学”的认知不相符合.但教学中，等差数列的应用价值得以体现了.