根据效用理论，理性保险选择能最大化满足感

1.伯努利效用理论

效用（Utility）是经济学中最常用的概念之一。一般而言，效用是指对于消费者通过消费或者享受闲暇等使自己的需求、欲望等得到满足的一个度量。效用的概念由丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，后文用伯努利专指）于1738年提出，用来描述财富带给人们的满足程度。

伯努利提出效用概念，是为了解释圣彼得堡悖论（参见下面“3.圣彼得堡悖论”），并以此对期望值理论发起挑战。伯努利在论文中对效用理论进行了描述，可以大致概括为两条原理：边际效用递减原理和最大效用原理。^[2]

边际效用递减原理，可以分为三个部分：第一，个人对于财富的效用值与财富量成正相关关系，财富越多，效用值越大；第二，随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降；第三，财富带来的效用值存在上限。换做数学语言描述就是，效用函数一阶导数大于零，二阶导数小于零，效用函数收敛^[3]，如图13-1所示。最大效用原理，是指在不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。

简单来讲，效用是一种人们对于财富量的满足感，财富越多，满足感越大，但是满足感增加的速度慢于财富增加的速度，并且满足感存在上限，当达到上限时就不再随着财富增长而增加。如图13-1所示，财富x1的对应的效用值为u（x1），财富x2的对应的效用值为u（x1），EX是x1和x2的期望值，其对应的效用值为u（EX）。根据边际效用递减原理可知

伯努利效用理论认为，个人的决策行为准则是获得满足感最大化，而非一味追求平均财富最大化。至此，伯努利开创性地将心理因素引入到风险决策中来，效用也成为理性人进行风险决策的经济学准则。

图13-1　效用函数示意图

2.期望效用理论

伯努利效用理论自提出以来就一直饱受争议，而其广泛运用则是发生在200年之后。1947年，冯·纽曼（Von Neumann）和摩根斯坦（Morgenstern）通过公理化假设论证，为伯努利效用理论的广泛应用奠定了较为坚实的基础，发展了期望效用理论，为不确定性经济行为的研究提供了分析工具。期望效用理论可表述为，如果某个随机变量X以概率pi取值xi（i=1，2，…，n），而某人在确定地得到xi时的效用为u（xi），那么，该随机变量给他的期望效用为：

按照期望效用理论，前面企业主的保险购买决策结果则会与之前有所不同。假设600万元对该企业主的效用值u（600w）=60，1000万元对其的效用值u（1000w）=100，企业主不投保该保险的效用值为u（600w）×50%+u（1000w）×50%=80，而800万元的效用值u（800w）＞80。因此，只要附加保费不是太高，为了获得最大效用，该企业主会投保该保险。

从20世纪60年代，以博尔齐（Borch）、阿罗（Arrow）和莫森（Mossin）等人为代表，将期望效用理论引入保险研究，开启了对保险进行现代经济分析，保险活动自此被纳入主流经济分析框架。

博尔齐的研究表明，保险市场可以分散化解个体风险，但却无法分散化解社会风险。因此，在厌恶风险的人群总体中，那些影响整个经济的社会风险才是至关重要的，并且由每一位社会成员进行分担。阿罗和莫森均对保险需求理论进行了探讨，并且分别得出了相近的结论：由于保险定价时存在附加保费，被保人应该通过自留部分风险，即购买“不足额保险”来达到风险厌恶预期效用最大化。虽然两人存在一些相近的结论，但由于莫森的论文探讨得更加深入，因此莫森的论文被公认为是保险需求理论的开创性论文。

简单来讲，基于期望效用理论的现代保险经济学理论（以下称“现代保险理论”）认为，在精算公平的情况下，消费者购买保险的效用大于不购买保险的效用，因此消费者应该主动购买保险；由于存在附加保费，消费者应该通过购买“部分保险”而非“足额保险”来获得最大效用。

通常而言，效用理论描述的是决策者的理性行为。对此，现代保险理论对保险消费者也做了假定：①完全理性，即消费者的所有行为都是有意识的和理性的，不存在经验性的或者随机的决策；②完全信息，或者消费者收集和处理保险购买相关信息的成本为零；③潜在地假定消费者只有经济损失，而没有任何相关的精神损失或情感价值损失。

然而，其所假设的条件与真实情况并不相符。首先，消费者做不到完全理性，很难评估自己面临的风险以及计算期望效用。其次，消费者也做不到完全信息，甚至于很多人难以理解和接受保险，更无法无成本地收集购买决策需要的各种信息。最后，保险只能赔付经济损失，无法对没办法度量的精神损失或情感损失进行赔付，即保险金不能够完全替代消费者遭受的损失。

现代经济学（及保险经济学）理论与实践之所以存在偏差，其根本原因在于实际生活中的人们并不满足理性人的标准。人类获取知识的方式（只能后天获取，不能记忆遗传）和交流的方式，必然导致人类认知水平的分化和不具备完全理性。

人类大脑并非刻意设计的产物，而是不断进化的结果，其进化方式则是不断在已有大脑结构（“旧脑”）的基础上增加更高级的功能（“新脑”），但旧脑的结构基本没有改变。对此，美国霍普斯金大学神经科学家戴维·J.林登（David J.Linden），将大脑的结构进化比喻为“犹如一个添加了几次的甜筒冰激凌”^[4]。在大脑进化的时间轴中，越是高级的结构，其出现的时间越晚。人类大脑是一个三层包裹的结构，最里层是负责原始生理活动的脑干，叫作本能脑，也称为爬虫脑。中间层是边缘系统，负责喜怒哀乐等情绪，也被称为情绪脑，是人类的情感中心。最外层是大脑皮层，也叫新皮质，负责高级认知和逻辑推理，控制着所有高级、有序的抽象思维，堪称人体的“理性基地”。人类正是凭借着独特的新皮质结构站上了物种之巅。

虽然理性作为一种强大的存在，但是受限于大脑的进化方式以及出现的时间较短，理性并未占据主导地位。对此，乔纳森·海特（Jonathan Haidt）做了个形象的比喻，理性相对于直觉（感性）犹如骑象人和大象的关系。“人类的心理分成若干部分，有时彼此还会互相冲突。一部分就像一个骑在大象背上的骑象人，能进行自觉的、推理性的思考，但是无法完全控制大象的行为……我手里握着缰绳，只要动动缰绳，我就可以指挥大象转弯、停止或往前走。不过，只有在大象没有它自己的欲望时，我才指挥得了大象。一旦大象真的想做什么，我就根本斗不过它。”^[5]

正是由于现代保险理论的假定基础与现实存在偏差，必然地导致了现代保险理论对诸多实际现象缺乏足够的解释。但是不论如何，现代保险理论为人们提供了一种理性保险决策的参考。

3.圣彼得堡悖论

当然，这些经济学概念本身是极其枯燥乏味的，而对其背后的真相探索却是趣味无限。在此，我们一起来了解所谓的“圣彼得堡悖论”。圣彼得堡悖论其实源于一种投掷硬币的游戏，该游戏规定：游戏者抛掷一枚均匀的硬币，如果出现反面就继续抛掷，一直到出现正面结束，最终根据抛掷的总次数n，游戏者获得2”元奖金。当游戏参与票价定在什么范围内，你才愿意玩这个游戏？

由于每次抛出正面或反面的概率均为，游戏参与者能够连续抛掷n次的概率也就为，该游戏奖金期望值为：

按照期望值理论，决策者按照期望值最大化的方式对风险资产进行决策。该游戏的奖金期望收益为无穷大（∞），无论票价多高，人们都应该玩这种游戏。然而，大多数人并不愿意支付过多票价来玩这个游戏，甚至于“几乎没有人愿意花25元去参加一次这样的游戏”^[6]。也就是说，人们在期望值为无穷大的游戏奖励和25元二者之间选择了25元。这与期望值理论构成了第一个悖论，在此姑且称之为决策悖论。

按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其期望值最多也就是几十元，而非无穷大。这出现了计算的期望值与实际情况不符的矛盾，构成了第二个悖论，在此姑且称之为数值悖论。

尤其需要注意的是，人们往往把圣彼得堡悖论中的隐藏的两个悖论混为一谈，经常未对这两个悖论做区分。事实上，经济学、心理学、社会学等学科的学者谈论圣彼得堡悖论往往是指决策悖论，用以讨论人们决策的行为偏好，而数理学家讨论圣彼得堡悖论往往是指数值悖论。因此，当在前者学科中提到圣彼得堡悖论时，往往是用于讨论人们的决策行为。

对于决策悖论，伯努利认为，之所以没人愿意花很多的钱来玩这个奖金期望值为无穷大的游戏，是因为人们并非按照期望值理论来进行决策，即以金额期望值作为决策的标准。因此，伯努利提出“效用”的概念，用以重新探讨人们的决策标准。伯努利提出圣彼得堡悖论（决策悖论），正是为了挑战期望值决策理论。

（1）圣彼得堡悖论之数值悖论。

展开来说，圣彼得堡悖论中所设的游戏，其参与者获得的奖金数学期望值为无穷大，但是在实际的投掷实验中，其得到的平均值都是比较小，往往最大的就是几十元而已。而按照概率理论，多次实验的结果将会接近其数学期望，也就是无穷大。因此，理论上期望值为无穷大与实际实验得到的平均值极小形成了数值悖论。

要理解数值悖论，需要明白两个前提：第一，对无穷大进行比较时，需要考虑无穷大的阶，阶越大，则意味着趋向无穷大的速度越快，而高阶无穷大除以低阶无穷大的结果依然是无穷大，譬如。第二，无穷集合与有穷集合不能对比，即该游戏中的计算理论期望值所使用的奖金和概率的集合是无穷集合，而无论人们进行多大次数的实验，得到的样本只能构成有穷集合。

在此基础上，数值悖论的理解也就容易了很多。简单来讲，笔者认为该游戏的关键在于以下两点。

第一，至少存在一个既幸运又悲惨的玩家，一直只抛出硬币的反面，并且永远抛不出硬币的正面。只要存在一个这样的玩家，无论所有其他玩家的抛掷结果如何，所有玩家的平均收益就都可能会是无穷大。对于这样特殊的玩家，幸运的是奖金数量无穷大，悲惨的是永远无法获得奖金，因为只有其抛出硬币的正面才能终止游戏并获得奖金。是否存在这样的玩家呢？理论上是存在的，并且是必然存在的！其可能性是多大呢？答案是无穷小，即无限接近于零但又大于零。(www.xing528.com)

第二，奖金设定的增长速度极快，快于玩家数量增长的速度。仅仅存在特殊玩家是不够的，毕竟产生既幸运又悲惨的玩家的概率是相对确定的，只有该游戏中该玩家的奖金趋向无穷大的速度远远快于玩家数量趋于无穷大的速度，才能使得玩家获得的平均奖金趋向无穷大。也就是说，总奖金的无穷大相较于玩家数量无穷大属于高阶无穷大。但是，如果我们改变奖金设立的方式，改为获得的奖金为玩家总共抛掷硬币的次数n，那么情况就变了，虽然同样存在特殊玩家获得无穷大的奖金，但是游戏的期望值却变成了2。（参见下文游戏的平均抛掷次数）

综上所述，解释数值悖论的核心在于两点：第一，人们无法获得一轮永远只抛出硬币反面的游戏，因为这样一轮游戏注定无法终结。宛如庄子所言：“以有涯随无涯，殆已。”而这也注定了学者所进行的所有抛币实验都不可能使得最终的期望值达到无穷大。第二，抛币实验者们其实是在做统计学的事，而根据小概率原理——“一个事件如果发生的概率很小，那么它在一次试验中是几乎不可能出现的，但在多次重复实验中几乎是必然发生的”，这注定了所有抛币实验都不能得到有玩家获得极大数量奖金的情况，而只能得到奖金偏小的统计结果，因为奖金数量越大，其对应的概率越小，无穷大的奖金对应着无穷小的概率。在“无穷大”这个魔鬼面前，人类所能达到的“多次”，是那么的渺小和微不足道。

在每一轮游戏实验中（在此规定所有玩家玩一局游戏为一轮），玩家数量有限，即每次实验重复的局数有限，注定了人们无法获得一局永远只抛出硬币反面的游戏，这使得每一轮实验的奖金期望值都稳定在较小的范围，即最高的也就几十元。因此，数值悖论本身并不构成悖论，只是因为人的能力有限而已。

分析到这里，我们暂且可以形成一个共识：进行无穷多次游戏，是获得游戏期望值无穷大的前提。游戏所获奖金的平均值，而N趋于无穷大，因此总奖金趋向无穷的速度更快。基于此，我们可以大胆猜测：在游戏实验中，所获奖金的平均值xe随着游戏的重复次数而增大。

为了验证该猜测，笔者通过电脑模拟，对该游戏重复了1亿次。模拟数据及拟合曲线如图13-2所示。^[7]最终，得到了与其他学者相似的结论，即“在大量模拟实验以后，其实验均值xe可以近似表示为xe≈log2N”^[8]。

图13-2　抛掷实验数据模拟及拟合

然而，该学者在论文中并未说明其模拟采用的具体算法、工具，以及所得到的相关数据和对数据的拟合过程，同时也未说明具体的模拟参数，而是只给出了以上结论，以至于其结论缺乏足够的说服力。基于此，笔者按照游戏的设定规则用计算机编程重新对其进行了模拟验证，而最终获得了相似的结论。相关模拟代码和详细说明，读者可在微信公众号“挖井人”中下载并自行调参和运行。

另外，该抛掷实验还可以通过新的数理模型进行验证。假设人们进行2”局硬币抛掷游戏，在理想状态下，按照概率理论，出现连续抛掷k次的游戏局数为。当k＞n时，0＜2n-k＜1，但在实验条件下，对应的游戏局数只能为整数。对此，我们不考虑k＞n时的局数情况，仅考虑其中的2n-1局游戏的局数分布情况。^[9]也就是说，在理想状态下，其中的2n-1局硬币抛掷游戏出现抛掷次数为1，2，3，…，n-1，n次的游戏局数分别为2n-1，2n-2，2n-3，…，2，1局^[10]，所获得的奖金平均值为：

也就是说，当实验次数N趋向无穷大的时候，总奖金为高阶无穷大，奖金平均值也趋向无穷大，但是奖金平均值趋向无穷大的速度相对较慢。（阶的大小比较：N×log2 N＞N＞log2 N）

基于此，之前进行的游戏实验统计获得的均值较小，最大也就几十元就很好理解了。因为即使进行1亿（108）局游戏，所获得平均奖金也不过为log2108=26.6元而已。虽然所获得的平均奖金依然很低，而此时有较大可能出现的最高投掷次数是27次，对应的最高奖金为227≈1.3亿元。那么，重复1亿次需要多久呢？

该游戏中，每位玩家平均抛掷的次数为：

在计算机模拟中，所得到的每位玩家的平均抛掷次数也与之相符。也就是说，一局游戏平均抛掷两次硬币，若抛掷一次硬币用时1秒钟，平均玩一局用时2秒，那么玩1亿局就需要2亿秒，即6.34年。如果是一个人来抛掷1亿次，即使不吃不喝不休息，也需要花费6.34年的时间；如果是100人来完成，不吃不喝不休息的情况下，也需要花费23天的时间。因此，我们可以推测，前人所进行的所有实验，其硬币的投掷次数极可能都是小于1亿次，因此所获得的奖金平均值最高也仅为几十元也是极为合理的。

另外，抛掷次数每增加一个量级（即变为之前的10倍），所需的时间则变为之前的10倍，但是实验所得的奖金期望值却只增加大约3.32元。^[11]也就是说，在人为投掷硬币的条件下，试图通过“大量”抛掷来获得较高的奖金平均值是几乎不可能的。由此可见，数值悖论本身并非真正意义上的悖论，而只是因为受人类思维和能力的局限所导致。同样，人们不愿意花过高的费用来玩这个抛币游戏，其本身是合理的，因为获得高额奖金的概率太小，意味着其风险太高。基于此分析，笔者认为，效用是人们生活中客观存在的一种心理反应，但却不是圣彼得堡悖论中的决策悖论的真正原因。

对于概率较为熟悉的读者而言，或许已经看出抛掷次数在概率分布上符合几何分布。由几何分布的特点可知，抛掷次数的期望值为2，方差则仅为0.5。期望值与上述计算和计算机模拟均相符合，而从方差较小可以看出，抛掷实验中绝大部分所获得的抛掷次数均较小，即很难出现抛掷次数极大的情况。^[12]由此也就很好解释数值悖论的产生原因了。

（2）圣彼得堡悖论之彩票猜想。

决策悖论是对人类决策准则的一次颠覆，也是现代经济学的基石。数值悖论则是对人类思维的一次扩展，尤其是对于无穷大的认知。当然，圣彼得堡悖论分析至此，已经算是可以画上圆满的句号。但是，我们还可以从中获得更为有趣的内容。

通过对决策悖论和数值悖论的分析，笔者猜测，其中应该还隐藏另外一个现象。假设存在一家有着足够多资金且不怕亏钱的彩票公司，愿意向我国2亿彩民开放这个游戏，开放时间为一年，共100场，平均每周2场，而每场参与的每位彩民只能玩1局；另外，规定彩民只有在连续抛掷硬币次数m≥16才能获得奖金，每注彩票5元，彩民可以选择加注，且每追加一注后可领奖的连续抛掷硬币次数m减少1次，最多追加15注，其余规则不变。笔者猜测：①该彩票游戏的受欢迎程度会远大于现有的其他彩票项目；②大多数彩民愿意选择加注。在此，我们姑且把这种现象称之为圣彼得堡悖论之彩票猜想。

事实上，该彩票游戏最正确的玩法就是：选择不加注，每场都人人参与。而这种玩法的结果是啥呢？就是极大可能导致彩票公司巨额亏损。我们来分析一下，即使m≥16才能获得奖金，但是每位彩民获得奖金的概率为，且获得奖金起步为216≈6.6万元。

假设2亿彩民每场都参与，那么全年总共400亿局，即使在不发生极端情况的前提下，按照数值悖论中的结果，原始版本中每局的游戏奖金平均值为log2（4×1010）≈35元，在改良版的彩票游戏中，彩票公司需要保证人均票价不低于35-15=20元才能不亏损。最终的获奖结果是：有极大概率产生1位奖金为235≈340亿的奖金获得者，2位奖金为234≈170亿的奖金获得者，4（即22）位奖金为233≈86亿的奖金获得者，8（即23）位奖金为232≈43亿的奖金获得者……256（即28）位奖金为227≈1.3亿的奖金获得者……52万（即219）位奖金为216≈6.6万的奖金获得者。另外，因为加注而获得奖金的人就更多了。从奖金获得者的占比的奖金金额来看，目前彩票市场上现有的所有彩票类型，都显得那般渺小且不值一提。

玩家每加注一注，玩家获得奖金的概率增大一倍，但是玩家所获的平均奖金只是增加1元而已，而彩票公司成本却下降了4元。若所有玩家加注4注，票价为25元，彩票公司的成本也上升到24元，此时彩票公司极有可能盈利；若所有玩家追加15注，则游戏就完全变成了最初的游戏版本，只是票价为75元而已，但彩票公司的成本却只上升到35元。当然，追加12注应该就已经是绝大部分玩家的极限了。

相比于其他所有的彩票项目，这个彩票游戏其实是最有潜力的。这是因为：①获得相同巨额奖金的概率远高于其他彩票项目；②其他彩票项目均为零和博弈，而这个项目却是正和博弈，只要玩的局数足够多，彩票公司极大可能性出现巨额亏损；③其他彩票项目的奖金有上限，而该游戏的奖金无上限。越是了解这个游戏本质的人，就越愿意参与该游戏。

玩家加注并不会改变游戏的本质，因为加注只是降低获得奖金的门槛，但不会增加局数。玩家选择加注，虽然看上去并不改变游戏的本质，但是却使得获得奖金的概率翻倍了。而之所以笔者猜测会有玩家愿意加注，是因为人们相信通过提高概率可以极大地降低风险，并且会存在大量的玩家进行加注。

当然，这个悖论难以验证，因为彩票公司才不会发布这种极大可能巨额亏损的项目，但是读者们不妨可以设想确实有这个彩票游戏项目，在不知道以上分析的情况下，你会怎么做呢？做法是否跟如上分析一样？

以笔者为例，该游戏的设定起始奖金为216≈6.6万元，其对笔者的冲击力和吸引力是巨大的，相比于5元的门票费用，笔者非常愿意选择了解和参与。而一旦参与该游戏，笔者就会情不自禁地选择加注，用5元的加注使得获奖概率提升一倍，对笔者而言是一个“合理”的选择，尽管加注并非最优的玩法。

在改良版的游戏中，游戏的本质与原始版本相比并未发生改变，只是改变游戏的规则会产生不同的结果。这种改变源自以下几个原因：①起玩门槛低，但是获奖额极高，这使得即使是风险厌恶型的人也有极大的参与动力；②一旦选择参与游戏，就会情不自禁地陷入思考，如果自己恰好只抛了15次硬币，则会很遗憾地失去即将获得的约3.3万（215）元奖金，怎么办呢？当然是选择加一注，用5元就可以解决这个问题，这比再冒险一次稳妥；③重复第②步，一直到即便是奖金为1024元（210）都依然对笔者有足够的吸引力，而此时已经加了6注了，对应的门票为35元。

依此推测，在改良版的游戏设置之中，玩家通常会很愿意加注，其门票可以轻松的卖到20元（加注3注）以上。而实际上，相对于原始版本，此时的真实票价还需要再加上13元（若只加3注，16-3=13），也就是说，此时的票价已经相当于把原始版本的票价卖到了30元以上。

当然，或许有人会质疑笔者本人是典型的风险偏好型玩家，所以会参与该游戏，以上结论并不具有代表性。对此，笔者在将游戏改良之后，向诸多朋友都讲述了该游戏，而笔者所获得的反馈也均如上文所述。

如何确保彩票公司不亏钱呢？只需要再更改一个条件，就是设置封顶奖金，比如设为235≈340亿元。一旦设置了封顶奖金，此时就可以取消对玩家局数的限制，并且可以一直开放这个游戏。只要平均每局的门票不少于17元，根据大数定律，玩的局数足够多，那么彩票公司正常情况下就会稳赚不赔。即使加了封顶奖金的限制，也并不影响玩家参与热情，因为340亿元对于玩家来说已经是一个天文数字了，已经足以登上中国富豪榜。虽然理性分析可知，玩家这个时候不应该加注，而是应该把加注的钱用来多玩几局，但是笔者依旧还是忍不住要加注。

理性作为一种强大的存在，以至于人类在尚未来得及进化出像处理视觉和直觉一样高效的大脑结构之时，就已经凭借着它站上物种之巅。而人们对于理性的认知，莫过于是在考虑到实际风险和收益后，在较为安全的情况下去获取理想收益。

根据圣彼得堡悖论中的决策悖论与彩票猜想的差别，我们可以看到：①人是复杂的，无法完全用所谓的风险厌恶、风险偏好、风险中性简单区分，其中间的转变在于是否有足够的回报。在该游戏的原始版本中，人们对奖金的思考起点就是2元，而在改良版本中，人们对奖金的思考起点就是6.6万元，不同的回报导致了人们不同的选择结果。恰如邓宁格所言：“一有适当的利润，资本就会非常胆壮起来。只要有10%的利润，它就会到处被人使用；有20%，就会活泼起来；有50%，就会引起积极的冒险；有100%，就会使人不顾一切法律；有300%，就会使人不怕犯罪，甚至不怕绞首的危险。”^[13]②人们对风险的感知程度与风险的反馈频率有关，风险反馈频率越高，风险感知度越大。两版本游戏并无本质差别，甚至原始版本更有利于玩家，但是对于玩家而言，原始版本中玩家要获得6.6万元或更多的奖金则需要连续冒险不少于15次，每次风险概率均为50%，而改良版本中玩家只需要冒一次险，风险概率为。虽然本质就是一样的，但是体验却会不一样。在改良版本中，玩家接下来思考的是如何把这一次冒险的风险降低，然后顺其自然地选择加注。最终，我们看到，在彩票猜想中，人们至少同时表现了风险偏好和风险厌恶两种属性。