维特曼在阐述数学教育本质的基础上,提出将数学教育看作是系统演化的“设计科学”,这一主张对数学教育研究领域有着特别的意义.数学教育的核心任务在于建构“人工制品”,例如构建教学单元,研制课程内容,编写教科书等,同时探讨这些人工制品在不同教育情境下可能产生的各种效果.这种建构的质量离不开理论的建设性思想,有赖于设计者的创造发明以及系统评价,这也是设计科学研究的特性.
数学教育作为一种设计科学也强调数学教育的特点以及相对独立性.数学教育不是数学的附属物,也不是心理学、教育学的附属物,因为设计科学都不是某个相关学科的附属物.如果试图利用其他相关学科的模式来组织数学教育,就会让数学教育失去立足点,因为其他学科会忽略针对概念和实践创新进行创造性设计的绝对重要性.
设计科学的特点
数学教育研究充分体现了设计科学关于系统的复杂性和自我组织的特性.例如从系统演变的角度看,关于教师与学生、理论家与实践者的关系已经不同于传统观点下的关系.知识不再是教师向学生单向传输的结果,而是学生与教师以及学生在社会互动下学习而获得的建设性成就.因此,数学教育家开发的课程与教学资源必须有助于这样的互动过程.特别是,这些课程教学资源为教师和学生提供足够的自由空间,让他们自己选择.为了促进并激励教师灵活使用以这种方式开发设计的资源,需要培训教师,把他们当作研究与开发团队的合作者,而不是结果的接收者.因此,教师通过培训可获得新的智慧,这是类似于培训工程师,在工程师培训中一般使用“反思性实践者”的概念.我国研究者顾泠沅针对教师经历种类繁多的培训之后仍然很难把学到的知识和技能运用到日常课堂上这样的困惑,提出从教师的需求出发,“教师的专业发展是需要实践性知识保障的,教师成长和发展的关键在于实践性知识的不断丰富和实践智慧的不断提升”.[39]他所设计、开发并实施的“以课例为载体的教师教育模式”为解决理论如何向课堂实践转移的问题提供很有价值的行动策略.[40-41]
数学教育作为系统演变的设计科学可以有不同的发展路径,而不是像分析的、自然的科学那样,只能按照一种假设的“单一范式”发展.在设计科学中,不同过程与方法的同时出现,是发展的象征,而不是滞留不前.正如托曼(Thommen)在其管理理论中阐述的:“基于不断发展的经济世界,有可能在各种不同的形式框架或者模式下,重建(重构)经济环境.它们不是相互排斥,相反,它们可能是互补的,因为没有一个模式能够考虑到所有的问题,并且平等地对待它们.多元模式的存在,就有更多的问题可以去研究,相互纠正的机会就越大.因此,在管理理论中,我们把模式的多样性看作是这个领域向前发展进而发生演变的一个指标,并不是说在演变过程中,新的模式产生,旧的模式消失.”[42]
进入21世纪,人们再次反思如何从设计科学视角思考数学教育研究.莱什(R.Lesh)和斯利拉曼(R.Sriraman)提出与数学教育密切相关的设计科学特征:[43]
1.要探讨的主题往往是人类创造力的产物,它不同于物理学、心理学等,需要通过分析的方法来描述和解释自然发生的过程、机制和规律.设计科学家需要理解和解释的最重要的“主题”(subject)往往是由人类设计、发展或者构建的.例如,在数学教育中,这些主题涵盖了帮助学生或教师发展的概念系统,以及体现思维方式的课程材料或者教学过程.
2.要探讨的主题是个复杂性系统.诸如在工程学和生物学中,这样的系统明晰地出现在开发人工制品的设计文本中,例如航天飞机、摩天大楼、增长模型和计算机信息程序系统;而在数学教育的设计文本中也能看见一些类似的系统,这些设计文本描述了在变化的情境中,何时、何地、何人、为何、如何来修正那些课程材料或者教学方案.遗憾的是,通常数学教育关注的往往是概念系统的发展,而不是如何建构表达概念系统的人工制品或工具.这里有两种情况可以使用“设计研究”.
(1)研究关注的是具体的人工制品或工具,也就是说,研究者要开发促进教学、学习或评价的资源.一般来说,高质量的产品需要能够与他人分享,并且在持续变化着的情境下再利用,因此产品需要组件化,并且易于修正完善.这就说明,为什么基本的设计原则是人工制品+设计的重要组成部分.
(2)研究关注的是概念系统,也就是说,研究者想开发某些复杂的概念系统,它们是为学生、教师、课程开发者或者其他教育决策者提供基础的.但是,为了形成关于概念系统本质的有用构想,研究者需要用体现思想的人工制品(或者概念工具)来表达思路,而这些人工制品或工具是通过一系列循环设计、经过反复检验和修正而逐渐完善的.这样当检验人工制品时,基本的概念系统也得到了检验;往往会产生一系列可审计的文献资料,它展现出我们研究主题所开展的一系列活动的重要信息.我们可以通过展现数学演变,来显示社会思维方式的演变,数学演变展现出人工制品在符号表示法被理解之前所经历的一系列循环设计.
3.研究者的设计目的在于功能、可共享性和可再用性,而不在于测试.有效利用才是决定改革项目和课程资源是否继续存在的主要依据,有效利用要从权力过渡到与他人分享和在其他情境下的可再用性.真正优秀的教师会不断地再开发他们所使用的教科书或者课程资源;真正优秀的课程资源应该是易于调整,以适应学生的发展变化.
4.研究者要认识到所探索的主题是不断变化着的,因此需要去理解和解释相应的概念系统.其一,为了理解某个相关系统而开发的概念系统,会塑造并操作新的系统,因此,一旦我们理解某个系统,我们往往会去改变它;当我们去改变的时候,我们就需要发展自己的理解.
5.社会的制约因素和社会情境会影响我们所研究的主题.例如工程师开发的系统以及相应的人工制品或工具的设计“说明书”是受人为意图影响的,同时也受使用系统或者工具情境的物理因素或经济因素影响.因为人为意图不断变化,人们也经常按照开发者意料之外的方式使用工具或其他制品,因此在使用工具或制品在被使用时,工具本身往往会发生变化.数学教育有类似的情况,那些工具(软件、课程资源、教学方案)的本质受到社会生成资本、社会制约因素、社会情境的影响,也会受到创造这些工具的个人能力的影响,或者受到设计这些工具时最初的情境特征的影响.
6.没有单一的“宏大理论”可以为现实复杂问题提供实际的解决方法.在包含着复杂性系统的现实决策情境下,从来不存在无限的资源(时间、金钱、工具、顾问);另外,部分利益相关者的目标经常是相互冲突的,例如低成本与高质量.因此,在这种环境下,有用思维方法通常需要整合来自不同学科视角的概念和概念系统.
7.通常,发展包含着一个不断往复的设计循环.为了开发有足够动力、可共享以及可再用的人工制品及其设计,设计者需要经历产品的整个设计过程,循环往复地按照特定的意图检测、修正产品.这样的发展循环就自动生成一个文档跟踪系统,它显示出产品产生的各种信息.
应用数学领域的核心内容——数值分析和算法分析的产生就是一个很好的例子,它们就是通过对历史产物的不断修正得到目前使用的概念.如阿基米德(Archimedes)创造的用来逼近圆周率的方法,是数值分析的基本概念之一,即一个简单有趣的迭代数列先例.阿基米德的方法与计算内接(或外切)于单位圆的正n边形的周长当n趋于无穷时的极限问题有关.当时,阿基米德用到了内接(或外切)于单位圆正96边形的周长,计算出圆周率的近似值,这说明阿基米德有极强的计算能力.21世纪的现代计算工具可以分析阿基米德算法的计算复杂性.在阿基米德的算法中,算法的每一步需要再加上一个平方根,这被称为“神奇的”理性逼近法.“神奇”在于,需要知道那时候是如何计算平方根的,阿基米德从未明确地展示出来.比较阿基米德的技巧和现代迭代技巧的计算效率,是很有用的数学练习.我们发现,一个9位数的圆周率的近似值,需要16次的迭代,需要一个正393216边形!计算效率可想而知.(www.xing528.com)
这7个设计科学的特征与数学教育密切相关.在数学教育领域有许多问题是复杂性问题,仅仅靠单一的研究无法解决,单一研究导致理论与实践的脱节.例如美国数学教育出现两次革命,即“技术革命”与“建构主义革命”.[44]尽管有研究表明技术与数学教学的整合取得成功,但大量教学实践并非如此.对“建构主义课堂”的研究也表明“我们都是建构主义者”,但是研究者提到的建构主义课堂教学只是教学的冰山一角.导致研究结论与现实实践不吻合的原因在于这些研究往往是一次性的验证,很难将其结论一般化.
关于设计研究
作为设计科学的数学教育主张以设计研究为最主要的研究范式.作为一种发展中的研究范式,设计研究自20世纪90年代以来在国际教育学界所受的关注与日俱增.它聚焦于理解自然情境学习和设计有效学习环境,通过迭代式的设计探究将理论与实践联结起来,是理解教育革新如何在实践中运作的重要方法论.[45]
目前对设计研究的定义没有达成一致.布朗(A.Brown)较早地将设计研究引介到教育研究领域,指出设计研究“旨在将课堂从学术工厂转变为能鼓励学生、教师和研究者之间进行反思性实践的学习环境”.[46]巴拉布(Barab)和斯夸尔(K.Squire)的定义则关注这一方法论的三要素:理论、人工制品设计和实践,从目的上给出综合性定义,他们指出“设计研究与其说是一种方法,不如说是一系列方法,旨在产生一些新理论、设计一些人工制品和实践以潜在地影响自然情境之中的学与教并对此作出解释”.[47]这一定义更为贴近数学教育中的设计科学的特征.杨南昌从不断涌现的设计研究的论述中归纳出一些重要特征,包括:干预主义与设计导向;迭代循环与过程导向;实用主义与效用导向;贯一性与理论导向;整合性;境脉性.[48]
设计研究把设计看作是知识建构的过程,而不仅是创造新产品的过程.它把以往剥离的理论研究和实践应用通过交织在一起的设计和研究过程整合起来,它有两个主要目的,同时满足研究者(开发者)与教学实践者(学习者、用户)的需要,一是面向实践,开发成果的设计或教育革新,解决教学问题并促进教学实践发展;二是提升理论,即提高我们对课程、教学、学习的理解,形成设计原则.
数学课程研究中的设计科学
20世纪末期以来,数学课程改革成为数学教育领域乃至整个教育领域发展的重要标志.21世纪,我们应该为学生设计什么样的数学课程?如何来设计这样的数学课程?这是数学课程改革中首要面对的问题.回答这样的问题,首先需要明确分析设计所试图实现的目标以及达成目标的条件和情境.在设计科学看来,确定具体目标是设计的起点.
以我国21世纪初的义务教育阶段数学课程改革为例.课程改革研究团队通过问卷调查和深度访谈分析数学课程现状、学生数学学习特点,通过文献研究分析数学发展进展,通过国际比较研究分析数学课程发展的国际潮流,基于这样的系统研究,提出数学课程目标,如,通过义务教育阶段的数学学习,学生应该能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识、基本的数学思想方法和必要的应用技能;初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识等.制定数学课程目标是数学课程设计中具有决定意义的一项工作.[49]
另外课程改革是一个系统工程,需要吸收复杂性系统的思路和方法.以我国21世纪初的义务教育阶段数学课程实施为例.课程实施应该考虑四个方面:数学课程教学、数学教材编写、数学课程评价、数学课程资源开发,也就是说需要对这四个方面进行设计研究,而每一个设计本身是一个系统,这些系统之间需要相互协调,共同满足需要实现的数学课程目标.例如,在数学教材编写过程中需要思考教材在数学课程教学中的功能,数学教材不再是课堂教学中唯一的知识组织和呈现媒介.数学课程资源的开发,拓宽了数学课程的空间,为了让这些资源在数学课程教学中发挥应有的作用,在开发资源的过程中需要对照资源应有的数学意义和教育意义,不断完善资源体系.
设计科学主张在设计研究过程中,针对新目标领域和条件情境拓展研究范围和知识体系,这一主张对数学课程研究有着特别的意义.例如,数学课程研究也特别关注当今的数学课程是否为学生在校外能够进行数学的思考做好了准备,该设置怎样的课程内容有助于学生数学素养的培养等.近20年来,数学课程改革特别强调培养学生的数学问题解决能力,培养学生跨学科的数学能力,例如生物数学、工程数学领域内容的问题解决能力等.莱什和斯利拉曼建议采用自下而上的培养路径,也就是要转化视角.传统上先教授学生必学的内容,然后将所学的应用于现实情境,以此来掌握数学;现在应该将学生置于有意义的情境中,在这些情境下,学生将主动学到的概念情境化和形式化,以此学会将现实情境数学化.这种教学视角的转化为数学课程内容的变革打开空间.米切尔森(C.Michelsen)则提出在研究数学素养(能力)培养时要考虑文化因素,将数学带入我们的文化时,就需要我们重新思考数学课程创新,什么是学生应该知道和理解的.他建议,在数学课程中考虑关于危机、动态系统、自我组织,以及由数学和数学外因素引起一些主题,这样帮助学生更为显性地认识数学化过程,同时培养他们处理复杂问题的能力.[50]将学生的学习置于真实的目的、对真实问题的探究之中,这在中小学数学教育中并不常态化.可以这样说,20世纪60、70年代改革以后,几乎所有的中小学的数学课程内容都是属于科学定义的数学,也就是说,所教的概念都是数学的基本概念.因此数学课程研究中涉及的研究对象基本上是变量、函数、微分方程、极限等.只有少数研究是关于跨学科的、技术类的、社会科学类的数学课程内容.几十年来的数学课程研究成果表明,很少有研究关注数学和其他学科之间的教育关系.这类问题往往是复杂的,因为他们包含着两个明显不同的成分,数学外的领域和数学领域.作为数学课程研究者,我们认识到,数学对于有意义问题的解决以及促进社会发展有着很大的价值,因此我们需要设计对学生有意义的、有价值的学习环境.
匈菲尔德(A.Schoenfeld)也特别强调数学课程发展的重要目标之一,培养学生校外的数学能力,对这数学课程目标的研究有助于理论与实践的融合.要实现这种融合,需要将课程发展看作是旨在细致分析、系统描述做什么、为什么做和如何做的研究活动.[51]这样的数学课程研究.旨在探索新的课程内容领域的教育意义,通过实验或实证研究,去发现哪些核心概念、思想可以让哪些特定的学生群体学习.在此需要构建起分析数学内容结构的框架,分析这些内容的教育意义的框架,研究相应的教与学过程的框架,以及开发相应的教学过程或环节.
数学课程研究的另一个重要任务则是数学课程评价研究.在数学课程开发和项目设计中,有一句老生常谈的话“简单处理产生小的效果;但深入广泛的处理又不能完全落实”,“除非你让它运作,否则不会有任何创新”.[52]因此在开发和评价课程项目时,仅仅演示课程的实施过程是不够的,更为重要的是解释为什么以及如何实施,要关注参与者和系统内其他部分的互动.因此,在设计过程中,首先要描述相关系统(课程、教师、学生等)之间期望的关系和互动,它是任何课程创新的最重要的因素之一.例如,20世纪90年代初,美国学校数学标准委员会(Commission on Standards for School Mathematics)开发了一个指导学校进行数学课程改革的框架,鼓励教师讲授大量的数学主题:数的概念、计算、估算、数据分析、建模、离散数学、函数、统计、概率、几何、测量等,并且强调不是孤立地去教这些主题,而是要体现出它们之间的联系.这个课程项目期望,教师按以下目标为学生创造学习机会,即让学生重视数学、相信自身的数学能力、学会问题解决、数学交流和数学推理.这个项目借助《儿童数学教学》(Teaching Children Mathematics)和《数学教师》(The Mathematics Teacher)期刊鼓励教师互动,开发适合所教学生的课程.[53]
其次设计应该是实用的,也就是说,设计的课程项目要易于被改造并且适应持久变化的环境.成功的课程创新,最重要的特征是,设计的模块化、可改造性、共享性.
《儿童数学教学》和《数学教师》期刊上发表了教师根据美国学校数学标准委员会开发的这个课程框架,自行开发的课程.例如,一个为期4周的课程单元“超越表面”,帮助学生将许多概念和技能融会贯通,与其他分支学科相联系,与个人发展相联系.该课程单元围绕表面积与体积关系展开,并按照促进学生建立联系的基本原则进行再设计:数学应该与学生兴趣相联系;学生通过积极的、具体的学习任务建构自己的数学概念;利用一些数学工具展现数学关系;学生通过写日志、展示、研讨会讨论和参与项目学习,仔细揣摩学生数学体验之间的联系.显然,美国学校数学标准委员会开发的这个课程框架很好地体现出它的可改造性、共享性.
所有的课程项目有其优点和弱点,大部分项目在特定的时候、为了某些目的、在某些环境下运行良好,而没有项目是在任何时候、为了所有目的、在所有环境下都能运行良好.因此,课程实践者需要了解何时、何地、为何、如何、何人、在什么环境下,可以运作哪些资源.另外,如果一个学校的校长不理解或者不支持某个课程项目的目的,这个项目就难以成功.因此,评价某个课程项目时,也应该评价主要管理者的特征和角色,这些评价不能以模糊的方式进行.一个项目的成功有赖于运行到多大程度,运行质量如何.如果一个项目只运行了半程,或者实践者、管理者仅以一半的热情在实施该项目,那么这种项目是不可能百分百成功的.一个成功的/高级的创新课程往往要持续好多年的运行,在评价创新项目时,应该评价实施的质量,评价不是为了走过场.
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