毕达哥拉斯的追随者们最先用比例把音乐和数学结合起来，笛卡儿著有《音乐提要》，莱布尼茨认为音乐是一种无意识的数学运算．
19世纪法国数学家傅里叶对乐声的本质作了深入研究，他证明了所有的乐声都能用数学描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和，每种声音都有三种品质：音调、音量和音色．
知能概述
形如y＝
（k≠0）的函数称为反比例函数，其基本性质有：
反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不与坐标轴相交．
k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况．
反比例函数图象关于原点O成中心对称，且关于直线y＝x和y＝－x均成轴对称．
问题解决
例1 如图，点A，C在反比例函数
的图象上，点B，D在x轴上，△OAB、△BCD均为正三角形，则点C 的坐标为________．
（湖北省黄冈市竞赛题）
对自然的深入研究，是数学发现最丰富的源泉．
——傅里叶
三等分角
“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分角”的方法．
如图，将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上，边OA与函数y＝
的图象交于点P，以P为圆心，以2OP为半径，作弧交图象于R点，分别过点P和R作x轴、y轴的平行线，两直线交于M点，连接OM，则∠MOB＝
∠AOB，你能证明吗？
解题思路 先求出A点坐标，设BE2＝a，把C点坐标用含a的式子表示．
例2 如图，P是函数y＝
（x＞0）图象上一点，直线y＝－x＋1分别交x轴、y轴于点A，B，作PM⊥x轴于M点，交AB于点E，作PN⊥y轴于N点，交AB于F点，则AF·BE的值为（ ）．
（北京市竞赛题）
解题思路 设点P的坐标为（a，b），由数到形，利用特殊三角形，用含a，b的式子分别表示AF，BE．
例3 如图，已知直线y＝
x与双曲线y＝
（k＞0）交于A，B两点，且A点的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线y＝
（k＞0）上一点C纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y＝
（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形的面积为24，求P点的坐标．
解题思路 对于（2），有以下不同的解法：
对于（3），需要思考的是：四边形APBQ的形状，P点与A点有怎样的位置关系．
如图，反比例函数｜k｜的几何意义：
（1）S△AOB＝S△AOC＝S△ACD＝
｜k｜；
（2）S矩形OBAC＝｜k｜．
当反比例函数与一次函数或平面图形结合时，常因条件的隐含性、综合性而增加问题的难度，从代数的表达形式和图形性质综合考虑是突破难点的关键，而点的坐标与线段长的转化是数形结合的桥梁．
例4 阅读预备知识，完成题目．
预备知识：
知识1：当a＞0，b＞0时，不等式
成立，当且仅当a＝b时等号成立，由此不等式可以看出，当两正数a，b的乘积为定值S时，两数之和有最小值
，即
知识2：一次函数的图象是一条直线，现将函数y＝3x＋2变形为3xy＋2＝0，利用点到直线的距离公式［注：平面内点P（m，n）到直线Ax＋By＋C＝0的距离为
如图，已知点P是反比例函数y＝
（k＞0）在第一象限图象上一点，过点P分别向x，y轴作垂线，垂足为A，B．
（1）求矩形OAPB的面积（结果用含k的表达式表示）；
（2）若矩形OAPB的周长的最小值为
，求k的值；
（3）当k＝1时，若一次函数y＝－
x－4的图象与x轴、y轴分别交于M，N两点，求S△PMN的最小值．
（青岛二中理科实验班自主招生试题）
解题思路 设
（其中x＞0，k＞0）为双曲线
上一点，由基本不等式可得
的最小值．
例5 一次函数y＝ax＋b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数
的图象相交于点A，B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．
（1）若点A，B在反比例函数
的图象的同一分支上，如图①，试证明：①S四边形AEDK＝S四边形CFBK；②AN＝BM．
（2）若点A，B分别在反比例函数
的图象的不同分支上，如图②，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．
证明 （1）①∵S矩形AEOC＝S矩形BDOF＝k，
∴S矩形AEOC－S矩形DOCK＝S矩形BDOF－S矩形DOCK，即S矩形AEDK＝S矩形CFBK．
②由①知S矩形AEDK＝S矩形CFBK，∴AK·DK＝BK·CK，即
运用反比例函数｜k｜的几何意义及等积变形，可推得如下结论：
（1）如图①，
S△OPA＝S△OCD，
S△OPC＝S梯形PADC．
（2）如图②，
S梯形OAPB＝S梯形OBCA，
S△BPE＝S△ACE．
（3）如图②，
连PC，AB，则PC∥AB．
图①
图②
∵∠AKB＝∠CKD＝90°， ∴△ABK∽△CKD，
∴∠CDK＝∠ABK， ∴AB∥CD．
∵AC∥y轴，∴四边形ACDN是平行四边形，∴AN＝CD．
同理BM＝CD，故AN＝BM．
（2）AN与BM仍然相等，证法同①．
例6 如图，双曲线
经过Rt△OMN斜边ON上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，求k的值．
（江苏省扬州市中考题）
分析 确定双曲线中待定系数“k”是反比例函数中最基本的问题，建立“k”的方程或引入辅助未知数是解此类问题的两种常用方法．怎样运用条件OA＝2AN是解本例的关键．
对称性、面积不变性、设而不求、关键点法、基本图形法是解反比例函数问题的常用方法．
音乐是净化灵魂的工具．
从开普勒和天体的音乐到爱因斯坦和他的小提琴，音乐和数学似乎拥有很密切的联系．《心灵的标符》一书试图告诉人们什么是数学、什么是音乐，揭示两者之间深层的相似．
叠加双曲线
如图，已知反比例函数
和
（k1＞k2＞0），在第一象限内的图象依次是曲线c1，c2．
例7 证明：（1）如图①，若点P在c1上，PE⊥x轴于点E，交c2于点A，PD⊥y轴于点D，交c2于点B，则S四边形PAOB＝k1－k2．
（2）如图②，若过O点作两直线分别交c1，c2于A，B两点和C，D两点，则
，AB∥CD．
（3）如图③，若一条直线与c1，c2分别交于A，B两点和C，D两点，则AC＝BD．
（3）连接OA，OB，OC，OD，由于反比例函数c1，c2关于原点中心对称，则OA＝OB，OC＝OD．又由OC＝OD，得∠OCA＝∠ODB，则△OCA≌ODB，故AC＝BD．
仿例7，请你类比提出几个猜想．
类比中的变化，类比中的联想，类比中的发展，类比中的迁移，联想纵横，可以开阔视野．
1．直线y＝ax（a＞0）与双曲线
交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则4x1y2－3x2y1＝________．
（北京市竞赛题）
2．直线y＝（1－k）x＋k（k＜1）与双曲线
在第一象限和第三象限分别交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），分别由A，B向x轴引垂线，垂足为M，N．当k＝________时，四边形AMBN 的面积取得最小值________．
（世界数学团体锦标赛试题）
3．如图，Rt△ABC位于第一象限内，A点的坐标为（1，1），两条直角边AB和AC分别平行于x轴和y轴，AB＝4，AC＝3，若反比例函数
的图象与Rt△ABC有交点，则k 的最大值是________，最小值是________．
（第3题）
（“希望杯”邀请赛试题）
4．如图，已知反比例函数
（k＞0）的图象经过Rt△OAB直角边AB的中点，且与斜边OB交于点D．若
，则k＝________．
（第4题）
（“希望杯”邀请赛试题）
5．如图，O是坐标原点，A是反比例函数
（x＞0）的图象上的一点，B是反比例函数
（x＜0）的图象上的一点，则△AOB 的面积的最小值为________．
（世界数学团体锦标赛试题）
（第5题）
（第6题）
6．如图，已知点A，C在反比例函数y＝
的图象上，点B，D在反比例函数
的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝
，CD＝
，AB与CD间的距离为6，则a－b的值是________．
（山东省滨州市中考题）
7．已知直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝
（k＞0）的图象交于C，D两点．若
，则k的值为（ ）．
（四川省竞赛题）
8．如图，已知A，B是双曲线y＝
在第一象限上的两个点．若△AOB是等边三角形，则等边△AOB的面积为（ ）．(www.xing528.com)
（第8题）
（北京市竞赛题）
9．如图，已知等边三角形AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD，反比例函数
（k＞0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）．
（第9题）
（湖北省荆门市中考题）
10．如图，反比例函数y＝
（x＞0）的图象过面积等于4的长方形OABC的对角线OB的中点M，P为y＝
（x＞0）的图象上任意一点，则OP的最小值是（ ）．
（北京市竞赛题）
（第10题）
（第11题）
（第12题）
11．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－
的图象交于A，B两点，过点A作y轴的垂线，交函数y＝
的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
（江苏省徐州市中考题）
12．如图，直线y＝
x与双曲线y＝
（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝
x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝
（k＞0，x＞0）交于点B．若OA＝3BC，则k的值为（ ）．
（广西壮族自治区南宁市中考题）
13．（1）探究新知：
如图①，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位
置关系，并说明理由．
（第13题）
（2）结论应用：
①如图②，点M，N在反比例函数y＝
（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．
②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置，如图③所示，请判断MN与EF是否平行．
14．如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0），函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象经过
OABC的顶点A（m，n）和边BC的中点D．
（1）求m的值；
（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；
（3）若P为函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象上一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与x轴上方的
OABC的一边交于点N，设点P的横坐标为t，当
时，求t的值．
（第14题）
（江苏省南通市中考题）
15．如图所示，已知双曲线y＝
（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2．分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．
（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，周长分别为C1，C2，试比较S1和S2，C1和C2的大小；
（2）若P是双曲线y＝
（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时，四边形PMON的周长最小，最小值为多少？
（第15题）
（湖北省黄冈市特长生选拔赛试题）
16．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和B，且OA＝OB＝1，这条曲线是函数y＝
的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作垂线PM，PN（垂足分别为M，N），分别与直线AB相交于点E和点F．
（第16题）
（1）设交点E和F都在线段AB上（如图），分别求E，F的坐标（用a的代数式表示E的坐标，用b的代数式表示F的坐标，只需写出答案，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用a，b的代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由；
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．
（上海市竞赛题）
17．已知双曲线y＝
上的三点A，B，C构成一个正三角形，求这三个点的横坐标之和与纵坐标之和的乘积的所有可能的值．
（白俄罗斯数学竞赛题）
18．如图，反比例函数y＝
位于第一象限的图象上有A，B两点，从点A作AD⊥y轴于点D．从点B作BC⊥x轴于点C．若△OAB的面积为
，△OCD的面积为
，求k．
（第18题）
（世界数学团体锦标赛试题）
19．有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y＝
x与y＝
（k≠0）的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y＝
x与y＝
，当k＞0时的图象性质进行了探究．下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数y＝
x与y＝
图象的交点为A，B．已知点A的坐标为（－k，－1），则点B 的坐标为________．
（第19题）
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．
求证：PM＝PN．
证明过程如下：
设
，直线PA的解析式为y＝ax＋b（a≠0）．
则
∴直线PA的解析式为________________．
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当点P的坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．
（山东省德州市中考题）
（第5题）
（第7题）
（第8题）
（第9题）
11．C 作出如图所示的辅助线，得S△ABC＝S矩形AMNC＝S矩形AMOG＋S矩形CNOG．
12．D 过点B作BH⊥y轴于点H，AG⊥y轴于点G．则AG＝3BH，设BH＝a，AG＝3a，∴
，由
得a＝1．
（第11题）
13．（1）CD∥AB．
（2）①连接MF，NE，则S△MEF＝S△NEF＝
，故MN∥EF．
②当点N在第三象限的图象上时，MN∥EF．
14．（1）m＝2．
（2）k＝8．
（3）①当0＜t≤2时，交点N在OA边上，得
②当2＜t≤3时，交点N在AB边上，得t＝
；
③当3＜t≤5时，交点N在BC边上，得
或
15．∵S1＝2×
x1·y1＝x1y1，而点P（x1，y1）在y＝
图象上，
∴x1y1＝k，即S1＝k．同理可知S2＝2×
x2y2＝k， ∴S1＝S2．
又
∴
∵双曲线在第一象限，∴x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0．
又
＝x1x2（x2－x1）－k（x2－x1）＝（x1x2－k）（x2－x1），且x2＞x1，
∴当x1x2＝k时，C1＝C2；当x1x2＞k时，C2＞C1；当x1x2＜k时，C2＜C1．
（2）设四边形PMON的周长为C，则C＝2（x＋y）．
（第18题）
过点P作PH⊥x轴于点H，点M的坐标为（m－k，0），同理得直线PN的解析式为y＝－
x＋
＋1．点N的坐标为（k＋m，0）．
∵MH＝HN＝k，∴PM＝PN．
②由①知，在△PMN中，PM＝PN，
∴△PMN为等腰三角形，且MH＝HN＝k．
当点P的坐标为（1，k）时，则PH＝k，
∴MH＝HN＝PH．
∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°．
∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°．
∴△APB为直角三角形．
当k＞1时，如图①，
当0＜k＜1时，如图②，
（第19题）
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
