数学解题策略系统：培养思维与能力

数学解题策略系统是数学解题系统工程的轴心系统。人们的解题实践和丰富多彩的解题策略，给教师提出了建立并完善解题策略系统的要求。

根据数学解题思维活动过程中的监控结构，可以把数学解题策略系统的子系统分为三大支柱子系统：侧重于定向的归结为模式运作，化生为熟子系统；侧重于控制的归结为聚焦切入，活化中介子系统；侧重于调节的归结为差异分析，适时转化子系统。三个子系统中的“化”，一个在其前，一个在其中，一个在其后，也体现了监控结构的特点。

一、模式运作的解题策略

从数学哲学的角度出发，数学属于模式的科学。模式是在学习数学期间，将储存在大脑中的各种知识经验进一步加工，从而得到具有长时间保存价值或重要的典型结构、类型。从具体需要出发选择合适的模式，对它进行简单编码，若突然产生新问题，要及时判断此问题属于哪种基本模式，并联系已解决的问题，借助旧问题的解决办法破解新问题，这就是模式运作的解题策略。

从思维的角度出发，模式运作的解题策略反映了“思维定式正迁移”所带来的好处。“遇新思陈、推陈出新”，即遇到新问题时，要反思曾经遇到过的相关事件，从旧问题中找到新问题的解决办法，对旧问题要进行批判继承，剔除其糟粕，吸取其精华，才能提高问题的解决效率。由此可见，旧问题对于新问题的解决是极其重要的，从它身上能够获取解决问题的依据和方法。

典型模式类比建筑中的“预制构件”，它是思维的重要组成部分，属于一种标准化设计。简单来说，就是一种把新鲜问题转化为标准问题，再借助标准化程序实现问题解决的一种模型。

“基本问题”的思想是模式运作解题策略的重要表现，积累基本问题是提高模式运作解题策略效率的捷径。例如，在数学的几何模块中，基本图形法常被用于解决几何问题，这种方法可以对其中的典型图形进行完全分解，当出现新图形时，再融入新图形重新组合为一个全新的基本图形，也可以把典型图形分拆成多个基本图形，再在这些图形中深入解决。

正方体是立体几何中的一个基本图形，在对正方体全面认识的基础上，当出现新问题的时候，可以灵活地把它构建成一个正方体，也可以再将它分拆为多个正方体。这种思想就属于基本图形的思想，也可以看作是模式运作的策略。

模式运作策略的子系统反映出定向的思维，它始终恪守化生为熟的“熟悉化”原则和“明确的目的性”原则。由于人们认识事物的过程通常是由浅到深的，具有相对的阶段性特征，因此数学的每一个研究对象都存在熟悉和陌生之分，也就造成了，人们在认识一个新事物或解决一个新问题过程中，通常按照对熟悉事物的理解方式去看待新事物，并尽量让新问题的解决思路遵循之前的认知结构和模式。简单来说就是，运用“化生为熟”的思想，指导新问题发展方向，提供新问题的解决策略。综上所述，遇到新问题时，要将新问题和熟悉问题联系起来，借助熟悉问题寻求新问题的解决办法。“化生为熟”有利于实现新问题和熟悉问题的结合，起到求同存异、化难为易的作用。

在这里，重点介绍模式运作中的模式运用、模式变换、模式突破等方面的策略，如论题变换、同构变换、数式变换（替换）、图形变换以及数形互助、模式寻美、构造与模拟、模式迁移等。

（一）论题变换

每当碰到一个问题，感到提法有些生疏、概念有些模糊时，最好先用一些自己熟悉的语言，重新叙述一下，一次不好，再叙述一次，直到透彻为止。这看起来似乎只是语言上的说法不同，实质上是自身对问题认识和理解程度的深化过程。任何定理、命题，如果不能用自己的语言去描述，就不可能对它真正掌握，并灵活运用。任何问题，如果对其含意在自己的头脑中都没有清晰而准确的概念，就难以解决它。

变换说法之后，一些无从下手的问题会变得比较清楚、容易，甚至一目了然。问题清晰、准确是解题的第一步，当然也常常只是第一步。变换说法有等价变换与非等价变换之分。

（1）等价变换。如果由A经过逻辑推理或演算可以推出B，反过来由B又可经逻辑推理或演算推出A，则由A到B（或由B到A）的逻辑推理或演算就称为可逆的逻辑改变。

在保持同一个数学系统的条件下，把所讨论的数学问题中有关的命题或对象的表现形式做可逆的逻辑改变，以使所讨论的数学问题转化成熟悉的或容易处理的问题，叫作等价变换。将命题结论的形式加以适当改变，是等价变换的常用手段。

（2）非等价变换。解答数学问题，等价变换并不是永远可行的，在某些情况下，如解分式方程时进行去分母，解无理方程时进行有理化，解超越方程时进行变量替换等，都不得不施行某些非等价变换来促使问题化简求解。

所谓不等价变换主要包含两方面含义：一方面是变换到在更大范围内求解原问题；另一方面是变换到更强意义下求解原问题。在处理有关不等式问题时经常使用的“放缩”也是一种非等价变换手法。不等式与不等式相乘也是一种非等价变换手法。因而在证明有关不等式时，常需要采用这种手法。解答数学问题的非等价变换，有可能引起解答失真，这是要特别注意的。

（二）同构变换

对所讨论的数学问题做可逆的逻辑改变，同时使有关的数学对象发生变化，由原来的数学系统进入另一个数学系统，但仍保持原来的数学结构，这就是变换数学问题中对象的形式的策略，并称这种变换为同构变换。

从同构的观点看，结构上相同的数学对象可以互相变换，这种变换丝毫不改变这些数学对象的本质，然而却对研究数学问题的难易程度有很大影响。一个比较复杂而难以求解的数学问题，经过同构变换，可能会变得十分熟悉明了，非常便于处理。

采用同构变换的策略，不仅产生了图论方法，还产生了变量替换法、反函数法、解析法、复数法、向量法、对数法、母函数法等许多方法。实际上，解各类科学问题的关系映射反演原理就是一种同构变换。这个原则是：在一个问题中，常有一些已知元素与未知元素（都称“原象”），它们之间有一定的关系，学生希望由此求得未知元素。如果直接求解比较难，可寻找一个映射，把“原象关系”映射成“映象关系”，通过映象关系求得未知元素的映象。最后从未知元素的映象通过逆对应（称为“反演”）求得未知元素。这个原则常称为RMI原则，其应用的一般过程如下：

（1）明确原问题的原象关系及未知元素。

（2）寻找适当的映射。

（3）确定未知元素的映象。

（4）进行反演，得到原问题的解答。

这里，寻找映射是最关键的一步，也是较难的一步。重要映射的发现，是数学上的重大贡献。例如，纳皮尔发现对数及笛卡儿发现直角坐标系都是对数学的重大贡献。

（三）数式变换

在解数学题时，常常要将题设结构式进行恰当地凑配、消合、替换等来整形，即所谓的整形变换，以达到目的。

（1）凑配。凑——是按照学生预定的目标，对题设构式进行分拆拼凑，凑合，凑成可套用某个公式，能用上题设条件或出现结论的形式等，以达到某种预期的目的。配——是根据题设条件，找到或发掘出题目中的构式的特点进行搭配、配对、配方，配置出为达到预期目的所需要的形式。

（2）消合。消——是根据题设条件，使学生尽可能地缩小考虑范围，使信息高度集中，以利于重点突破的变换策略。消，可以是分拆相消、代入相消、加减相消、乘除相消、引参消参等。合——是合并、统一的变换策略。统一几个分式的分母（通分）；统一几个根式的次数（化同次根式）；统一对数式或指数式的底（换底）；统一用题目的某个量或式表示其余的量或式（代入、代换）等，都是做“合”的工作，用“合”的策略。

（3）替换。将一个稍微复杂的式子视为一个单元，用一个变元或另外一个熟悉的式子来替代。或为了某种需求，将题设中的几个变元替代成另外的表达形式，从而使复杂问题变为简单问题，陌生问题熟悉化称为替换。替换有多种多样的形式，但替换后要特别关注新变元的取值范围及特性。

（四）图形变换

一个平面点集到其自身的一一映射，将平面图形F变到图形F´的运动，称作F到F´的一个图形变换，也称几何变换。

实际上，从F到F´的一个图形变换是F的点到F´的点的一一对应。若A是F的任一点，通过建立的变换对应着F´的点A´，则A叫原象，A´叫作象。在解答几何问题时常用的图形变换有合同变换、相似变换等几何变换以及等积变换。运用这些变换及其复合的变换策略，启发证题思路，获得简捷解法。

（1）合同变换（平移、旋转、对称）。一般地，题设条件中有彼此平行的线段，或有造成平行的某些因素，又需要将有关线段与角相对集中的可考虑采用平移变换。

（2）相似变换。位似变换是一种特殊的相似变换。在解答较复杂的几何题时，常用位似变换。

（3）等积变换。保持图形面积（体积）大小不变的变换叫作等积变换，又叫等积变形。在保持面积（体积）不变的情况下可以进行图形的拼补。利用等底等高的三角形、平行四边形面积（锥体体积）相等，进行等积变形是常采用的方法。

（五）数形互动

数与形是事物数学特征的两个相互联系的侧面，通常是指数量关系和空间形式之间的辩证统一。在解决数学问题时，把一个命题或结论给出的数量关系式称为式结构，而把它在几何形态上的表现（图像或图形等）称为形结构，或者反过来称谓。利用图与式的辩证统一，相互依托，就能在解题的指导思想观念上更加深刻地认识问题，在方法论意义上使其应用更为广泛。

数（式）和形两者相互依托，主要表现在：①由形结构转化为式结构。例如，解析法。②由式结构转化为形结构。例如，数形联想法、几何法，这种方法能够让求解更方便、更简单，也更直观。

这里需要注意：第一，式结构或个别式结构之间的转化是等价的，它属于一种数式变换，体现了隐含条件和各种变式的本质联系（统一性）。在这个过程中，它通过局部类比、相似联想等方法找到解题思路，从而解决问题。第二，形结构或部分形结构之间的转化，主要是通过某种“不变性”让形与形之间进行沟通，从而解决问题。

上述意义下的数（或式）形互助包括了数（或式）形结构本身的变式、变形间的转换及相互间的整体或局部转换。数形转换互助是探求思路的“慧眼”，也是深化思维的有力“杠杆”。有人说，见数构形，直觉作桥，可训练思维的敏捷性；由形思数，由表及里，可锤炼思维的深刻性；数形渗透，多方联想，可启迪思维的广阔性；数形对照，比较鉴别，可增强思维的批判性；数形交融，摆脱定势，可发展思维的创造性。

（六）模式寻美

“寻美”的策略，就是利用美的启示，来认识美的结构、发掘美的因素、追求美的形式、发挥美的潜意识作用而解决问题的一种策略。数学美是一种科学美，体现在其具有数学倾向的美的因素、美的形式、美的内容、美的方法等方面。美的因素丰富多彩，美的内容含义深刻：统一、简单、对称、相似、和谐、奇异。而且美的内容是存在于相互渗透的辩证关系之中的。简单、对称、相似都是和谐的特殊表现，和谐与统一寓于简单、对称、相似与奇异之中。数学就是和谐与奇异的统一体，数学美就是客观世界的统一性与多样性的真实、概括和抽象的反映。数学美的客观内容及对美的追求促进了数学的发展，美感为数学家提供了必要的工作动力，或者说对于美的追求事实上就是许多数学家致力于数学研究的一个重要原因。因此，在解决数学问题时，对美的追求是一种重要的策略，对于统一性、简单性、奇异性和抽象性的追求使学生对数学问题的认识不断深化和发展，冲破原来的认识框架、认识对象的内在联系而获得解题的思路。

本书重点谈谈对称美的问题。

从微观世界到宏观世界，从自然现象到社会现象无不显示出优美和谐的对称。数学的对称之美充满了整个数学世界，从数学的研究对象、研究手段，到有关概念、运算及大量的定理、公式的形式都与对称有关。面对数学上到处可见的绚丽多彩的对称，应尽可能地加以寻找与利用。寻找对称有思路，发现对称获念头，利用对称得发现。利用对偶原则、对偶式子、对称代换、对称图形探求思路等都是“模式寻美”策略的各种表现形式。数学对称方法也是一种重要的解题方法。

运用“寻美”的策略指导解题，解题过程和之前一直在套用已有题型、模式的解题过程不同，它强调解题时运用数学思维的辩证策略，即完成题意解读，了解题目特点之后，从自身审美出发，在自身累积的知识和经验中找到解题思路，在不断完善思路中实现问题的完美解决。

（七）构造与模拟

对于探索未知量、证明某命题等问题来说，一般会用到一些辅助问题，通过对辅助问题的构造与模拟，可以找到问题解决的捷径。

从人们的期待中可以看到他们之前接触过的某种模式、手段，他们用这些模式、手段去实现心中的想法，而这些已实现想法下产生的模式、手段，又能够看到其他的通向这个期待的手段、模式，如此反复循环，直到人们满意为止。这种“由后往前”的解决办法，就是解题的“构造”策略。

“构造”本身也是一种重要的解题方法。某些数学问题是由物理外壳脱颖而出，或蕴含物理意义。在解决这类问题时，将“构造”迁移，给它披上物理外衣，或利用一个物理装置把一个数学问题化为一个物理问题，从而求得解答，这就是解数学题的模拟策略。模拟可以运用力学原理，运用质点理论，运用光学性质、组合模型等。实质上模拟是一种特殊的模型构造策略。

（八）模式迁移

解题者在解答新问题时，总是要受先前解题知识、技能、方法的影响，称为解题迁移。因此，一切解题策略都包括“迁移”。“迁移”策略可能是积极的，起促进作用，也可能是消极的，起干扰或抑制作用。前者称为正迁移，后者则叫作负迁移。正迁移又分为垂直迁移和水平迁移。垂直迁移是纵向伸延，先前的策略为某一层次的，后来的策略是另一层次的。水平迁移是横向扩展，前后策略处于同一层次。垂直迁移和水平迁移都起正向迁移作用，只是表现形式不同。显然，人们需要的是正迁移策略，体现化归的正迁移策略。遇到困惑、难繁、陌生的数学问题，运用正迁移化归为特殊、简单、熟悉、具体、低维的问题使问题获解。

对形结构、式结构的深化认识的迁移便获得特殊数学模型（或特殊数学模式）的建立。例如，对轨迹作图的深化认识的迁移便有双轨迹模型的建立；解轨迹作图时，草图显得特别重要，赖以找到细分条件或条款的分法，而画草图的理论根据，则是假设符合条件的图形已作。笛卡儿把这种做法迁移过来，便提出了“万能代数模型”。

把代数中确定未知量的解方程的方法“迁移”到解其他问题便是一种“待定”的解题策略，即先用字母表示题中的未知数，作为待定的量，列出方程，依题中已知数与未知数的关系列出方程，最后通过解这个方程求出待定的量，这个过程可以形象地表示为“以假当真，定假成真”。所谓“以假当真”，即用字母表示未知量，把它真正地当作一个实实在在的量对待，所谓“定假成真”，即在解方程时运用方程变形的理论，把方程变形，一旦解出方程，原先假定的未知量（待定量）就变成了真实的已知量了。“以假当真，定假成真”在解一类几何题，对需要求解或借助满足一定条件的一条线段或一个点，却不知线段的长度或位置，或不清楚点在哪里的问题时，就先假定它已经确定，将它“以假当真”，与其他已知条件一起参加推理，最终可以“定假成真”，确定该线段的长度或位置，或确定点的位置。

数学模式（模型）的运用与突破，是解题经验的总结，也是提高联想能力、猜想能力以及消化和运用知识能力的重要体现。在解决一个自己感兴趣的问题之后，要善于去总结一个模式，并井然有序地储备起来，以后才可以随时支取它去解决类似的问题，进而提高自己的解题能力。

数学模式的运用的突破还体现在“移植”与“杂交”方面。

随着近代科学技术的不断进步，交叉学科得以产生，数学工具和数学思想逐步影响自然科学和社会科学。尤其是在控制论、信息论、系统论诞生之后，这种趋势更为明显。这些新学科的产生，主要表现在两个方面：①借助旧学科工具去解决研究对象中的新问题，比如生物学依赖的数学工具，便产生了“生物数学”。上述这种思维方式叫作“移植”。②不仅借助旧学科工具去解决面临的新问题，还在旧学科的思想方法、基本观点前提下建立属于新问题的概念、思想、方法。上述这种思维方式叫作“杂交”。

“移植”和“杂交”是借用生物学中的术语的一种形象比喻。代数中的方程观点、映射观点与几何相结合，则产生了坐标系（一种特殊的映射）和曲线方程这样的新概念，从而诞生了解析几何，这就是杂交的实例。此后，数学分析与几何杂交又产生微分几何。又如，最小数原理与反证法杂交产生了无限下降法等。平面几何问题的代数解法、三角解法，以代数理论为基础的尺规作图理论等都是杂交的例子。利用代数方程解三角的问题，利用函数图像解方程与不等式，向量工具步入几何，复数与三角的相互渗透等都是“移植”的实例。

二、“聚焦活化”策略

剖析众多的数学问题，尤其是综合性较强的数学问题，常因条件之间的联系比较隐蔽，关系松散或表现错综复杂不易想通，此即成为“难”。这时，像放大镜的聚焦作用一般，仔细分析比较题设条件或条件与结论间的异同点或蛛丝马迹，以及潜存着的数量关系或位置关系上的特殊联系，抓住其中的联结点及其中的共性，作为承上启下、左右逢源的“中介”（即中间问题或辅助问题），围绕它来展开活化（转换）并推演和运算，常能方便地找到解题途径，恰当而又适时地将各条件引入解题过程，并运用各有关条件和定理、性质，灵活地获得所需的结论，这就是“聚焦切入，活化中介”的解题策略，简称为“聚焦活化”策略。

这一策略的子系统体现了控制的思维，遵循的是简单化、具体化的原则。简单而具体常是指演算过程短、推理步骤少、逻辑环节浅显而明确具体、表达准确而简明。许多数学问题，虽然其表现形式看上去较为复杂，但其本质总会存在简单的一面。因此，如果能用简单的知识、简化的方法对问题进行整体处理或本质分类，则往往能找到解题的简单途径。

从数学本身的追求来说，是以简捷为美的。一个定理的证明、一个数学问题的解决，途径多样，方法纷繁，其中有繁简之分、曲直之辨等，但最优的解决方法往往是最简捷的那一种。

“聚焦活化”策略的核心是活化中介。因而，这里的活化常与分（分布、分类等）、比（对比、类比等）、引（引参、引理等）、调（调整、协调等）、切换、推演息息相关。接下来从寻找中介、铺设中介、分清中介、联想中介、想象中介、调整中介、切换中介等方面介绍一些具体的简化策略。^[5]

（一）寻媒与增设

当问题给出的已知量很少，且看不出与未知量的直接联系，或条件关系松散难以利用时，要有意识地寻找、选择并应用媒介量实现过渡。选择媒介量，首先要仔细分析题意，研究条件，考察图形，看准解题的过渡方向。即一方面由已知找到可知，另一方面由未知看须知，使已知与未知逐步靠拢。那些把条件与结论、已知与未知能有机地联系起来的量，诸如数式中共有的字母及量、函数、比值、图形中的公共边、公共角、互补或互余角，或其他密切相关的线段、角、面积、体积等，往往就是应找的媒介量。寻找并使用媒介量，有时还需对条件、结论进行一些变换。例如，对数式做一定的变形，在图形中添加一些辅助线、辅助面等，这就需要对面临的数学题做深思熟虑的观察分析和充分的联想。此外，还需注意，选取的媒介量不同，常导致解法也不同，有简有繁。

在数学问题中根据数式或图形特点直接寻找媒介量是常采用的策略。但实际上还有不少问题涉及的数式十分复杂，图形中已知与未知间的逻辑关系不很明朗，或图形中各个量之间的关系相当分散，一时找不到直接存在的媒介量，这时就应当对问题做全面充分地分析探索，选择与条件和结论都有密切联系的元素辅设为媒介量（即“增设”策略），以便穿针引线、架桥铺路、沟通题中各量之间的内在联系或改变数量关系的形式，催化反应，简化数式的表现形式，达到将分散的图形条件和结论汇聚起来的目的，进而顺利开辟解题路径，抵达胜利的彼岸。

对问题的思考角度不同，辅设的媒介量也常不同，一般总是选用起着关键作用的数式（增量、比量、待定量、匹配量等）、点、线段、角、面积、体积及各种辅助图形、辅助函数、辅助方程等辅助问题。解析几何及代数问题中的参数引入是寻找媒介量的一种重要表现形式。

（二）引理与原理

在解决问题的过程中，常需要引入或运用某些结论（证明了的定理除外）作为中间推理的根据。这些结论有待证明的被称为引理，无须证明或极易证明的事实或被人们公认的事实被称之为原理。这中间推理的根据有时需要设计或者寻找。

（三）分步与排序

在解答一个问题时，如果直接通向目标比较困难，那么就把这个问题从已知条件与结论之间建立若干个小目标或中途点，把原问题分成一些有层次、有关联或几个方面等的小问题，逐个解决这些小问题，以达到一个又一个小目标，最终把问题解决，这就是解决问题的分步策略。

如果一个数学问题中涉及一批可以比较大小的对象（实数、长度、角度等），它们之间没有事先规定大小或顺序，那么在解题之前可以假定它们能按某种顺序（数的大小、线段的长度、角的度量等）排列起来，通过对这种顺序的研究，常有利于问题的解决，这就是“排序”策略。

（四）分类与缩围

不少数学问题由于给定的条件和结论不相匹配，它表现出条件较宽或较少，一开始或当解题进行到某一步后，不能统一进行，必须将待解决的问题分成若干个比较简单、无顺序层次的情形或小问题，以便分别讨论，各个击破。这便是解数学题的“分类”策略。

分类，即将被分类的概念看成“种概念”，再按照一定的属性将其外延（与概念相关的事物）拆分为大量不相容的、并列的“类概念”。需要强调的是，此处的分类是按照概念各自的属性分类的，划分标准不同，类别也有所差异。例如，三角形集合，既可以根据角度得到，也可以根据边得到。对于某些特定问题，分类往往不止一次。

二分法是一种较为普遍的分类方法，它从被分类对象的外延出发，看其是否具有某个属性（即P与非P），然后将其划分为两种截然相反的类别。

孙子兵法中有一种“收缩并分割，再围而歼之”的战略，而数学中的“缩小包围圈”这种解题思路恰恰体现了这种军事思想。这种解题思维包含了“放缩夹逼，限定范围”“分类讨论，逐一击破”“归纳特征，减元缩围”“肢解简化，各别处理”等解题方法。

（五）类比与想象

类比是一种从个别到个别，从特殊到特殊或从一般到一般的推理形式。它是在甲与乙两个（两类）事物之间进行对比（对相反现象进行研究）、似比（对类似对象或现象进行共同研究），从它们的某些类似或相同（相异）的属性出发，根据甲具有某一属性，推断出乙可能也有与之类似或相同（相异）的另一属性。

一般来说，类比有三种基本形式，即正类比、反类比和合类比。在数学中通常运用正类比，其推理形式如下：

因为对象A有属性a，b，c，对象B有属性a´，b´（a´，b´分别与a，b相同或类似）。所以，对象B也可能有属性c´（c´与c相同或类似）。

由于类比把人们对甲类事物的认识推移到对乙类事物的认识，扩大了认识的领域。因此，类比是温故知新、发现新问题、发现解题思路和方法去处理问题的策略，也是启发人们联想的思想工具，是进行创造性思维的一种好形式。类比能帮助人们从固有的解法模式中解放出来。培养思维的独特性，启发人们做多方探求，促进思维的流畅性，扩大人们的想象空间，使思维活跃。

但在运用类比时，应注意：①要尽量从本质上类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面相似甚至假象就类比，就会犯机械类比的错误。②类比是似真推理，它得出的结论不一定正确，还需经实践或用演绎法证明。

在考察他人和总结自己的解题过程中可以发现，当遇到难题而百思不得其解时，不必按固定的思路，而是借助于已知事物的表象对问题进行思考，设想解决问题的新方法或构造表现事物的本质的新形象，从而使问题获解。甚至可能是无意识地在受到某种意外事物的作用下，或注意力转向毫不相干的事情时，突然在脑间闪现出新的思想火花，使人们茅塞顿开，领悟其中奥妙，从而使长期倾心研究的问题瞬间获得解答。

人们把在解题过程中通过想象构思，出现新设想、形成新形象的策略称为想象。

想象属于一种科学思维活动，它是人们把大脑贮存的已有事物的表象进行加工改造后的独立构思；是把过去未能结合的新旧信息联系贯通，从而以某种新方式建立的新形象。那旧有事物的已有表象就是新事物的新形象的前提基础，而新事物的新形象就是旧事物的已有表象的新创造，而想象则是已有表象升华到新形象的思维心理过程的联系纽带。

有些想象是在旧有事物的已有表象的引发下，在人脑中进行仿造而设想出的类似的新形象，这是一种仿造想象，是一种初级想象。有些想象是人们在意外的引发物的作用下，在人脑中闪现出与旧有事物已有表象不同类的新形象，这是一种跳跃想象，是比仿造想象更繁杂、更高级的想象。还有些想象是在跳跃想象的过程中渗透着仿造想象的因素，既有跳跃性又有仿造性，这是一种复合想象，是跳跃想象和仿造想象的复合物。

想象主要有设想、联想与猜想三种不同方式。

（1）设想。设想指的是对同一个问题从各种不同的角度揣摩其来龙去脉，推测其发展变化的趋势和可能，构思各种不同的处理方案。也就是说，要根据对题目深入的思考和细致的分析，估计出大致的解题方向，拟定出初步的解题计划。当然，一般说来，解题计划通常是在某些线索的引导下摸索形成的，并非一开始就为明确详尽的书面上的东西，而是多少有点模糊的粗略的直觉上的东西。设想是否符合实际、是否可行，与经验、理论基础、方法论的知识都有很大的关系。经验越丰富，理论基础越扎实，方法论的素养越高，设想的预见性也就越髙。

（2）联想。联想指的是从事物的相互联系中考虑问题，从一事物想到与其密切相关的各种不同的事物，进行由此及彼思索的策略。

事物之间存在着各种不同的关系，如相似、接近、相反、特殊等。正是由于这种关系才使人产生类比联想。因此，事物之间存在着特殊关系，它使联想成为可能。而具体的相似、接近、相反和特殊等关系，使联想有了方向，从而它是联想这一心理活动的规律。人们通过联想，使旧问题的解决方法重现，在解决旧问题的方法的启发下，人们才开始动脑创建解决新问题的方法。因此，旧方法是形成新方法的前提，新方法的发现是旧方法的发展，而联想则是发现的中介。

联想主要有广泛联想（包括定向联想——联想定义、公理、定理和法则，已知已证命题，常用的解题方法和技巧）、双向联想、类似（相似、接近）联想、对比联想、关系联想、辩证联想（包括相等—不等、已知—未知、动—静、数—形）等。

（3）猜想。猜想指的是由直观或直觉上的初步判断认为可能成立，而又未经过严格证明的命题。这是人们依据某些数学事实建立这种尚待证明的命题的创造性的思维活动过程。

高斯指出：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发现。若无某种大胆放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的。”可以毫不夸张地说，任何一个数学中的定理，只要不是其他数学定理的直接推论，就都是经过猜想才建立起来的。当然，猜想并非是不顾事实的胡思乱想，它有一定的事实根据，又不受现成事实的束缚。猜想包含着以事实作为基础的可贵的想象成分，一个猜想越大胆，它所包含的想象成分也就越多。猜想可分为类比猜想、归纳性猜想、探索性猜想、仿造性猜想、审美性猜想。

在某些问题的解决过程中，猜想在不断地起作用，乃至指导整个思维活动。通过猜想可以估测问题的结果，很多数学问题的结论没有直接给出，合理地运用猜想，先考虑特殊情况，估测特殊情况的结果，从而找到一般情形的结论。通过猜想可以探索解题方向，当解题进行到某一步而不知下一步向何处走时，可以根据条件和结论，联想有关知识和解题经验做出某种猜想，往往能够确定以后的解题方向。能推能猜，推推猜猜，猜猜推推，常常是解题能力强的表现。当然，猜想也是发现新结论的重要途径。例如，运用猜想牛顿把二项式定理中的自然数指数推广到了任意实数的情形。

（六）方程与对应

方程的策略系指笛卡儿设计出的著名的万能代数模型策略。波利亚把笛卡儿的这一设计的轮廓描述为：首先，把任何类型的问题，都归结为数学问题；其次，把任何类型的数学问题，都归结为代数问题；最后，把任何类型的代数问题，都归结为解单一方程。

换言之，笛卡儿企图拟出能解一切问题的万能策略，尽管笛卡儿在世时，大概就已经察觉这一抱负无法实现，没有把文章做下去，而以后数学的大发展，更把这个设计的问题暴露无遗，但它在数学史上的地位仍然是伟大的。为了实现把任何类型的数学问题归结为代数问题，他首先致力于欧氏几何代数化，为此发明了直角坐标系，并创立了解析几何。所有这些都为牛顿和莱布尼兹发明微积分学创造了条件。之后纯数学和应用数学分支的产生和剧增，实际上都在为笛卡儿的幻想工程“把任何类型的问题都归结为数学问题”不断添砖加瓦。仅这一贡献，笛卡儿就称得上继欧几里得之后，居牛顿、莱布尼兹之前的划时代的数学家。(www.xing528.com)

重温这一设计的意义在于，尽管它并非在所有情况下都有效，但适用于举之不尽的各种情况，尤其是中学数学所涉及的许多情况。重温这一设计的意义还在于，尽管其中包含着错误的东西，但也包含着极为正确、极为有用、可以发扬光大、应用到解各类数学问题并成为极为有效的策略。

这个策略的主要步骤有四个：①在充分理解问题的基础上，把它归结为确定某些未知量。②以最自然的方式考察问题：设想它已解，把未知和已知之间根据题设而必定成立的一切关系，按适当次序形象化。③取出已知条件的一条，以两种不同的方式表示同一个量，列出未知量的一个方程。有多少未知，就得把整个已知条件分成多少条，从而列出和未知一样多的方程。④把方程组归结为单一方程。

在如上的代数模型中，最精彩、最有用的是“设想问题已解”和“用两种不同的方式表示同一个量”两步。迄今为止，仍是初等数学和高等数学建立各种方程（待定系数、微分方程、隐函数的导数等）的基本功，特别是学好代数和解析几何的基本功。这两步有时兼用，有时单用。

“用两种不同的方式表示同一个量”的引申就是“用两种不同问题形态表示同一实质的关系”，这便是对应的策略。显然这里的对应是指一一对应或配对，这里的对应也属于“RMI原则”的策略。对应的策略，也称为映射的策略。在处理集合的元素计算问题时，映射策略具有特殊的作用。

（七）列举和递归

某些数学问题情况比较复杂，但有限定或界定时，解答时需要采用列举策略，找出所有可能出现的情况，一一加以分析、讨论、推理或计算，必要时把所得结果互相比较，逐一排除或筛选结果，然后归纳出结论。例如，有关绝对值的方程或不等式，分段表示的函数问题等内容中始终贯穿着穷举的思想，解答时就需要采用列举策略。再如，举世闻名的“四色问题”，直到1976年才被完整地证明，用的也是列举策略，分成1936种情况分别讨论、计算、论证。

采用列举策略，常常在如下四种情形时需灵活处置。

第一种情形：在用反证法证某些问题时，原题结论的反面有多种可能情况，要一一列出，逐条加以否定的穷举归谬型。

第二种情形：在解有关组合问题、逻辑问题和数谜问题时，题目的结论、条件或论证过程可能出现多种情况时，逐一列出，分别论证或计算，然后归纳出结论的穷举归纳型。

第三种情形：在解有关不定方程、组合计数问题时，分别列出各种可能的情况，在每一种情况下，找出有用的情况，淘汰无用的情况的穷举搜索型。

第四种情形：在有关几何作图、求轨迹、解含参数的方程或不等式等问题时，问题的结论有多种可能而又未明确指出的穷举表述型。

怎样使列举的对象尽量地少，这是列举的难点，也是其巧妙之所在。这应当考虑极端的情形，这也是特殊策略的意义之一。

将列举策略引申至处理某些情况比较繁杂的数学问题。例如，涉及无限定或无界定（无限多、无穷多等）的问题，就要运用递归的策略。递归是通过有限认识无限的重要策略，一般适用于探讨与自然数有关的问题。运用递归策略的关键，在于寻找所论对象的某种递推关系，有了这种递推关系和初始值，便能经递归达到解题的目的，而递推关系又常通过经验归纳法的思路去探讨。因此，递推关系的正确性是需要严格证明的。常通过数学归纳法证明。显然数学归纳法是典型的递归证明方法。递归是对问题不直接进行攻击，而是对其变形、转化，直至最终把它化归为某个（些）已经解决的问题。有些常运用数学归纳法证明的与自然数有关的数学命题，运用递归策略可简洁证明。

（八）调整与逼近

讲到调整，就联系到座位调整、队形调整、人员调整、价格调整等，其意义是不言而喻的。调整一般是局部的、逐步的。解数学题过程中的调整策略，就是把解题信息分类分析，通过逐步或局部调整，找出最佳方案。由于调整的策略将变量分散考虑，使研究的变量个数相对减少，可使问题得到简化。

调整时又分微微变动与局部调整，微微变动是按照已知条件选取某个简单问题奠基或某一任意的方案，然后做微小变化调整，把问题归结到已有的结论上或考察通过怎样的微小变动才能使方案改善，重复上述工作或再继续变化，使其不能再改善，从而得最后方案，即最佳方案。局部调整就是假定某几个变量是已知的或暂时保持不变的，调整剩下变量的相互关系，使之达到目标（相对目标），然后调整开始固定的那些变量，从相对目标中找到最适合的一个。

逼近的策略，就是从与问题实质联系的较宽条件和较低要求开始，利用此时获得的结果作为新的行动基础，再逐步加强要求，加深层次，逼近原问题，最终获得彻底解决问题的一种策略。它包括一系列试探，其中每一个都企图纠正前面一个所带来的误差。简言之，误差随着试探而减少，而逐次进行的试探则越来越接近所要求的最终结果。前面谈到的“缩小包围圈”是逼近的一种形式。逼近策略自然可用于种类繁多、水平各异的求解步骤。当在词典上查一个单词的时候，便在应用逐次逼近策略，按照字母的顺序，根据注意到的单词，在所要找的单词之前或之后，向后或向前翻页，等等。

逼近策略甚至可用于整个科学领域。一个接一个的科学定理，每一个比前一个都对现象做出更好的解释，这可以看作是对真理的逐次逼近。

逼近策略历来被数学家们称为高深的策略，可以用它来解决其他策略难以处理且具有重大实际意义的高级问题。

逼近策略是从古代数学家用割圆术来求圆周率π的近似值，到分析数学始终贯穿的一条基本线索。如实数理论中用有理数逼近无理数，极限理论中的闭区间套和单调有界原理，微分学中的用平均变化率逼近瞬时变化率，积分学中的用有限和逼近无限和，级数理论中的用多项式逼近函数等。逼近是数学上最基本，也是最重要的策略之一。逼近的形式常有：递推式逼近、连锁式逼近、调整式逼近、递降式逼近、磨光式逼近等。

逐次逼近的策略收到了分散难点、逐层突破的效果。像这样为了解决问题而从与问题实质有联系的较宽要求开始，然后充分利用已获得的结果作为新的行动基础，逐步加强要求，逐次逼近原问题，直至最后彻底解决。显然逼近是一种有确定方向和一定程序的靠近。

从逼近的方向来看，有顺推、逆溯等方式。从逼近的程度来看，有模糊逼近、近似逼近等。从实现逐次逼近的实质来看，有启发逼近式和直接逼近式。直接逼近式中又有：①问题序列逐次逼近。把原问题所求范围扩大，得问题A1，再逐步缩小范围得A2，…，An。在这个问题序列中，后一问题的解决直接依赖于前一问题的解决结果，而最后解出的An是原问题的结论。②问题状态序列的逐次逼近，又叫磨光变换。把一种状态变为另一种状态，逐步消灭状态间的差别，最后达到平衡的、均匀的状态。③问题解序列的逐次逼近。选给问题的一个初始解（可行或近似的），然后以此解为基础，按固定的程序给出一个解序列，它的极限就是问题的精确解。而序列的每一项都是近似解，且一个比一个更接近精确解。

实现逐次逼近还可运用等分和等高线等。

三、差异分析、适时转换策略

所谓差异分析是利用差异使目标差不断减少的策略。这种差异包括处理手段的差异、分析条件和结论两者的差异。在运用差异分析时要注意以下几点：

（1）从需要分析的题目结论和条件中的多种特征找到目标差。比如，字母的指数或系数、元素个数等数量特征。还有垂直或平行、等于或大于等关系特征，以及位置特征等。

（2）当目标差出现在题目中时，要尽量使目标差减少。

（3）每次调节目标差都要能发挥作用，才能够不断减少目标差，否则便无法达到累积的效果。

（4）减少目标差的调节常体现在处理手段差异的调节与转化。

运用差异分析解题可以同时回答“从何处下手”与“向何方前进”这两个基本问题。从分析目标差入手，向着减少目标差的方向前进。对于恒等式或不等式证明题，这一策略常能奏效。对于处理手段差异的调节，则需要适时恰当转化。这是由于人们解决数学问题，常常按照习惯的思维方式进行思考。这种思考方式对于特定的数学问题形成了一种强烈的意识，人们常借助一些具体的模式和方法加强这种思维定式，而使许多数学问题得到解决。然而，按照这种思考方式在很多时候也会出现较繁或较难入手的情形，或出现一些逻辑上的困惑。这时就要从辩证思维的观点出发，向减少处理手段差异的方向前进，即从问题或其中的某个方面的另一面入手进行思考，采取顺繁则逆，正难则反的适时转化解题策略。简言之就是说，当用顺证不易解决时，就考虑用反证或逆推；当正向思考不能奏效时，就采用逆向思考去探索；当推理中出现逻辑矛盾或缺陷时，就尝试从反面提出假设或特例，通过逆向思维进行论证。这一策略子系统体现了调节的思维，遵循的是和谐化以及分析问题的全面性原则。进退互用、倒顺相通，这是差异分析适时转化策略的灵活运用。

当遇到解题困难时，可以换种解题思路，不再执着于迅速解决问题，而是集中精力思考问题，才能够使自己的头脑清醒，更加客观地看待所需要解决的问题。同样在解决问题时也可以主动解决容易问题，这些问题可以从一般性问题推导出具体特殊的问题。进退思路灵活运用才能事半功倍。后退思路非常重要，主要有几下几种：抽象退到具体；高级思维退到低级思维；一般退到特殊；较强命题退到较弱命题。而如果是以进求退则是相反的思路。这种策略的使用可以帮助学习者更好地解决所遇到的数学难题，是探索未知领域的必要手段，在引申、推广问题的过程中，不断提高自己的创造力和解决问题的能力。例如，人们常用的以曲求伸、欲进先退、逆推、降维等数学解题策略，就是进退互用的策略在具体解题过程中的运用。

对问题倒推顺证进行综合思考，易于挖掘题中隐含的数量关系并发现有关性质，从而沟通已知条件和待证结论或求解对象间的过渡联系。倒顺相通，兼顾结论和条件两个方面，集中注意力于目标，从整体到局部考虑，进行广泛联想，这是辩证思维对事物认识的正确反映。倒顺相通策略的运用有两种表现形式：一种侧重于整体性的思考，即抓住两头，盯住目标，寻求压缩中间环节的解题捷径；另一种是侧重于联通性的思考，即两头夹击，沟通中间，达到目标的总体思路。这两种形式也可以在解题过程中局部加以运用。

（一）正面思考与反面思考

解答数学问题从已知条件出发，进行正面思考，称为正面思考策略。对于大多数问题，人们通常运用正面思考策略。在正面思考遇到困难时，应适时运用反面思考策略，即从条件的反面或结论的反面、方法的反面去思考。反面思考的常用策略还有逆推、反求、反证、举反例等。

（二）整体与局部

解题是一个系统工程，系统的整体性决定了要用整体的观念研究和指导解题。它们的各部分是互相联系、互相影响的，它们以某种结构的形式存在。解题时将问题看作一个完整的整体，注意问题的整体结构和结构的改造，解题的成功是整体功能的作用，这便是整体策略。解题时，在研究问题整体形式、整体结构或做种种整体处理（整体代换、整体变形、整体思考等）过程中，注意问题内部的结构中某特殊局部，由此可知能牵动全局的便是局部策略。例如，人们熟知的割与补、添与减等就是具体运用局部与整体策略的典型。用整体策略来分析、处理问题，注意问题的整体结构（有时还将局部条件和对象重新改造并组合成另一个整体模式），能容易把握住问题的要点和相互联系，排除细节的干扰，监控并调节思维过程和解题程序。还要注意，有时也需在考虑问题时适时并多次转换，从整体到局部，从局部到整体。

（三）表面与内在

观察题设条件的表面形态特征，有时也能简捷破解。但当问题较复杂时，还必须通过探索问题的内容属性去揭示内在的规律，即采取层层剥笋、步步深入的策略，才能水落石出，探求出未知。一般地说，对于较复杂的问题仅靠外形破解是不可能的，必须里外结合方能奏效。

（四）进与退

人们在认识事物的过程中，自然会不断向前推进认知。数学更是一个不断前进的过程，其中的命题序列和知识发展都是环环相扣的。然而这种发展历程不是绝对的一往无前，而是在后退中求前进，在前进中求发展，在进退之间相互转化，没有绝对的壁垒。这是学习者在学习道路上必须学会的辩证思维。学习者在面对学习难题时，如果直接解题会难以前进，那么就应该去考虑更普遍或者更特殊的问题。进退互为前提，不能分割，但对于解决问题来说，学会后退比前进更加关键。

后退是要删繁就简，寻找到具备基本特征的简化问题，可以从复杂、整体、较强的结论、抽象、一般、高维退回到特殊、部分、较弱的结论、具体、简单、低维。

退到最小独立完全系，先解决简单的情况，先处理特殊的对象，再归纳、联想，发现一般性。取值、极端、特殊化、由试验而归纳等都是以退求进的表现。

明智的退有如下三个基本功能：

（1）提示解题方向。有的题目其结论是不明确的（如定值问题），经过“退”（取特殊数值、特殊位置、特殊结构）可以找到结论应是什么（定值的具体数字或表达式），接下来的证明就有了目标。抓住了解题的前进方向，是解题的重大进展。

（2）寻找解题途径。问题经过“退”之后，变简单、特殊了，解决起来就容易了。然后，简单情况的处理可能呈现着复杂问题的解决方案，特殊情况的完成可能提供了一般情况的类比基础。一个关于自然数的命题，对n=1，2，3解决了，对任意的n也可以同样解决。

（3）直接解答问题。很多数学问题，其实是某个（些）结论的特例。可以不失一般性地认为，所有习题的结论都必定是已知的必要条件。而得出这些“特殊”或“必要条件”，常常就是一个“退”的过程，一个简单化、特殊化、限定或取值的过程。在求解选择题、填空题时，取特殊值是一个重要的方法。

（五）动与静

事物通常有两种存在状态：一动一静。两者并不是绝对对立的状态，而是可以在某些情况下互相转化的，静可以转为动，动中孕育着静。在数学领域，静态化的形态和数量都可以借助动态化的思维解决。比如，用变化的数值看待常数，用瞬间运动的过程看待静止状态，反之同样适用。比如，变化、无限的数值可以用某个字母代替；无尽变化的趋势可以用不等式进行描述；事物之间的依存关系可以用函数来代替。这些都是将动态问题静态化处理。具体体现动静转换策略的有几下几种：轨迹相交、局部调整法、定值探求、递推法、初等变换、变换法、不变量等。

人们对于静态化的事物可以认为是运动过程中的某个静态瞬间，或者是找到静止之前的动态化轨迹，将运动化的视角赋予静态化的事物。

动、静是一种相对的状态。如果静止的A和运动的B进行比较，可以认为是A动B静。同时，事物在运动状态下也会有相对静态化的状态，在解决数学难题时，转化动静思维方式，寻找不变的量、性质或者静态化的状态，都可以成为解题的重要突破口。

（六）特殊化与一般性

解题者在研究问题或者对象时，会从个别情况或者小范围之内进行思考，这种解题策略便是特殊化。特殊化通常和一般性相结合。因此，个性和共性便是解题者所要考察的重点，要想了解事物或对象的本质属性，就要结合综合比较、分析、归纳等多种形式进行思索。在使用特殊化这种解题策略时要注意以下三方面：

一是从一般到特殊。在解决问题时可以把需要解决的对象或问题，从一般特性问题出发，然后再逐渐增加外在条件，针对其中部分或特殊情况进行重点分析，将问题进行特殊化处理，这是演绎的重要形式。

二是从个别和特殊出发找到一般规律。要想了解事物的关系和性质就要从特殊角度出发，找到解决问题的方法、途径、方向，这也体现了以退为进的解题策略，具体可用到反例分析法、特例、极端性原理等多种方法。

三是由特殊否定一般。在解决数学难题时，借助特殊化策略可以使解题者思路更加清晰，还可以发现证明，以反例、排除法等多种形式，使解题思路更加完善，思考范围更加广泛，不会出现遗漏答案的状况。

这种策略是从一般化向特殊化进行推进，也称之为普遍化策略。解题者在研究问题或对象时，适当放宽外在条件，将结论的关系、形式、数量进行普遍化处理，从而在更宽泛的范围内进一步解题。

一般性蕴含着特殊性，特殊性孕育着一般性。解题者在解题的过程中会使用公式、法则、公理、定义、定理等多种方式，这种解决过程其实是“一般”向“特殊”转化的过程，也是“特殊”向“一般”进行转化的过程。这种转化过程是比较常见的，解题者创建合适的学习情境，借助一般性来更好地揭示事物发展的规律和事物的本质，提高解题者的创新能力和解决问题的能力，才能够更好地使用其他的策略。

（七）弱化与强化

特殊与一般是弱化与强化的一种形式，降格（维）与升格（维）也是弱化与强化的一种形式。

某些问题由于无关紧要的枝节掩盖了问题的本质，找不到解答的关键所在。于是变更转化命题，使原命题适时弱化或强化，或强、弱反复适时转化使之更明确地表现出问题的本质。

（八）抽象与具体化

抽象是在对事物进行由表及里、去粗取精、去伪存真的基础上，抽取提炼事物的本质属性，舍弃事物的非本质属性，借以形成科学的概念和揭示事物的发展规律的一种思维。抽象策略就是挖掘数学问题的本质特征而使问题获解。用图论方法、映射方法等解题是抽象策略的具体表现。

具体化是把抽象的概念、定理和规律体现于具体的对象或问题的策略。任何具体事物都是许多规定的综合，因而是多样性的统一。而人们认识具体的过程则表现为：感性具体→抽象→综合→理性具体。因此，具体化的策略作用包含两个方面：

（1）把抽象的概念、定理和规律回归于感性具体，用个别的、特殊的或局部的具体实例或经验材料对抽象内容做直观描述，验证抽象规律或应用抽象法则，以加深对概念、定理和规律的理解。例如，用立交桥空间直线交叉或六角螺帽上下端面非平行边线来描述异面直线。

（2）把抽象的概念、定理和规律，通过综合上升为理性具体，形成各种思维的具体模式，体现于各类典型的具体对象或问题。因此，理性具体化也是模式化过程的另一个侧面，是辩证思维的重要体现，是抓住了抽象与具体的对立统一，反映具体事物之间的同一性和相似相联系的认识方法。

（九）分解与组合

数学解题中的分解与组合策略，是辩证思维的重要内容之一。由于矛盾存在于一切事物之中，分与合这对矛盾在数学解题中也是无处不在的。

分解策略，就是在解题时，将待解决的问题适当分拆、分域、分步、分类等，或将图形分拆成易于讨论的几个互相契合的图形，然后一一证之或解之（各个击破），这种策略常可使一时难以捉摸、无法下手的问题变得明朗清楚。

组合策略，也是一种整体策略。解题时将待解决的问题的条件组合起来、迭加起来，从统一的角度，用整体的观点来考虑如何达到目标。这可使人们更为透彻、更有条理地了解问题中所包含的各种信息，这对于比较自然、比较有把握地发现解题途径无疑大有好处。

在很多情形中，一个问题的解决离不开分与合的相互配合、相互转化，有时是先分后合，有时是先合后分。

（十）分离与守恒

在进行多项式运算时，常进行分离系数而得到简便算法；在解线性方程组时，常对系数增广矩阵进行变换求解，这都采用了分离策略。

在含有参变量的问题中，常常也运用分离参数的策略求解。2000多年前，欧几里得证明了“素数有无限多”这个重要命题。他的证法至今仍有极旺盛的生命力，为历代数学家所推崇，被称为一种最经典、最经济的数学推理范式，这就是分离的策略。

欧几里得的证法：如果素数只有有限个，记为p1，p2，…，pn+1，考虑p0=p1p2…pn+1的素因子p，显然p必为某个pi（i=1，2，3…，n中某个），于是p整除p0，从而与整除1矛盾。

由以上可以看出，此证法回避素数的具体构作规律，其实找这个规律并非轻而易举。此证明瞄准最终目标，着重从性质上论证素数是无限的。

在中学数学中用这种策略处理问题是屡见不鲜的。如证明两条曲线的四个交点共圆，未必要求出这些交点的坐标；讨论数列的性质，未必要求出通项公式；讨论方程的解的性质，不一定要解这个方程等。这些事例均说明了处理问题时，始终瞄准最后目标，抓住问题的最本质的特性，并辅以适当的数学方法或技巧，去解决问题的最本质的特性。这种策略又通常被称为性质与构作分离策略。

万事万物都在不停地运动，不断地发生变化，其空间形式以及与其有关的各数量也在不断地变化。然而，变化当中也有相对的静止，也有某些保持相对不变的守恒的东西，物理学与化学已经总结出了不少守恒定律：动量守恒、能量守恒、物质不灭定律等。

数学上也有很多守恒性的东西：不变量与守恒性操作。在处理数学问题中，进行恒等变形不改变问题的性质、结果的操作称为守恒性操作。如配方法引入待定系数等是常用的守恒性操作。在解数学题时，能抓住其中的不变量，或采用守恒性操作的策略可以称之为“守恒”策略。利用“不动点”解题是守恒策略的一种形式。

（十一）展开与叠合

展开的策略是一种转化的策略。例如，在讨论立体图形的侧面为可展面中的面积、路线等问题时，就需运用展开的策略，将空间图形中的问题转化为平面图形中的问题去处理；在讨论多项式乘方中的有关系数、项的问题时，常将其展开；还有高等数学中幂级数展开、泰勒展开式等。把一个比较抽象、复杂的问题展开，转化成比较具体、简单的问题是人们处理问题（特别是立体几何问题）的常用策略之一。

展开的反面是叠合。展开和叠合均是一种运动，运动与状态息息相关。因此，在运用展开和叠合的策略时，要特别注意运动前后的状态。在运用母函数求解数学问题时，就离不开展开与叠合策略的运用。

（十二）逻辑推演与直感

逻辑是制定策略的有力工具，而逻辑推演是一种重要的解题思维策略。

逻辑推演的策略，就是依据逻辑形式（概念—判断—推理），注意逻辑关系（同一、从属、交叉、对立、矛盾等），遵循逻辑规律（同一、矛盾、排中、充足理由），遵守逻辑规则（论题明确、论据真实、论证充分合理），将解题形式转化成关于谓词演算和命题演算的推理的一种策略。这是人们在解逻辑推理题（如判定名次问题、比赛胜负或得分问题、说真假话问题、证明不可能性问题及判断身份等问题）要运用的策略。

直感策略就是运用数学表象（即人脑对当前没有直接作用于感觉器官的，以前感知过的事物形象的反映）对数学问题有关具体形象的直接判别和感知的策略。直感与灵感不同（直感是显意识，灵感是潜意识），直感与直觉也不同（直感是直觉的整形象判别的侧面，直觉的实质主要在于逻辑思维过程的压缩，运用知识组块对当前问题进行分析及推理，以便迅速发现解决问题的方向或途径。直觉是直感的扩大或延伸，直感是直觉形成的基础之一）。数学直感策略有如下形式：

（1）形象识别直感。数学表象是一种普遍形象，是一种类象。具体数学是特殊形象，是一种个象。将类象和个象两者的特征进行比较，整合出相似性，对个象进行判断，个象是否和类象属于同一性质。在数学中识别形象主要是对图形、图式的变式、变位等多种情况进行确认，在综合、复合状态下分解辨认这种策略。最重要的是把问题对象分解成最基本的图示或者图形，使解题者能够准确把握解题方向，找到合适的解题思路。

（2）模式补形直感。解题者在大脑当中已有数学表现模式，这种策略会让解题者对有相同特征的数学对象进行表象补形。这是由部分向整体转变的解题思维方式，有时也从残缺的形象中补充整体的形象，这种思维方式就是在数学解题过程当中经常会用到的方式。解题者大脑当中的表现模式越丰富，那么就意味着补形能力越强，就越能够补充头脑当中的图示或图形。几何补形法经常会添设辅助线来使解题思路更加清晰。在代数当中经常会用1和0之间互相转换，同时还有构造法、配方法、拆添项法等多种形式，使图像的结构模式能够呈现为基本问题，从而更好地解决难题。

（3）形象相似直感。复合直感是以前两种直感为基础发展而来的。解题者进行形象识别时如果不能通过补形来进行解题，或是无法在大脑当中找到已有的表象，那么解题者便会从大脑当中进行形象识别，选择最接近解题目标的形象，将形象特征进行差异化比较，以此判断两者之间的相似程度，再借助大脑思维进行进一步改造，将改造后的形象与原来的形象进行连接，因此解题者会将问题进行进一步的转化。在解题过程中形象相似直感主要有图示和图形两种直感方式。形象相似直感需要借助猜想、类比、想象、联想等多种推理方法来进行进一步连接。数学形象相似直觉是否丰富主要取决于解题者是否建立起丰富的图像或图形表象系统，同时这种直感系统也是和前两种直感系统不可分割、相互作用的。

（4）质象转换直感。利用数学表象的变化或差异，来判别数学对象的质变或质异的形象特征。数学中的图形、图像、图式等在主体头脑中形成的表象是数学对象本质的外观，象变意味着质变，象异代表着质异。数学中质象转换常把图形、图像、图式的相对静止或特殊状态，同有关的动态表象系统或一般形态相互比较来进行判断。

形象识别直感（直感策略）起到了灵活运用基础知识，简化解题过程的作用。一些解题技巧的运用往往起源于形象思维（直感策略）的启发，而不是逻辑程序（逻辑推演策略）的套用。因此，逻辑推演与直感是相辅相成的，直感是逻辑推演的基础，逻辑推演是直感的归宿。

【注释】

[1]江高文.数学新思维——中学数学思维策略与解题艺术[M].武汉：华中师范大学出版社，2002.

[2]本章图片均引自：沈文选，杨清桃.数学解题引论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2017.

[3]沈文选.高中数学竞赛解题策略[M].杭州：浙江大学出版社，2012.

[4]沈文选.高中数学竞赛中的秘密[M].长沙：湖南师范大学出版社，2014.

[5]刘菊红.高中数学教学方法与策略研究[J].学周刊，2019（12）：40.