《出土文獻研究.第十一輯》中的古代除法表達方式

古算書裏，除法的表達有兩個關鍵術語：“實”、“法”。“實”指被除數，“法”指除數。《數》裏的除法表達方式可分三類：

1.“實”、“法”均未指明，然後説“令……而成一”，“……成一”，“……而成一”之類，例如：

方亭，乘之，上自乘，下自乘，下壹乘上，同之，以高乘之，令三而成一。［0830］

2.術文指明“法”，未指明“實”，但對“實”的算法作了描述，然後説“即除……而得……”，“除，實如法一步”，“令……而成一步”，“如法而成一”，“如法而一步”之類，例如：

以所券租數爲法，即直（置）輿田步數，如法而一步，不盈步者，以法命之。［0816］

3.術文指明“法”與“實”，然後説“如法一步”，“如法一兩”，“如法一斗”，“如法得一戟”，“如法得袤一尺”，“（實）如法得一”，“如法而一”之類，例如：

取禾程述（術），以所已乾爲法，以生者乘田步爲實=，（實）如法一步。［0887］

第1類表述實例較少，第2、3類實例較多，據此推測在《數》成書之時，第2、3類表述是常用除法表述模式。《數》現存算題中未發現指明“實”而未指明“法”的情況（張家山漢簡《算數書》中也僅見兩例），這説明當時的除法表述更注重對“法”的界定。關於古代算書的數學表達方式，郭書春已做過詳細論述，^〔10〕當然其中也包括除法的表達方式。

而更讓我們關注的是所有除法表達的末句，諸如“（實）如法得一”之類，它們究竟表達了怎樣一種數學思維呢？不妨打個比方，假定被除數（實）是一池水，除數（法）是一個桶，“（實）如法得一”之類的表述就是將池裏的水注入桶裏，滿一桶，則計數“一”，如此下去，注滿多少桶水，則計數“一”多少次，最後不滿一桶了，就用分數表示，記爲幾分之幾桶。例如［0816］簡所記：“如法而一步，不盈步者，以法命之。”就是類似的含義。

這種思維模式是將除法變成多次減法，看似很笨拙，但我們以爲這一算法可能非常適合現代計算機的運算，它絶對不是一種落後的數學思維。化除法爲減法，劣勢在於運算次數增加，而對於現代計算機而言，這一劣勢是不存在的。例如2010年國防科技大學研製的“天河一號”計算機系統，峰值性能達到每秒4 700萬億次。^〔11〕在這種運算速度下，化除法爲減法所造成的麻煩完全可以忽略不計。

那麽化除法爲減法的優勢何在呢？我們與計算機應用技術專業的專家討論了這一中國古代數學思想，結論是：化除法爲加法（減法可視爲加法，即加負數），對計算機而言，應當是一種優化算法。“事實上，現代計算機的中央處理器CPU内部並没有按與數學中四則運算一一對應的原則來構造元件，而是借用二進制補碼運算，將減法轉變成加法規則完成；同時，將乘法運算轉變成移位與加法運算，例如：未知數x與奇數（此處設爲3）的乘法可以分解成x·3=x·（2+1）=x·2+x，整個運算便轉化爲移位運算和加法運算，其中，x·2的結果相當於x向左移1位。同樣的道理，如果能將除法運算轉化爲減法加移位，如前所述，除法運算也就可以按加法和移位的動作來完成。這樣做的最大優勢是將所有的運算最後都歸結成加法及移位操作，也就是説計算機内部除了加法器、移位器，不用額外出現減法器、乘法器和除法器，這對縮小集成電路的規模有着決定性的意義。”^〔12〕

數學的發展有兩個方向：一是“算”，一是“證”。中國古代數學精於“算”，西方數學着力於“證”。近現代，西方數學占據絶對優勢地位，是科技發展的支撑，但是現今的計算機時代，“算法”復爲重點，中國古算的思想或能爲今時所用，再現光彩。

【注释】
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〔1〕朱漢民、陳松長：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，上海辭書出版社，2011年，第67頁。

〔2〕郭書春：《九章算術譯注》，上海古籍出版社，2009年，第38頁。

〔3〕郭書春：《九章算術譯注》，第36—39頁。

〔4〕林力娜教授（Prof.Karine Chemla）提出的觀點。歐盟科研項目SAW（European Research Council Project：Mathematical Sciences in the Ancient World）學術研討會，巴黎，2012年5月16日。

〔5〕朱漢民、陳松長：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第22—24、119—124頁。

〔6〕郭書春：《九章算術譯注》，第117頁。

〔7〕此示意圖根據林力娜教授（Prof.Karine Chemla）和朱一文博士提出的觀點繪製。

〔8〕據本人與彭浩先生網絡音頻通話所商議内容改寫，2012年5月7日。

〔9〕朱一文博士提出的觀點。歐盟科研項目SAW學術研討會，2012年5月23日。

〔10〕郭書春：《試論〈算數書〉的數學表達方式》，《中國歷史文物》2003年第3期，第28—38頁。

〔11〕《中國天河一號計算機運算速度破世界紀録》，鳳凰網，2010年10月29日，http：//news.ifeng.com/mainland/detail_2010_10/29/2934286_0.shtml。

〔12〕此段論證由蕭赤心博士撰寫。蕭赤心，中南大學計算機應用技術專業博士，湘潭大學計算機系副教授，2010—2011年在英國埃塞克斯大學（University of Essex，UK）從事博士後研究。