数学建模策略：引导学生解决实际问题

（一）转变教育教学方式

在应试教育大背景下，提高学生的数学成绩是数学教育的重中之重。很多教师为了提高学生的成绩，将所有的时间都用来学高考所要考查的科目。教师在教学过程中重视数学知识的传授，忽视数学思想方法的渗透。学生是数学学习活动中的主体，教师在教学之前，首先要了解学生已有的知识经验，进行细致的学情分析，领悟数学教材中蕴含的数学建模思想，分析数学建模思想在知识中的体现情况。高中生接触实际生活较少，生活经验还不够丰富，对教材及教师有很强的依赖性。教师要鼓励学生通过查找资料，找到所要学习知识的现实背景材料，对材料进行分析、归纳，并选择合适的教学方式和教学方法，对学生进行数学建模思想渗透教学，改变以往以讲授为主的课堂教学模式，鼓励学生参与课堂活动，独立思考，培养学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力。同时，鼓励学生找到多个数学模型来解决实际问题，有利于拓展学生的思维，培养学生的创新能力。

（二）关注学生数学学习态度

通过分析调查问卷及测试卷，发现还存在小部分学生对数学及数学学习的态度不够积极，教师应关注学生学习态度的变化，选择学生感兴趣的情境导入新课，应用数学建模思想进行教学，通过生活实例，引导学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的探索过程，让学生感受到独立解决问题的成就感，增强学生学习数学的兴趣，增强学好数学的 信心。

（三）以培养学生的数学核心素养为目标

数学核心素养是《新课标》中对学生各方面素质的综合要求。数学核心素养主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、抽象概括和数据分析素养，教师确定培养目标后，有计划、有目的、有效率地进行教学。将数学建模思想应用于数学课堂教学，让学生经历实际问题的提出到解决的全过程，来培养学生的数学核心素养。对于比较抽象的几何知识，教师可引导学生想象实际生活中有关的物体，从中抽象出相应的几何模型，来加深学生对新知识的理解。教师在课堂教学中要重视学生数学建模思想的形成，在数学建模思想的指导下进行教学，有利于培养数学核心素养。

（四）把握建模教学要求，探寻培养方向

1.注重培养高中生开放性的数学思维

注重培养高中生开放性的数学思维对学生数学建模素养的培养有积极的影响。开放性思维的核心是思维的发散，在数学学习的过程中，开放性思维的培养对高中生来说是必要的。尤其是在数学建模的过程中，思维的开放性不仅能够帮助学生从多方面思考问题，还能从多个角度出发建立数学模型，从而解决问题。为了提升高中生的数学建模素养，教师可以在课堂中主动创设开放性的问题情境，让学生利用建模的相关知识解决实际问题，以此来激发学生的求知欲。例如，学生对于学校每年举办的秋季运动会都抱有极大的热情，不仅积极参与各项体育活动，而且热衷于运动会方案的设计。因此，教师可以以运动会为背景，提出运动会可能会碰到的数学问题：各个运动项目的时间怎么安排比较合理？整个运动会活动经费大致多少才合理？活动经费如何用？应购置哪些奖品颁发给获奖选手？奖品应该如何分配？……学生所提出的问题可能会远远超过教师的预设，教师在学生提出问题的基础上进行引导，让学生建立数学模型解决问题。在整个过程中，学生不仅充分发挥了自身的能力，而且有利于学生自身思维的发展。

2.注重培养学生的数学实践能力

教师注重培养学生的数学实践能力对学生数学建模素养的培养有积极的影响。数学建模的价值主要体现在对实际问题的解决上，因此要通过实践才能够体现。为了进一步提升高中生的数学实践能力，教师在教学中要注重数学知识与实际生活的联系。数学建模最终要应用于实际生活，因此学生不仅要具备有关建模的知识经验，还要具备基础的生活经验。学生自身的生活经验是数学知识运用于实际生活的基础，生活中的一些现象也应当成为学生进行数学建模的问题背景。日常生活中隐藏着无数数学问题，教师要注重引导学生将生活中隐性的数学问题，通过建模的方式表达出来。例如，生活中常见的保险理赔，财产保险是常见的保险，现在有如下几类财产保险： a类财产保险每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为 1年，期满后不退保险费，续保需重新交费；b类财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险需交储蓄金25元，保险1年，期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费。李明现有50万元现金，他仔细斟酌后，选择了投保b种保险1年（定期存款1年期利率为5.22%）。请运用数学知识解释李明为什么选择b种保险。通过与生活实际的联系，不仅能够帮助学生认识到数学建模对生活的有效价值，还能进一步提升学生的数学应用能力。

3.注重指导学生自主确定数学建模课题

教师在教学中注重指导学生自主确定数学建模课题有利于学生数学建模素养的培养。然而，当前高中数学教师对建模的教学侧重于建模的过程，数学建模的课题大部分都是由教师向学生提供的，或者是教师引导学生发现建模课题的。高中生的数学建模课题，首先要符合高中生现有的知识水平，其次专业性的要求不能过高，不仅让学生能够利用当前的知识经验解决，而且还要具有一定的趣味性，以此激发学生的学习动机。另外，所确定的数学建模课题的难度应保持在一个适当的水平，不宜太过复杂，避免学生花费时间过长而失去耐心和兴趣。数学建模真正的起点在于建模课题的确定，但是符合当前高中生发展水平的建模课题从哪里来呢？首先，教师可以向学生提供一些传统的课题，让学生认真研读思考，在传统的课题上可以进行改造。其次，教师在教学过程中要充分挖掘教材内容，给教学内容赋予适当的生活背景，激发学生共鸣。或者教师可以借鉴国外的研究课题，以此作为基点生长出符合我们国情的课题。教师也可以简化较大的课题，或者选择其中的一个分支，在此基础上进行再创造，使之成为切实可行的建模 课题。

4.注重培养学生的数学观察能力

教师注重培养学生的数学观察能力对数学建模素养的培养有积极的影响。在数学建模的过程中，如果学生不具备敏锐的观察力，不能敏感捕捉到题目的关键信息和切入点，那么学生对于数学模型的建立将无从下手。学生感觉建模困难和复杂的根本原因就在于这些学生不能快速抓住题目的关键信息及切入点，不知道利用哪些已知条件建立模型，甚至部分同学对题目信息进行粗略的阅读，从中选取部分信息尝试性地建立模型。在尝试建立模型的过程中，不仅带有很大的不确定性，而且往往会导致错误的结果。这样的习惯不仅会花费学生的大量时间，而且正确率也不能保证，因此会影响学生的学习效率，也会让学生自身产生挫败感。在教学过程中，为了培养学生的数学观察能力，一方面可以培养学生观察的整体性。比如，在建立数学模型时，首先要对题目提供的信息进行整体分析，考虑建立模型所要运用到的数学知识，要抓住各板块知识间的内在联系，将其联系起来看作一个整体。同时，教师要注重引导学生全面地观察问题，提高学生的整体意识。另一方面，教师可以培养学生观察的深刻性。学生在建立模型解决实际问题时，对问题的观察往往停留在表面，但是数学观察应该是一个由表及里的过程。因此，对数学问题的观察应当透过表面现象来洞察数学问题的本质特征。在整个建模的过程中，要透过数学问题的表象看本质，认真思考所建立的数学模型与实际问题之间的关系。因此，在数学教学中，教师除了要引导学生对数学问题进行整体把握外，还要引导学生认真观察题目，从中挖掘隐藏条件和关键信息，抓住问题的切入点，由此建立数学模型解决实际问题。

5.注重指导学生学习能帮他们解决实际问题的算法

教师注重指导学生学习能帮他们解决实际问题的算法对学生建模素养的培养有积极的影响。数学建模的落脚点是应用，而数学建模的题目基本上都是源于生活中的实际问题或者有明确的实际应用背景。数学建模是为了培养学生运用数学知识、数学思维去解决实际问题，这就要求学生从实际问题中抽象出数学模型并选择合适的数学语言进行表达，设计求解步骤，利用计算机或者计算器进行计算，最后检验模型的正确性。数学建模的过程是一个具有抽象性的过程，其中学生对于算法的选择及应用对建模的过程尤为重要，它直接关系到数学建模的运算过程是否合理，得到的结果是否正确。当前高中生掌握的算法较为零散，部分学生对于算法没有明确的概念。因此，在课堂教学的过程中，教师首先要帮助学生明确算法的概念，在建模的过程中，注重引导学生选择适当的算法进行计算，避免失误导致步骤出现差错。教师不仅要帮助学生选择合适的算法，还要进一步指导学生学习解决实际问题的算法。数学建模最终的目的是为了解决实际问题，而算法是建模必不可少的一部分，因此要将算法立足于实际问题的解决。

6.合理培养学生数学问题解决的合作意识

培养学生数学问题解决的合作意识对数学建模素养的方面一情境与问题、方面二知识与技能、方面三思维与表达、方面四交流与反思起反向作用。因此，教师在课堂教学中，不仅要合理培养学生数学问题解决的合作意识，而且要有意识地培养学生独立解决数学问题。

7.合理指导学生关注数学与生物、物理相关学科的联系

指导学生关注数学与生物、物理相关学科的联系对学生数学建模素养的方面一情境与问题、方面二知识与技能、方面四交流与反思起反向作用。因此，教师在课堂教学中，应当合理指导学生关注数学与生物、物理相关学科的联系，不要过多涉及其他学科内容，避免引起学生对知识的混淆。

（五）重视课堂教学渗透建模思想

1.充分发掘教材知识与数学建模的结合点

在学习高中数学知识的阶段，在对课本中的每个知识点的引入性概念学习的过程中，通常会设置一个情境，以现实性问题提出疑问，引导学生通过自主探究、合作交流等手段进行探索，从而得到所需要掌握的一个新的数学概念。其实，对于这个引入性概念学习的过程就是数学建模的过程。比如，在学习指数函数概念的起始课上，其引入是这样设置的：

【案例】

当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量p与死亡年数T之间的关系：p=（1/2）T/5730。

考古学家根据以上公式可以知道，生物死亡T年后，体内碳14的含量p的值。这道例题是为学习指数函数概念而设定的情境，通过这道题的解答，学生能感受到数域在扩充，即从整数的幂扩充到指数的幂。实际上，在数学知识、定理、定义的形成过程中，大多都是通过建立模型逐步展开的，每个数学知识都是由真实的数学情境所产生的，而对于这些问题情境进行抽象化之后就形成了相应的学习例题、习题、考试试题，为解答这些试题而再次构造相应的数学模型。而且，问题本身的解题思路就需从高中数学教材中寻求，而这些知识又是依托真实情境所产生的。由此可知，教师如果想培养学生解决数学建模问题的能力，就需要找到数学课本知识与数学建模的结 合点。

2.精拟数学建模问题

问题是数学建模教学的重要组成部分，所设计的数学建模问题的好坏在很大程度上影响着教学目标是否能最终实现，并影响学生学习数学建模的情感、态度、兴趣与信念。因此，所设计的数学建模问题应是学生所熟悉的具有现实生活背景、贴近学生认知水平、富有趣味、难度适中的问题。它易于激发学生兴趣，激起学生的好奇心，平抑学生的畏惧心理，提升学生的学习信心。因此，教师应时刻关注学生所感兴趣的话题，并从独特的视角挖掘和提炼出数学建模问题，选取学生习以为常但结论却又出人意料的数学建模问题。教师应考虑大部分学生的基础及理解水平，尽量避免问题中涉及过多的专业术语，适时为学生提供背景理解材料。

为了引导学生学会合理假设和建立模型，笔者设计了“包汤圆”问题。学生在现实生活的情境中发现问题、分析问题并解决问题。首先创设“包汤圆”的情境，通过真实情境的设计来吸引学生。包汤圆问题不仅贴近学生生活经验，易于激发学生兴奋点，而且使学生思考空间更为广阔，问题更为复杂，挑战性更强，思维能力要求更高，更能激发学生的探究欲望。在传统教学中，教师往往直接给出假设，过程缺少必要引导，容易产生“重结果轻过程”的倾向，降低学生学习、探究欲望。如果根据精拟建模问题策略来设计，可突出重点，剖析难点，改善学生学习建模的信心，提高课堂效率。

【案例】

现实生活问题：汤圆，是中国传统小吃的代表之一，是由糯米粉等做的球状食品，同时也是元宵节最具有特色的食物，历史十分悠久。据传，汤圆起源于宋朝，象征合家团圆更美好，是元宵节家家户户必备的美食。包汤圆并不复杂，但是面和馅很难匹配，很难达到面刚好包完馅的理想状态，往往出现面多或是馅多的状况。如果准备的馅多了，应如何处理？

教师：假如糯米粉质量是一斤，配一斤的馅，可以包60个汤圆，现在一斤糯米粉不变，馅多了，怎样才能把馅包完？

学生1：把皮做小点，包小一点，这样可以多包几个。

学生2：把皮做大点，包大一点，也行得通，这样馅就可以多放点。

教师：学生1和学生2想法很不错，看似都很有道理。请同学们用橡皮泥和纸动手试一试，用橡皮泥做馅，纸做皮，动手包一包，验证哪种方法可行，同时思考影响整个皮用量与馅的用量的因素有哪些。

（学生积极思考，同桌相互交流）

学生3：发现两种做法都存在一定的问题，考虑不够全面，如果面皮太厚，即使皮做大也未必能包得多一点馅。

学生4：是的。做实验还发现如果汤圆皮做成圆形和不规则形状进行对比，圆形的汤圆皮可以包更多一点的馅，因此形状不同，也会影响馅的用量。

教师：同学们还有哪些发现呢？

学生5：同样大小的纸张，但我比同桌用的馅要多一些，因此不同的人技术不同也会影响馅的用量。

教师：很棒，同学们考虑得很全面。通过实验，你们认为影响整个皮用量与馅的用量的因素有哪些？

学生（顿悟）：每张面皮的厚度、形状、大小。

学生6：还有每个汤圆的馅用量。

学生7：每个汤圆的形状，包汤圆人的技术等。

（问题假设）

教师：同学们总结得很好。我们发现因素越多，问题的复杂程度就越大，我们能否只考虑主要因素，排除次要因素的干扰？

学生8：可以假设每个汤圆的形状都是标准的圆形，大小一致。

学生9：同时假设每张汤圆面皮的厚度、大小一致，形状都是标准的圆形。

学生10：要假设是同一个人包的，因为有的人馅放得多些，而有的人馅放得少些。

教师：很好，假设恰当。那么影响整个馅的用量与面皮的用量的主要因素是什么呢？

学生（醒悟）：每个汤圆的馅使用量。

（构建数学模型）

教师：现在我们已经很清楚主要因素了，只需要解决整个馅用量、皮用量与每个汤圆的馅用量、皮用量之间的关系即可。那么如何计算呢？

学生11：汤圆皮可看成是圆形的，就可以计算面积，包好的汤圆可看成球形，也可以计算体积。

小组合作：合理假设参数和变量，尝试建立数学模型，计算。

教师巡视学生完成情况，指导学生建立数学模型，选小组代表展示结论。

小组1：我们小组通过讨论认为，欲要比较是大的包的馅多点，还是小的包的馅多点，不妨把问题看得简单点，就假设一斤的粉只做一张大圆皮，包成一个球形汤圆，不难算出体积V，其中大皮的半径为R，面积为S。以此类推，要包小汤圆，可假设一斤的粉做成n个形状、大小完全相同的圆皮，每个小汤圆的体积为v，其中小皮的半径为r，面积为s。已知S=ns下，只需要判定V与nv哪个大即可。

（模型求解与分析）

（学生展示过程）

由圆的面积公式及球的体积公式可得S=πR2，V=4/3πR3。

同理，s=πr2，v=4/3πr3。

教师：由建立的数学模型，可以得出什么结论？

教师：分析得很好。对于前面的问题，就有了结论：在糯米粉是一斤不变，馅多了的情况下，应把汤圆皮做大些，包大一点。这符合实际。

3.创设数学问题情境

学生在接触知识和学习知识的过程中，是一个复杂系统的过程。在学生学习新知识时，让学生形成数学应用意识至关重要。对于数学问题，问题的提出比问题的解决更加重要。当教师提出的问题符合学生的认知水平和思维习惯时，学生就会有主动思考的愿望。问题的创建直接决定学生对数学知识学习的深度和广度。如果教材中没有涉及和实际生活有关的情境，教师应选取合适的数学模型，利用教材中的知识把数学知识和实际问题有机地结合起来。

在数列问题中，数学问题经常可以和实际问题联系起来，所以在实际教学过程中将数列问题转化成实际生活问题有利于问题的解决。

【案例】

新学期开始，学校门口的奶茶店开业大酬宾，他们的海报声称：凡是在本店购买奶茶者，可用本奶茶店三杯空杯免费赠送一杯，多喝多得。对于这样一个问题，我们班有10名同学想前去购买奶茶，每人购买一杯，10名同学回收奶茶后，试问总共可以喝多少杯奶茶呢？

案例意义：对于此案例，是简单的多喝多得问题，同学们在小学初中就已经接触到，可以通过茶杯数求解。对于高中学生，这既是一个实际问题，又是一个熟悉的问题情境，因此高中学生在解决此问题时更加得心应手。

问题分析：我们将奶茶店问题进行简单转化，前两杯时是买几杯喝几杯，买三杯时，买三杯喝四杯，买四杯时，买四杯喝五杯，买五杯时，买五杯喝七杯，买六杯时，买六杯喝八杯……以此类推，可以发现买的杯数与喝的杯数之间的数量关系，通过列表可以更加明显发现。买的杯数与喝的杯数之间的数量关系见表3-8。

表3-8　买的杯数与喝的杯数之间的数量关系

我们可以把买的杯数分为奇数和偶数来分析：

当买的杯数为奇数时见表3-9。

表3-9　买的杯数为奇数时关系

当买的杯数为偶数时见表3-10。

表3-10　买的杯数为偶数时关系

模型检验：如果本班有10名同学购买奶茶，10名同学第一次喝完奶茶可以换取3杯奶茶，3杯奶茶喝完又可以换1杯奶茶，最后剩余2杯空奶茶杯，因此买10杯奶茶可以喝14杯奶茶，代入模型中，当n为偶数时（3×10-2）/2=14，因此模型正确，可以用来解决本问题。

本问题不在课文的正文部分，但是解决问题的方法明显应用到了数学建模的过程。我们在遇到此类生活问题时，会更加熟悉问题的情境，因此在解决问题时会根据实际问题的情境建立数学模型，使问题得到解决。

4.渗透建模思想方法

在高中数学教学过程中渗入数学建模思想方法的一般过程，是高中数学建模教学实施的最佳途径之一。在数学教学过程之中渗透数学建模思想是指在数学教学中，突出数学建模一般步骤，对数学建模的各个步骤中的含义、作用与建模中所要注意的基本问题以及各步骤协同作用的机制进行重点阐述，一方面使学生理解数学各个步骤之间的相互作用，另一方面使学生从整体上掌握运用数学建模解决现实问题的基本过程。在数学建模方法层面上，教师应该从提出问题、分析问题、构建模型、求解模型、模型结论及推广等几个重要步骤进行分析。

学生刚刚学完空间几何体时，可将生活中涉及几何体的问题融入数学中，从而深刻感受数学实际应用的魅力。在教学中将学生比较容易接受的建模思想与方法渗透到课堂中。例如，笔者就设计了“采购粉笔”的教学活动。首先设计各类启发性问题引导学生深入思考，逐步吸引学生用数学的知识与方法去理解与解决采购粉笔的实际问题。比如，购买粉笔需要考虑哪些因素？多个因素怎么处理？如何进行合理的假设？你会选择什么样的模型去计算？模型中还有哪些问题没有考虑？能否把研究结果推广到其他领域？问题层层深入，促使学生开动脑筋，不断探索，最后通过合作探究，集众人之力建立数学模型，突破重难点求解模型。在建模学习过程中，引导学生积极参与，从尽可能多的角度分析问题，鼓励学生发表不同的建模观点，有助于学生在复杂的问题中准确建立模型，感悟数学建模的本质。“采购粉笔”一课以建模思想方法为线，引导学生逐步构建模型并最终解决实际问题，使建模的思想方法成为学生思考生活问题的习惯，提高实践应用能力。

【案例】

近期，我校计划采购一批粉笔，目前有两种型号，分别是新生产的正六棱柱形粉笔和传统的圆柱形粉笔，两种价格相同，请同学们尝试给学校购买粉笔提出合理的建议。

（分析问题）

教师：购买粉笔需要考虑哪些因素呢？同学们可以类比平时是怎样买东西的。

学生1：首先要考虑粉笔的质量，要考虑粉笔是否易断，是否环保等。

教师：很好，同学们还能想到其他因素吗？

学生2：价格。

教师：是的，我们既要考虑质量，又要考虑价格等，那么多个因素怎么处理？

学生3：考虑的因素太多，问题就变得复杂了。

学生4：可以在建立数学模型之前，作出合理的假设。

教师：思路很清晰，首先我们来分析下质量因素，粉笔的质量我们平时是如何判断的呢？

学生2：在黑板上写一写、画一画，看看是否写得舒服，是否容易折断。

学生5：粉笔是否写得舒服和是否易断，跟个人习惯有关吧。

教师：不错，所以实际上质量是一个次要因素，我们如何进行合理的假设呢？

学生7：假设两种粉笔是同一个厂家生产的，质量相当。

教师：很好，我们想想价格因素该如何分析呢？

学生8：两盒粉笔的价格相同，那么价格因素可以不用考虑了。

学生（醒悟）：应该是跟粉笔的总体积有关系，只要计算两种规格的总体积就可以确定最佳方案了。

（构建数学模型）

教师：你会选择什么样的模型去计算？

教师：我们进一步假设，盒子边长是20厘米的正方体，圆柱形粉笔的半径是1厘米，正六棱柱形粉笔的边长是1厘米，那么如何计算两种规格的总体积呢？

合作探究：假设盒子边长是20厘米的正方体，圆柱形粉笔的半径是1厘米，正六棱柱形粉笔的边长是1厘米，计算两种规格的总体积。

小组1：我们小组的思路是首先利用圆柱的体积公式及六棱柱的体积公式计算一根粉笔的体积，那么一盒粉笔的总体积=粉笔的总数×一根粉笔的体积。粉笔的总数可通过观察盒子的截面图，也就是计算在边长为20厘米正方形内，能容纳多少个圆和多少个正六边形。但是，我们组目前还没得出结论。

教师：小组1遇到了困难，哪个小组可以帮帮他们？

小组2：我们小组的思路和小组1大致相同，粉笔的总数是通过在纸上画出截面图，观察发现每一行最多能画10个圆，共有11层，正六边形每一行最多能画10个，共有13层。

小组3：其实可以先将圆和正六边形剪出来，然后再拼起来，这样做比较直观。小组2计算圆的个数不对，第一行最多能画10个圆，第二行最多能画9个，这样空间利用率更高，共有11层。

教师：小组2和小组3的同学们乐于帮助他人，精神可嘉，同时小组3还善于寻找简便的方法。

（求解模型）

（小组展示求解过程）

（1）一根圆柱形粉笔的底面积：R=1，S=πR2=π。一盒中圆柱形粉笔的总数为n=10×6+9×5=105，圆柱形粉笔的总体积为V=105×S×H=105πH=329.85H。

（模型的结论与推广）

教师：假如新生产的正六棱柱形粉笔还未定价，那么如何定价呢？

学生4：可以参照传统的圆柱形粉笔的价格。

学生6：两种粉笔性价比相同即可。

教师：性价比相同的含义是什么？

学生9：每立方厘米的粉笔价格要相同。

教师：我们怎么去计算呢？哪位同学来分享计算过程？

学生10：定价/总体积都相同即可。假设正六棱柱形粉笔的总体积为V 1，圆柱形粉笔的总体积为V 2，经过计算得V1∶V2=371∶329，因此一盒圆柱形粉笔市场定价为5元的话，在性价比相同的前提下，正六棱柱形粉笔定价应为5.63元。

教师：感谢这位同学的分享。还有哪些问题没有考虑全面呢？

学生11：如果实际中粉笔盒的长度、半径以及正六棱柱形粉笔的边长跟假设的数据出入较大，是否会影响计算方法及过程呢？

教师：这个同学的质疑精神非常好，虽然数据可能不同，但仍然是用性价比相同来计算粉笔的市场定价。因此，数据不同，并不影响计算方法与过程。

教师：我们能否把此类问题推广到其他的领域呢？

学生12：我们可以推广到卡车装载问题。

学生13：香烟盒的设计问题。

教师：很棒，同学们能把研究的问题进行迁移推广，这样的思想值得我们学习。

5.实施合作建模教学

数学建模教学中，教师应首先激励学生独立探究，学生是学习的主体，尊重学生的个性化思考，引导学生找到自己的建模思路与方案。学生在建模过程中遇到瓶颈时，教师可以积极倡导学生合作交流，鼓励学生合作探究，共同完成建模。教师应及时引导学生分享探索成果，聆听他人的分析与解释，明辨正误，归纳出最佳建模思路与方案。合作建模在提高学生实践能力的同时，也在一定程度上促进学生的团队意识和合作意识的形成。数学建模教学过程中正是自我思考和与他人交流，采取独学、对学、群学等学习方式来解决问题，在学习中学会合作，在合作中促进学习，最终达到促进个人探究和合作意识形成的目标。

在“一次函数、二次函数及指数函数的应用”的教学中，由于银行理财是学生陌生的领域，单靠个人的想法和能力是有限的。如果根据实施合作建模教学策略设计教学，则可尝试突破难点。首先，通过小组合作调查形式，正确了解银行理财产品及各种因素，引导学生主动地思考该问题并抽象成数学问题。然后，通过小组合作交流、探究形式，引导学生勇于探索，建立数学模型，并与他人交流经验，明辨正误，调整模型，最终完善模型。

【案例】

一、实际问题的提出

教师：开学初，我们班的家长委员会给我们班筹集了2万元的奖励资金，由于目前经费充足，是否可以将这笔资金用于投资理财？请同学们一起来讨论。(www.xing528.com)

学生1：理财的种类很多，我们怎么选呢？

学生2：是啊，储蓄、基金、外汇等，这些大部分同学都不了解。

学生3：同时还要考虑资金、风险、时间等因素。

学生4：我们可以分小组去银行调查。

学生5：可以利用课余时间去银行了解清楚，再将方案汇总，选出一条最佳方案。

教师：大家都赞同吗？

学生（大声）：赞同。

小组合作探究：

第一组调查中国银行的理财产品，并整理记录；

第二组调查工商银行的理财产品，并整理记录；

第三组调查交通银行的理财产品，并整理记录；

第四组调查建设银行的理财产品，并整理记录；

第五组调查农业银行的理财产品，并整理记录。

教师：经过同学们为期一个星期的调查，有以下三种理财方案选择，那么我们选择哪一种？

方案一：每天收益4元。

方案二：第一天收益1元，以后每一天比前一天多2元。

方案三：第一天收益0.1元，以后每一天的收益都比前一天翻一番。

学生6：看起来好像方案一比较好，每天都收益4元，起点高。

学生7：我选择方案二，因为越往后收益越来越多。

教师：同学们还有什么想法吗？

学生8：通过计算求和才能知道哪个方案是最佳的。

教师：是的，我们应该用数据“说话”，这样才能知道哪个方案是最理想的。

二、分析问题（问题假设）

教师：选择最佳方案我们需要考虑哪些因素呢？

学生9：首先要考虑收益。

学生10：还有风险。

学生11：还跟投资时间长短有关系。

教师：很棒，这么多因素要考虑，怎样处理呢？

学生12：可以假设这三个方案投资风险相同，只需要计算收益即可，收益最大即为最佳方案。

教师：想法很好。

三、构建数学模型

小组合作探究：计算这三种方案的收益，并说明最佳方案。

（教师巡视课堂，选小组代表发言）

小组1：假设投资时间为x天（x为正整数），最终收益为y元，三个方案关系式如下：

方案一：y=4x。

方案二：y=1+3+5+7+…+（2x-1）=x2。

方案三：y=0.1+0.2+0.4+…+0.1×2x-1=0.1（2x-1）。

仅从这三个关系式，我们组不能明确判断哪个是最佳 方案。

教师：小组1遇到了困难，哪个小组可以帮帮他们？

小组2：从关系式上我们组发现方案一是一次函数，方案二是二次函数，但是方案三我们无法判断是什么函数。

小组3：方案三的关系式很像指数函数y=ax。

小组4：我们可以将三个函数图像画在同一个直角坐标系内，这样就可以直观地判断哪一个方案是最佳方案了。

四、求解模型

教师：根据图像，现在可以判断选择哪一种方案了吗？（图略）

学生（全部）：投资1—7天内，选择方案一；投资7—8天，选择方案二；投资9天以上，准备长时间投资，选择方案三收益更大。

五、模型验证及推广

教师：投资时间的不同，投资收益也不同，因此投资方案需要根据投资时间来判断，这个结果和最初的判断相吻合，符合实际。

教师：此类问题是否可以进行推广呢？

学生13：人口预测。

学生14：鱼类预测等。

教师：很好，此类问题可以解决数量预测问题，如某城市的人口预测、某地区动物总数的估计等。

教师：通过分析问题、构建模型、求解模型、模型验证及推广，对此问题做出了优质解答。

6.开展开放式训练

数学建模问题具有结构不良、条件模糊的特性。例如，条件和目标不明确，合理假设时需要灵活处理，建立模型需要对问题进行透彻分析与合理判断；建立的数学模型有可能缺乏统一标准，需要检验、修正并推广至更复杂的情境或更宽的领域；有多种结果和答案等。因此，数学建模教学中实施开放式训练，有利于促进学生逐渐形成概括性强、迁移广、形式多样的建模图式。

在“一次函数、二次函数及指数函数的应用”一课，在传统授课中通常精讲多练，重结论而轻过程，教师通常为学生提供现成的思路，减少了言语上的逐步引导和思维上的主动探究，使得学生缺乏活动经验的积累，不利于数学思维和数学核心素养的培养。而在融合开展开放式训练策略的新授课中，设置开放性问题：你遇到过哪些与函数相关的生活例子？它是函数关系吗？是哪种类型的函数？你找出的函数可以在什么领域使用？你打算用这个函数解决哪一类问题？其目的是考查学生在实际生活中对函数的应用，不仅关注学生对函数知识的理解，更注重培养学生结合实际的能力。区别于教材中的应用题，本题是一道开放题，没有标准答案，这样更能迸发出发散思维的火花。教师在教学中鼓励学生从多角度挖掘生活中的函数问题，为学生营造合作探究的氛围，让学生在建模过程中可以形成收集数据、分析现实问题、合作探究等能力。

【案例】

合作探究：请找出与函数相关的生活例子，并判断是否为函数关系，是哪种类型的函数。

（课外小组讨论，并确定调查方向，利用课余时间收集数据）

小组1：调查力士沐浴露不同型号的价格。

小组2：调查我市男性0—18岁身高与体重平均值。

教师：你遇到过与函数相关的生活例子吗？

小组1：买东西时发现同一种品牌洗发水有200毫升、400毫升、750毫升等不同型号，价格分别为18元、32元、50元，从数据规律上看很像一次函数。

小组2：我们发现矮一点的同学比较轻，而高一点的同学往往比较重，因此我们猜测身高与体重是函数关系。

教师：观察很细心。请同学们根据调查所收集的数据，判断是否为函数，是哪种类型的函数。

小组1：我们小组收集到200毫升、400毫升、1000毫升、1440毫升、2000毫升型号力士沐浴露所对应的价格分别是16.5元、24元、39.5元、68元、79.5元。把型号作为横坐标，价格作为纵坐标，画出散点图，连线接近一条向上的直线，与一次函数模型相似。

小组2：根据所收集的数据，把身高作为横坐标，体重作为纵坐标，画出散点图，函数图像是一条向上弯曲的曲线，可以考虑用y=abx指数函数模型来近似刻画体重与身高的函数 关系。

教师：如何求解函数模型？

小组1：利用待定系数法，选取两个点带入y=ax+b中，就可以计算出a、b系数。

小组2：选取两个比较接近或在图像上的点带入y=abx，求出a、b的值，并验证所得数值是否与已知数据吻合。

教师：小组2的做法很好，验证环节可以帮助我们检验所建立的函数模型与已知数据的拟合程度。

教师：找出的函数可以在什么领域使用？打算用这个函数解决哪一类问题？

小组1：生活中很多类似的问题，如洗衣液、饮料、牙膏等，型号不同导致价格不同，通过此类问题的学习可以解决如何制订价格或如何抉择更划算等问题。

小组2：在同身高男性群体中，若一个男性超过其群体平均身高的1.2倍，则视为该男子超重，若低于平均水平的0.8倍，则视为该男子偏瘦，可用于医学类评估体重等问题。

7.组织数学建模活动

提高学生解决建模问题的能力不能仅仅停留在课堂教学中，学生还可以通过课外活动提高建模能力，很多学校都会安排学生参加社会实践活动，这无疑是提升学生数学建模能力的最好途径。建模问题的设置大多都源于对现实生活情境化问题的抽象，要想更好地解答建模类问题，就需要学生具备一双发现问题的眼睛，善于从生活中发现问题，并运用自身已有的数学知识将其进行抽象化描述，从而转化为数学问题加以解决。学习的目的即是让人们能够获得经验去解决生活中所遇到的问题，但是相比于解决难题，能否在现实世界中发现问题显得更为重要。在应试教育的长期教导下，学生自身很难主动地发现问题、提出问题，这也是当代学生应用意识薄弱，数学建模素养水平较低的原因，这就需要教师在日常教学中注意引导学生发现生活中的问题。比如，交电费有阶梯电价；组织学生参观工厂生产线的操作流程，理解产品生产的原材料与工人的加工方式，以及生产时间；乘坐出租车了解不同里程计算方式；亲自体验家庭生活用品及食物的购买过程等。这些都是比较常见的例子。较好地了解生活常识以及问题产生的背景信息，可在学习建模初级阶段使得学生更加快速有效地掌握。此外，教师还可以组织建模讲座，举办建模竞赛活动，使得学生积极踊跃地参与进来。只有学生亲自参与社会活动，才可以激发学生自身的建模意识，更好地解决在学习中所遇到的建模类问题，才可以使得学生意识到学习数学知识的价值，提高学生学习数学的热情度。

8.总结数学建模方法

数学模型种类多样，对学生而言，在数学中每类试题所提供的信息杂乱无章，不是轻而易举能找出关键问题之所在，并且学生自身由于基础知识掌握得不牢固，很难判断何类试题属于何种模型，从而无法找出相应模型所需的解决方法，所以还需要学生自己就试题本身特点加以判断。下面将有针对性地列举出具有代表性的试题，找到提高学生解决数学建模问题能力的方法。

（1）利用已知关系构造模型

通过分析试题中已知量之间的关系，总结出其中时刻在发生变化的量之间所存在的关系，从而有效建立模型。比如，当一组量按照一定的规律发生变化时，另一组量也按照相同的方式变化，这就与函数模型相符合，我们可通过构造此类模型加以解决。

【案例】

某企业生产甲、乙两种产品均需用a、b两种原料，已知生产一吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表3-11所示。如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）。

表3-11　每种产品所需原料及每天原料的可用限额

A.12万元 B.16万元

C.17万元 D.18万元

答案：选D。

解析：设每日可生产甲产品为x吨，每日可生产乙产品为y吨，生产两种产品可获利润是z元，则依据已知关系构建限定范围并标出，随后通过移动得出z的最大值。

解：

审题：试题核心是围绕线性规划问题展开，检验学生能否利用线性规划解决实际问题。本题解决问题的关键是，根据已知条件画出图形，并由其约束性条件画出可行域范围，构建线性规划模型，得出所求结论。

检验：将解出的x代入解析式，均在范围内合理，验算无误，可作答。

（2）利用已知图像构造模型

图形是确定模型的最直观的方法，如当图形近似地可看成一条直线时，可能是一次函数模型，当图像是抛物线时，可能就是二次函数模型。

【案例】

西红柿种植与销售问题：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图3-9的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图3-10的抛物线段表示。

图3-9　折线

图3-10　抛物线

（1）写出图3-9表示的市场售价与时间的函数关系p=f（T），写出图3-10表示的种植成本与时间的函数关系式q=g（T）。

（2）认定市场售价减去种植成本为纯利益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

分析：该试题图文并茂，图像是重点，利用问题中的已知图像来构造模型。

解：

审题：观察图像求出市场售价函数p=f（T）和种植成本函数q=g（T），由销售价格与成本之差的关系建立纯收益函数 h（T）=f（T）-g（T）。

检验：将两问的T代入解析式，均在范围内合理，验算无误，可作答。

（3）利用示意图像构造模型

对待一些信息相对繁杂的试题，我们可以认真审题，从中抽取出关键信息，找出主要问题并加以有效解决，如几何试题中可将实际问题抽取关键信息进而转化为图像，再构造 模型。

【案例】

南海是我国的南大门，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？

分析：将题目中的信息表示在图形中，根据已知条件在图形中标注关键性信息，然后通过添加辅助线找到关系解决 问题。

图3-11　图形

解：分析题意可画图如图3-11所示，过点B作BD⊥AC，因为∠BDA=90°，所以∠BAC=75°-30°=45°，则∠BAD=∠ABD=45°。

数学应用题一直是数学考试中重点考查的试题类型，但由于应用类试题本身的复杂性，使得其难度加大，得分率很低。究其原因，正是因为学生未找到较好的解题方法。对待与数学建模相关的高考数学试题，笔者通过以上分析研究总结出四步简单步骤，让学生在做题时尝试训练，提高做题速度和正确率，具体如下：

审题：利用已有信息，找出关键语句，将实际问题数 学化。

建模：关注试题所包含的信息，通过分析数量关系，对语言进行抽象归纳，找出符号语言和图像语言，从而建立 模型。

解题：依据所建立的模型，挑选恰当的数学方法加以解决，求得问题的解。

检验：将所得结果，还原到现实情境中判断是不是有 意义。