巧用数学史厘清数学概念

教学中遇到学生对数学概念的提问，教师有时无从回答就会陷入比较尴尬的境地；往往教师会说这个是教材的规定，或者说是数学家发明创造的，但显然这种解释比较苍白。久而久之，学生对某些问题的思考就会减弱，提问就会减少，对数学概念的理解就会以记忆模式学习，从而不利于创新能力的培养。

数学概念的形成不是一蹴而就的，而是经过数学家漫长的探究摸索得出结论的。数学的学习要让学生知其然，更知其所以然。在学习中恰当融入数学史料知识，了解知识的产生、发展过程，博古才能更好地通今，有利于激发学生探究知识和创新能力培养。“问渠那得清如许？为有源头活水来”，数学史知识会成为学生学习的源头活水，数学家的故事可以激励学生不断奋进前行。当然，对教师的要求更高，交给学生一碗水，教师最少要有一桶水，这就需要教师不断学习以丰富自己的内涵。

在数学概念教学中，教师要对教材整体把握，要根据学生的学习基础和理解程度因材施教，因为同一个知识点在不同年级所要达到的教学目标是不同的。教师要深入理解教材，试以“小数的初步认识”教学为例加以说明。

（一）教材知识点分析

下面以义务教育教科书数学三年级下册第7单元“小数的初步认识”第一课时学习为例加以探究。

1.小学教材中有关“数”的知识整体架构

小学阶段有关“数”的学习是呈螺旋式上升状态分布的，而认识小数是在自然数和分数初步认识的基础上开展学习的。为了让学生有一个巩固思考的内化过程，四年级上册继续认识自然数，接着在四年级下册和五年级上册集中学习小数知识，最后学习分数、百分数和负数。至此，对于小学阶段有关数的学习，学生就会有比较完整的认识。具体有关“数”的学习，各年级分布情况如表3-1-1所示。

表3-1-1　小学阶段有关“数”的学习分布表

在对小学阶段有关“数”的知识学习进行总体认识的基础上，有针对性地引导学生参与学习活动，才能使其更好地厘清“小数”的概念。

2.“小数的初步认识”教学要求分析

三年级下册“小数的初步认识”第一课时的教学要求：

（1）小学生对世界充满了好奇。有时教师用现有的知识和数学推理难以做出合理解释，无法满足学生的需求，可以通过数学史来答疑，有效激发学生的求知欲和培养学生质疑的能力。

（2）结合数学史的融入，了解小数的含义，能认、读、写不超过两位的小数，认识0.1米、1分米和1/10米之间的关系。

（3）了解数学的发展史，激发学生探究知识、勇于创新的精神。

（4）数学史料的呈现让学生感悟符号思想，认识小数和分数之间的关系时渗透转换思想，帮助学生逐步积淀数学思想方法。

3.教学任务分析

在对“小数”概念教学时，不仅仅是对单一知识点的教学，尤其不能让学生死记硬背数学概念，通过让数学史走进课堂，拓宽学生的视野，激发学生深入思考，并对数学思想加以渗透，回归数学本质，让课堂教学更有数学味。

（二）数学史融入课堂教学例谈

1.追根溯源，解答疑惑

教材从不同生活实际的场景中引入小数，用身边的数学丰富学生对小数的认知。三年级对小数是初步认识，而小数意义是四年级下册才学习的，这里只是对小数有个感性认识。因此，书本对小数概念的描述是：像3.45、0.85、2.60、36.6、1.2和1.5这样的数叫作小数。

生1迷茫了：为什么它们都叫作小数？这些数都有个小圆点，为什么不叫“点数”呢？

生2：是啊，可以叫圆数吗？

……

生3：我知道了，有小数点的就叫作小数。

……

学生的认识是直观的，发言也是很随意的，看到的就是他们想到的。但是他们好奇心重，不会有我们约定俗成的想法，学习中存在很多疑惑。这种学习状态是难能可贵的，所以教师要善于抓住时机，循循善诱，这对培养学生的创新能力有一定促进作用。

利用三年级学生喜欢听故事的年龄特点，从讲数学家刘徽故事引入：刘徽在《九章算术注·少广章》中提出整数个位以下在那个时候还无法标注名称，就叫作微数。宋代的数学家秦九韶在《数学九章》中还记录了小数的计算。到了公元13世纪，元代数学家朱世杰提出了“小数”这个名称；同年代数学家刘瑾用减低一行的方法表示小数部分。我国最早提出小数表示方法，后来传到中亚和欧洲。故事的引入能让学生感受到小数的产生和发展经过了漫长的时间，同时感受到数学家的艰辛和伟大。

教师对学生提问采取了高度重视的态度，并以此为契机嵌入数学家故事和数学史知识，恰当、适时解答了学生的疑惑，保护了学生质疑的良好习惯。

生1若有所悟地回答：原来小数的曾用名是微数。

生2：微就是微小的意思，所以就叫作小数。

小孩子是天真无邪的，他们用现代知识，用他们能够理解的范围解释了小数的产生历史。数学的学习不仅仅是思维的训练，更是激发对数学奥秘的无穷探索。

针对学生2的发言：“有小数点的就叫作小数。”但在古代，小数还没有小数点，可是那些数都是小数。让学生带着问题阅读课本第99页：“你知道吗？”

阅读课本，操作并思考问题：(www.xing528.com)

（1）摆一摆学具：像古代时候那样摆小棒表示出小数3.12。

（2）在本子上用图形画出3.12，可以跟古代小棒表示方法不一样。

（3）小数3.12跟古代用小棒表示相比较，它们之间有什么联系吗？

（4）用小数点表示3.12优势在哪里？

学生带着问题阅读课本，会更加深入思考。第1个问题要求学生用小棒摆一摆表示出3.12。在摆的过程中，学生会很刻意地把小数部分0.12下移，突出体现了整数部分和小数部分的不同。第2个问题让学生用学过的图形画出3.12。学习能力中等或以下的学生基本是按照古代表示方法那样画出小棒；学习能力强的学生或者预习了课本内容的学生会用正方形和长方形来表示，如图3-1-1所示。

图3-1-1　学生用图形表示3.12

从图3-1-1及学生画出的3.12中，学生初步体会和感受了十进制计数法。第3个问题要求学生在找出古代和现在表示小数方法的联系中激活学生相关经验和知识基础，让学生感悟小数的含义。第4个问题要求说出用小数点来表示3.12的优势。学生们都善于发现更简洁，也更能表示出数位之间的关系，体验到数学的发展。而刚才认为“有小数点的就叫作小数”的那名同学也明白了：古时候没有小数点，小数点是随着数学的发展才出现的。

对于“你知道吗？”，很多时候教师们对于这部分教材的处理方式是让学生阅读后匆匆而过，但是这个教材资源富有内涵，在学科知识深化学习的基础上，还能使学生感受到数学的博大精深，培养学生对数学学习的浓厚兴趣和探究知识的欲望。

2.博古通今，明晰概念

结合义务教育教科书数学三年级下册第92页例1的教学为例进行分析。

教材设计了贴近学生生活的量身高情境，学习小数的含义和写法。课本的问题是：“只用米做单位怎样表示？”前面学生对小数已经有了初步感知，那么怎样把1米3分米改写为以米为单位的数呢？让学生充分发挥想象并能够说出理由表示出来。

学生展示的结果如下：13米、1.3米、1.03米、13米（把3下沉一行，仿照古人写法），还有的学生用图画出来，等等。显然，学生会把米和分米间隔开，1.3米和13米的表示方法能够明显体现数位之间的关系。

根据学生提交的结果，观察并思考：

（1）表示1米3分米的这些结果，哪些是合理的？为什么？

（2）合理表示出1米3分米的结果中，方便书写和理解的是哪一个？

（3）根据米和分米的关系来说一说写出的小数含义。

众人拾柴火焰高，发挥大家的智慧，观察所有的表示方法。其中，思考第一个问题，剔除不合理的，选择出合理的表示方法，“1.03”中的“0”很难找出合理的解释来说明这种写法的含义，被公认地剔除。在这个过程中，学生体会到米和分米、个位和十分位之间是“满十进一”。在思考第二个问题的过程中，学生的争议比较多，认为各自的书写都很方便。教师在争议中恰当地穿插数学史知识：1530年，德国数学家鲁道夫表示小数是用一竖间隔开，按照他的表示方法写例1的小数跟学生的表示方法只是实线和虚线的区别。教师趁机鼓励和表扬学生善于思考。1585年，荷兰的斯提文提出了小数记法，用他的表示法来记录我们学习的例题是：103①，容易理解但是书写不够方便。1593年，克拉维斯在《星盘》中最早使用小数点，他于1608年在《代数学》中明确以小数点作为整数部分与小数部分的分界。1614年，英国的纳皮尔在算筹中用逗号隔开：1，3。跟我们同学展示的结果不谋而合。到了19世纪末，有很多种不同的小数记法（展示给学生阅读了解），如“1”“1’”“.”“1，3”“”“”“1▲3”“1，3”“1.3”等表示1.3这个小数。英国和美国使用小数点“1.3”；德国、法国和俄国使用逗号间隔整数部分和小数部分“1，3”。学生在了解历史以及国内外多种表示小数的写法中，提高了对小数本质的认知，对比我们目前小数的写法，感受小数的演变和发展史。

第三个问题是让学生感受十进制计数法和进一步认识小数的含义。让学生回忆130、13这两个数中“1”和“3”分别表示的含义，猜想1.3这个小数中的“3”所表示的含义。随着学生的回答，板书如图3-1-2所示。

图3-1-2　板书

通过板书清晰地看出同一个数字，在不同的数位表示的含义是不同的。比如，1在百位上表示100，在十位上表示10，在个位上表示1；3在十位上表示30，在个位上表示3，那当3在个位后面一个位置（数位）时又表示什么呢？让学生带着问题思考和预习知识。

渗透十进制计数法：满十进一。穿插一个古时候的故事：据说有两支队伍打仗，胜利方清点俘虏，用1个指头代表1个俘虏，2个指头代表2个俘虏……十个手指用完了，俘虏还没有数完，怎么办呢？于是就想到把数过的十个俘虏放在一边，用一根绳子捆起来打一个结，这个结表示10个俘虏。然后接着数，一个结一个结地打下去，就可以数出有多少个俘虏了。

古今中外有二进制、六十进制，沿用至今是十进制，那么会不会跟有十个手指数数有关呢？那么以后还会不会有更好的计数法？鼓励学生思考和创新。

最后利用分数与小数的关系进一步感悟小数的意义。

通过自学课本内容，在线段图中看到分数和小数的关系，对小数有进一步的认识。

3.巧用数学史，渗透数学思想

日本数学家米山国藏认为：真正的教育是，即使学生把教给他的所有知识都忘记了，但还有能使他受用终身的东西，那种教育才是最高最好的教育。这里受用终身的东西就是指数学思想，数学思想方法在不同的知识点、不同的年龄阶段可以进行不同的渗透。

小学数学学习中无时无刻不在跟符号打交道，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。数学符号的产生和发展都有一部动人的历史，每一个数学符号的背后都有令人感动的故事，凝聚着数学工作者艰辛的劳动，体现了人类的智慧。作为小学数学教师，我们要在阅读数学史的过程中提高专业知识水平，以满足与时俱进的教学需求。

小数概念教学中多处渗透符号思想。教材第99页“你知道吗？”出现了古代用小棒表示小数的方法，这就是最早的用符号来记录小数的语言和要表达的思想。如前面例1所述，安排学生用合适的方式表示1米3分米，而学生结合知识基础和学习经历思考后，把他们所理解的小数含义用各种符号呈现出来，如“13米”“1.03米”“1.3米”“13米”，以及从古至今、国内国外表示小数的方法：“13”“1’”“”“”“”“1▲3”“1，3”“1.3”“1.3”“1，3”等，虽然符号不同，但都用特定的符号表示了小数的写法，展示了小数的历史，让学生理解了符号的含义，建立了符号意识。

在例1中通过分数与小数的关系认识小数，体现了转化思想。在线段图中表示同一个位置可以用3分米、3/10米，也可以用0.3米表示，在学习中感受转化思想。数学思想对学生今后的学习、生活有很大帮助。

众所周知，数学是一门严谨的学科，逻辑性强，承载着训练学生思维能力的任务。在这里我们还要认识到：学科知识学习、能力培养固然重要，但是在学习知识中积淀的数学思想方法，对于学生今后的学习和生活更是不可或缺的宝贵财富。教师在教学中要更多地关注这方面知识的渗透。

数学史走进课堂，帮助学生厘清概念。课堂中融入数学史的形式可以更丰富，如讲故事、了解数学史料、经典数学问题解决、小比赛等，让学生置身于历史情境中，像数学家一样亲身经历，复原古人解决数学问题的数学思想方法，体验成功的喜悦，充满自信；也可以体验数学家多次试验失败的经历，感受获取知识需要付出努力和汗水。以一节概念课教学为例进行探索，旨在说明课堂教学中教师备课的视野可以更广些、更深入些，让学生在短短一节40分钟的课里学习知识、培养能力、积淀数学思想的过程中获得更大的收获，培养视野开阔、富有创造力的人才。与此同时，教师也要在备课中寻根追源查阅资料、阅读文献，提升学科专业知识水平。