希腊与中国古代数学的比较

①本文原载《自然辩证法研究》1988年第6期。

希腊和中国是世界上两个文明古国，在数学和科学技术方面取得了超乎当时其他文明古国之上的成就，并分别在公元前6、7世纪到公元元年前后及公元前2世纪至公元14世纪初成为当时世界数学研究的中心。本文试图对这两个文化传统的数学发展情况作一分析、比较，以期抛砖引玉。

一

从希腊第一位思想家、数学家泰勒斯（约前640—前546）开始到公元325年罗马帝国君士坦丁大帝把基督教作为国教为止，希腊文化传统下的数学工作可以分为三个阶段。[1]

第一阶段是所谓古典时期，从泰勒斯到公元前4世纪。泰勒斯在小亚细亚的米利都创立爱奥尼亚学派，主张从自然现象中寻求真理，以水为万物之本。据说泰勒斯继承了巴比伦、埃及的数学知识，后来人们把数学之成为抽象理论和某些定理的演绎证明归功于他。毕达哥拉斯（公元前580或前568至前501或前500年）可能是泰勒斯的学生，他的学派认为世界万物皆数，证明了勾股定理，发现了整数的若干性质和一些几何定理。公元前5世纪的巧辩学派主要致力于所谓三大难题（三等分角、倍立方、化圆为方）的研究，安提丰提出穷竭法，成为此后解决曲线、曲面问题的主要方法。爱利亚学派的芝诺（约公元前496—前430）则提出了阿基利斯追龟、飞矢不动等四个悖论。以德谟克利特（约公元前460—前357）为代表的原子论学派认为线段、面积、体积都由有限个不可再分的原子组成。大哲学家苏格拉底（公元前468—前399）的学生柏拉图（约公元前430—前349）所创立的学派非常重视数学，主张定义准确、假设清晰、证明严谨。公元前4世纪的数学创造几乎都属于该学派。柏拉图的学生欧多克斯创立了比例论（后来成为欧几里得《几何原本》第五卷的内容），发展了穷竭法；门内马斯（约公元前375—前325）第一个系统研究了圆锥曲线。柏拉图的学生亚里士多德（公元前384—前322）总结哲学和数学的逻辑方法，成为形式逻辑的奠基人，影响深远。

第二阶段是亚历山大前期。随着马其顿王亚历山大的征战，公元前4世纪希腊数学中心转到尼罗河下游的亚历山大城，直到公元前146年罗马人攻陷该城，是希腊数学的全盛时期。第一个大数学家便是在柏拉图学院学习过的欧几里得（约公元前330—前275），他将几个世纪来人们广博的几何知识用演绎逻辑加以整理，形成了从几个简单的不言自明的公理、公设出发的严密的公理化体系，其影响之深远，无与伦比。欧几里得《几何原本》虽然出现在亚历山大时期，却是古典数学的总结和集大成者，从性质上应属古典时期。

数学之神、叙拉古的阿基米德（公元前287—前212）是亚历山大时期数学最杰出的代表，贡献极多，最著者当推他用穷竭法和力学原理证明了若干曲面面积及曲面形的体积。稍后的阿波罗尼斯（公元前260—前170）是欧几里得门人的学生，他详尽地阐述了圆锥曲线的性质，以至在笛卡儿解析几何思想之前人们无法对这个问题有新的发言权。亚历山大前期的数学更加抽象，它已从哲学中分离出来成为独立学科。

第三阶段是亚历山大后期，从公元前146年至公元4世纪初，在罗马统治下却仍保持了希腊数学传统，不过已是强弩之末。著名数学家有海伦（公元1世纪，也有人认为是3世纪或公元前3世纪）、帕普斯（公元100年前后）、丢番图（3世纪），后者在数论上有重大贡献。

此后希腊数学衰替，在罗马统治下欧洲进入了数学上黑暗的中世纪。当希腊数学越过它的最高峰的时候，伴随着封建的政治、经济的发展，封建文化在中国繁荣，中国数学异军突起，逐步取代希腊数学，占据了世界数学舞台的中心位置。由于暴秦焚书，先秦数学的发展情况不清楚，汉初《算数书》、公元前一世纪成书的《九章算术》包含了若干先秦的成就则是无可怀疑的。从汉初到14世纪初中国传统数学高潮中止，中国数学亦可分为三个阶段：

第一阶段是从公元前二世纪到公元三世纪中叶，以《九章算术》[2]为代表，它共9章，提出了上百个一般性公式、算法，246个应用题。它确立了中国古代数学术文挈领应用问题的形式，以算法为中心的特点，理论联系实际的风格，构筑了中国数学的基本框架，在中国和东方影响深远。此后，中国数学著作基本采取两种形式，一是以《九章算术》为楷模，编纂新的数学著作，一是为《九章算术》作注。这两方面都取得了重大成就。

第二阶段从公元3世纪中叶至7世纪初，以刘徽《九章算术注》和祖冲之父子的成就为代表，以李淳风编纂《算经十书》为完成的标志。刘徽提出了若干定义，全面证明了《九章算术》的公式、算法，将无穷小分割和极限思想引入数学证明，奠定了中国古典数学的理论基础。《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》等著作又补充了某些新的课题。这一阶段标志着中国古代数学体系的完成。

第三阶段从唐中叶到元中叶。以贾宪（11世纪）、秦九韶（约1208—1261）、李冶（1192—1279）、杨辉（13世纪下半叶）、朱世杰（13世纪下半叶至14世纪初）等为代表，在高次方程数值解法（增乘开方法）、设未知数列方程（天元术）、多元高次方程组解法（四元术）、一次同余方程组解法（大衍总数术）、高阶等差级数求和以及改进乘除捷算法等方面，都取得了杰出成就。这是中国古代数学的全盛时期。

希腊数学和中国数学都是抽象的数学真理。显然，以希腊数学为唯一模式，否定、贬低中国数学，甚至把中国数学歪曲成经验的总结，是不科学的。希腊数学和中国数学有许多共同之处。实际上两者有的成果的表达方式，如《九章算术》和阿基米德的圆面积公式的形式基本一致，刘徽和阿基米德所求的π值相同，这都反映了人类理论思维的一致性。同时，希腊和中国数学都先后作出了超乎时代的工作，比如阿基米德用穷竭法解决了若干17世纪后人们用定积分才能解决的求积问题；刘徽用极限思想证明四面体体积，实际上在高斯前1600多年就开始考虑不用无穷小分割就无法解决四面体体积的猜想[3]。宋元数学的许多成就更是欧洲数学大师在十七、八以至十九世纪才得到的。最后，希腊和中国的数学在经过充分发展之后，都先后衰替，经历了著作散佚，成果无人知晓的厄运。同样，经过若干年后，它们又被发掘出来，为人类文明发挥着新的历史作用。希腊数学在文艺复兴时被发现，促进了变量数学的诞生。中国数学在清中叶重新面世，今天电子计算机的广泛应用使人们重新认识中国算法的意义，吴文俊教授认为，“《九章》所蕴含的思想影响，必将日益显著，在下一世纪中凌驾于《原本》思想体系之上，不仅不无可能，甚至说是殆成定局。”[4]

二

希腊与中国的古代数学确有很大的不同。

首先，从内容上，古希腊数学以定性研究为主，以几何研究为中心；中国数学则以定量研究为主，以算法研究为中心。希腊数学家把数值计算排除在数学之外，他们只考虑数和形的性质及关系，而不计算其具体数值。如希腊人很早就懂得，任何一个圆的周长与直径之比为定值，此定值为何物，几百年间无人间津，直到阿基米德才求出其值的范围。相反，中国古代数学则几乎不考虑图形离开数量关系的性质，比如不考虑三角形全等、相似的条件等，而着重算法研究。算经中的术文全是计算公式或计算程序，并且几乎没有一个问题不是必须计算出具体数值，即使有关面积、体积和勾股等几何问题也不例外。

其次，希腊数学不是用来解决实际问题的。有一个广为流传的故事说，一个学生问欧几里得学习几何学有什么用，欧几里得吩咐仆人：给他三个金币，让他走吧。他想靠几何发财呢！他们所讨论的课题都是离开具体应用对象的相当抽象的性质。阿基米德解决了许多应用问题，但他本人并不重视。当然，古希腊也存在实用算术，但那是商人和下层人士用的，学者不屑一顾，从未在希腊数学中占主导地位。相反，中国古代数学的目的就是实际应用，并在应用中发展，正如李冶所说：数学“虽居六艺之末，而施之人事，则最为切务。”[5]公式、算法（即术文）所用来解决的具体问题几乎全部来源于人们日常生活的需要。一些社会地位很高的大学者如祖冲之、李冶亦好此道。数学著作往往比正史“食货志”更能准确翔实地反映当时的社会经济情况。[6]离开实际应用的纯理论数学不能说没有，但在中国未占主流。数学理论密切联系实际是中国数学一大特色。

再次，从形式上说，希腊数学都包括命题的证明，并试图构成一个演绎体系，而到欧几里得《几何原本》集其大成，完成了这个体系。它从公理、公设出发，一个命题接一个命题进行推导、证明，把数学知识建立在必然性基础之上。此后，阿基米德、阿波罗尼斯等的著作亦取这种形式。与此不同，中国古代数学著作则采取术文挈领应用问题的形式。往往是不加证明地给出一条一般性术文，然后给出几个例题及这些例题的具体术文、答案；或者相反，先给出几个例题、答案，再给出一般性术文。当时并不是没有推导或某种形式的证明，但在整理成书时往往略去。后来的数学家往往为之作注，而一些高明的注多是演绎证明。高明的数学家的头脑中事实上也存在着一个数学体系。如刘徽说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。”[7]作注的形式使他不得不把完整的体系割裂开来，分散到各个术文和题目中。我们当然可以根据作者的话恢复这个体系，不过这种形式终究限制了作者的思想的阐发并影响到他的思想的流传。

希腊和中国数学还有一个显著不同是，一些曾困扰过希腊人的悖论并没有困扰中国数学家。如毕达哥拉斯之前，人们并不排斥数值计算。该学派发现和1不能公度，导致数学第一次危机，人们对数量关系望而生畏，从此数学研究才避开了数量关系，专注于空间形式，造成几何学发达而计算数学薄弱的偏枯现象。而中国的刘徽对开方中“不可开”的问题则提出继续开方，“求其微数”，用十进分数逼近无理根的思想，把中国人的计算水平提高到新的阶段，这不仅是使求π的精确值在计算实践上完成的必要条件，而且是宋元时期十进小数的滥觞，意义十分重大。从刘徽到祖冲之、秦九韶，一千年中都未曾涉及无理根与1不可公度的问题。又如由于不能正确解释芝诺悖论，希腊人困惑于潜无限与实无限的争论，便把无限排斥在数学推理之外。因此，他们的穷竭法，尽管从理论上讲，分割可以无限进行下去，然而将其引入数学证明时却从未使用过无穷小量和极限思想，他们的分割总要有一个剩余，分割到某一步后采用双重归谬法证明已知的命题。中国的刘徽则明确使用了无穷小量。他证明圆面积公式时说：“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”[7]这个不可再割的正多边形既与圆周合体又保持了正多边形的特征，是他对之进行无穷分割（“觚而裁之”）的基础。在证明四面体（鳖腝）和直角四棱锥（阳马）体积时，其分割也是无限继续下去，直到“至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？”[7]刘徽彻底使用了无穷小分割和极限思想，他的无穷小量是实无穷与潜无穷的统一，显然刘徽没有受到希腊人那种困扰，他的思想要比希腊人的穷竭法深刻。

最后，我们从时间轴上作一些考察。如果我们大体画出希腊和中国数学的成就在时间轴上的曲线（见下图），那么我们立即看出两个问题。一是古希腊的时间跨度从泰勒斯算起不到一千年，若截止到罗马人攻占亚历山大，才四五百年。而中国从《算数书》到朱世杰则长达1500年左右，如果考虑到《算数书》《九章算术》成果的积累（这种积累大体相当于泰勒斯等的数学工作）则长达一千七八百年。中国的时间跨度远远长于希腊。二是希腊人的工作具有很强的连续性，从泰勒斯到阿波罗尼斯，这些大数学家都是生卒交叉，从未间断，而且师承关系非常明显。因此，他们的成果得到广泛传播，并良好地承继。他们的成果集中在公元前4世纪下半叶到2世纪下半叶200年间，似未出现第二个数学高潮。中国数学则不同，先后出现了《九章算术》成书（公元前1世纪），刘徽、祖冲之的理论奠基时期（公元3世中至5世纪）和宋元数学（公元11世纪至14世纪初）三个高潮。其间尤其是后两个高潮之间及之后出现过著作失传，成果中断的现象。祖冲之《缀术》到隋、唐时期“学官莫能究其深奥，是故废而不理”[8]，一部巨著遭到失传的厄运。宋元高度发达的数学到朱世杰戛然而止，明朝竟无人能看懂宋元数学，著作散佚，成果失传。清中叶整理国故，《九章算术》及宋元巨著才重见天日。有些成果未失传时也不为人们重视，未发挥应有的社会效益。刘徽纠正了圆周三径一的错误，创造了求圆周率的科学方法，求出了π=157/50和3 927/1 250两个值。祖冲之进一步精确到八位有效数字，提出密率355/113和约率22/7。可是，后来的数学著作除李淳风使用过祖冲之的约率（还误称为密率），赵友钦从四边形割圆得出祖冲之的结果外，所有数学著作仍使用周三径一，秦九韶、李冶这样的大家亦不例外，李冶还把另一不精确值当成精确值。刘徽把极限思想引入数学证明，其功大焉，却是前不见古人，后不见来者。宋代大数学家杨辉研究《九章算术》，对此亦未置一辞。我们不能不佩服先人们的聪明才智，但也不能不为大量成果的自生自灭而感到惋惜。

三

我们对何以会形成希腊和中国不同的数学模式及不同的数学发展历程作一些探讨。不言而喻，书缺有间，要完全弄清这些问题是非常困难的。我们试图从社会制度、数学和哲学的关系、文化背景及统治阶级对数学的态度等方面谈一些看法。

中国进入奴隶社会要比古希腊早千余年，然而中国从原始社会向奴隶制国家的过渡是不彻底的，是一个维新的过程。氏族被保存下来，转化成为行政单位，氏族上层成为奴隶主贵族，商周的侯国都是种姓国家，土地国有，国民阶级薄弱。“学在官府”，没有私学，奴隶社会的经济、政治、文化未得到充分发展。与此相适应，人们的数学知识只能停留在萌芽阶段。相反，古希腊的奴隶制是经过革命性变革发展起来的，普遍建立了城邦国家。特别是雅典在公元前596～594年的梭伦变法和公元前509（或508）年的克利斯提尼改革，彻底扫除了氏族制度残余，地域行政单位代替氏族，土地私有，国民阶级强大，许多城邦建立了奴隶主民主政治。希腊濒临地中海，岛屿星罗棋布，手工业、商业、航海业发达，与此相适应，造就了一大批哲学家、科学家，也为数学的发展开辟了道路。[9]

罗马人占领亚历山大之后，特别是公元4世纪初确定基督教为国教之后，政治上日趋反动、黑暗，数学和科学技术的发展得不到新的动力。公元5世纪，人民起义和蛮族入侵推翻了西罗马帝国，也最终瓦解了奴隶制度。此后欧洲大陆分裂成若干小国，封建制度下的经济政治不像在中国这样得到高度发展，他们是封闭的庄园奴农制，商业不发达。教会敌视异端思想，教育和学术完全是为宗教神学服务，肆意破坏古代典籍，古代希腊、罗马的文化传统湮灭殆尽。欧洲的中世纪是数学和科学的黑暗时代。在中国，封建社会在春秋战国之交通过革命性变革在各诸侯国建立起来。秦始皇统一中国后，一直基本上是中央集权国家，即使是分裂时期也有统一的经济形态，统一的文化，少数民族入主中原无一不接受中原的经济制度、其文化也融会为中华民族文化的一部分。中国封建社会的经济、政治、文化都得到高度发展，为数学和科学的发展提供了较欧洲有利的条件。(www.xing528.com)

因此，古代的希腊和中国先后成为世界数学研究的重心是毫不奇怪的。数学先在奴隶制最发达的希腊大放异彩，后在封建制最发达的中国成果辉煌，是合乎社会发展规律的必然现象。

希腊的古典时期，数学研究没有从哲学中独立出来。数学研究是各学派哲学研究的重要部分，如泰勒斯学派、毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、巧辩学派、原子论学派等，其首领和骨干都是数学上有独到贡献的大思想家。亚历山大时期，数学成为独立学科，欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯也都有非常高的哲学修养和逻辑学修养。数学和哲学的紧密结合使数学知识很快地被抽象、概括、整理，形成数学理论，同时又重视命题的逻辑证明。是谁最先跨出数学命题的演绎证明这一步，后人有不同看法，但力求把数学知识建立在必然性的理性认识基础上，追求严密的公理化体系，在古希腊形成了一种风尚和传统，并且绝不是从欧几里得才开始的。[1]中国数学起步时的情形与希腊有较大的不同。中国第一个思想家孔丘（公元前551—前479）出现在春秋晚期，要比泰勒斯晚出约一个世纪。时值奴隶制度逐渐解体、礼崩乐坏的社会大变动时期，私学开始出现，阶级斗争、政治斗争非常激烈。到战国时期，呈现出百家争鸣的繁荣景象。然而这些思想家或者代表贵族，企图维护旧秩序，或者代表平民，代表新兴地主阶级，要求改革，或者在社会变革面前惶惶然，幻想某种理想社会。他们各立门户，创立学派，互相攻讦，与古希腊东西辉映。他们在阐述其宇宙论、世界观时，也淡到数及数与其他事物的关系，有些论述也很精辟，对后世数学的发展有所启迪。然而他们所关注的却主要是政治问题和伦理道德问题，忙于提出各自治国安邦、调整各阶级阶层关系、人际关系的方略，数学和科学在各学派中的地位从未达到古希腊那样。相反，儒、法、道各家尽管政治主张不同，但无一不把新技术看成奇技淫巧，主张惩禁。除《管子》《墨子》等少数著作外，其余诸家几乎没有独立的数学和自然科学命题。《论语》等经典也谈到自然现象，只不过为了比附其政治、伦理说教，而不是探索自然规律。墨家在数学和物理学方面有若干杰出的命题，然就整体来说，根本无法与希腊哲学家相比。当时，我国人民早已创造了十进位值制记数法和先进的计算工具算筹，积累了许多计算方面的知识，从《左传》中几次筑城的记载可以看出，《九章算术》的方田、商功、粟米、衰分以及勾股测量等若干方面的许多知识当时已经具备了。然而这些知识掌握在下层人士中，大哲学家、思想家不屑一顾，斥之为“小道”，君子不为也。由于数学发展在起步时与哲学结合得不是很好，或者说脱节，这就一方面造成数学上缺乏对数和形的定性研究，着重实际应用中抽象出来的计算问题；另一方面，即使比较重视的计算数学，也缺乏理论概括。以后，儒家思想成为中国封建社会的正统思想。《九章算术》有杰出的成就，许多成就已非经验所能及，有的与古希腊相同的课题上已超过古希腊，然而在荀派儒学的影响下，只留下术文、问题和答案。[10]只是到公元三世纪在经学衰微，辩难之风兴起的推动下，刘徽“析理以辞，解体用图”，以注解的形式写出了证明和许多定义。刘徽注既受到当时以谈三玄（《周易》《老子》《庄子》）为主的辩难之风的影响，也吸取了先秦以来的许多思想资料。他用正多边形序列无限逼近圆，很可能受到司马迁“破觚为圆”[11]的提法的启迪，而割圆可以达到“不可割”的思想则是墨家“不可”[12]的“端”的思想的承袭。在鳖腝和阳马体积公式的证明中，刘徽进行无穷分割，“至细曰微，微则无形”则当来源于《庄子·秋水》“至精无形”（河伯语）的思想。此处“无形”与上述的“不可割”实际上是一致的，《庄子》说：“无形者，数之所不能分也。”（北海若语）[13]总之，数学在起步时与哲学的关系在很大程度上影响了希腊和中国在数学研究的侧重点上和表现形式上的不同。

当然，数学内容侧重点的不同还受到数学内部某些因素的影响。比如，古希腊的记数法虽然是十进，却没有采用位值制，也没有好的计算工具，计算庞杂的数字非常不便，也会影响计算数学的发展。而中国最晚在春秋时代就已有完整的十进位值制记数法和当时最先进的计算工具算筹，不管多么大的整数、分数都很容易用九个符号和记〇的空位表示出来，使人类的计算能力可以得到充分发挥，这也是造成古希腊重于定性，中国古代重于定量的一个因素。

古希腊和中国对数学的态度也有很大的不同。希腊对数学作出杰出贡献的哲学家都是奴隶主阶级知识分子的头面人物。柏拉图学院上写着“不懂几何者莫入”，他所设计的“理想国”中，规定人人必须学习几何学。其他学派对数学也很重视。[14]他们对数学的态度反映了统治阶级的态度，重视数学成为社会风尚。雅典衰落之后，亚历山大的托勒密王朝更加重视数学、医学和各种科学的发展，设立图书馆，为知识分子提供良好的工作条件和生活保障，采取各种措施招揽人才，致使希腊各地学者云集亚历山大。雅典衰落，马其顿兴起，科学中心转移，而希腊数学传统不但没有中断，反而得到更大的发展，进入极盛。数学在中国的遭遇则不同。数学虽列于六艺，却一直不受重视。儒、法诸家对数学的态度实际上反映了先秦统治阶级对数学的态度。秦始皇统一中国，对数学理论有建树的墨家遭到镇压，后来儒家为主，儒、法合流，融合道、释，成为中国的统治思想，读经学礼，崇尚文史，轻视数学和科学，成为中国的社会风气，其恶劣影响，至今未完全消除。由于数学对国计民生，特别是制定历法中的重要作用，封建地主阶级不得不承认“算术亦六艺要事”，但主张“可以兼明，不可以专业”[15]，数学一直被视为“九九贱技”。刘徽哀叹“当今好之者寡”，秦九韶说“后世学者自高，鄙之不讲”，而官府中“算家位置，素所不识”，[16]李冶以大儒研究数学，自谓“其悯我者当百数，其笑我者当千数”[5]。刘徽所处之魏晋，秦九韶、李冶所处之宋元，都属中国数学高潮时期，尚且如此，更何况其他低潮期呢！隋唐设算学馆，规定只能招下层官吏和平民子弟入学，考取明算科只能取得从九品的待遇。社会的需要以及1000多年世代数学家不计悯笑，刻苦努力，使中国数学自汉迄元，在许多方面登上了世界数学高峰。然而，由于统治阶级的鄙视，中国数学不是象古希腊那样连续不断地发展，而是呈现一个高潮、一个低潮，又一个高潮、又一个低潮的状态，甚至出现中断现象。

更为奇怪的是，中国封建社会中，数学高潮往往出现在战乱分裂时期，如魏晋南北朝、宋元，大一统时代反而建树不多。唐朝是中国封建社会极盛时期，数学水平反不如魏晋南北朝，而明朝的统治导致了中国的世界数学重心地位的失落。这丝毫不意味着战乱、分裂比安定、统一有利于数学的发展，而是因为在战乱时期，一方面儒家的统治地位受到较多的冲击，思想比较解放。另一方面读经史求入仕的道路被堵塞，人们的智力资源比大一统时容易引向数学。同时，由于封建统治阶级对数学的鄙视态度，许多重大数学成果得不到推广，发挥不了应有的经济效益和社会效益，处于自生自灭的可悲境地，至多成为我们今天歌颂我们的先民聪明才智的例证。

参考支献

[1][美]M.克莱茵.古今数学思想.上海：上海人民出版社，1979.

[2]九章算术.本文引文依郭书春汇校本.将由辽宁教育出版社出版.*郭书春汇校.九章筭术新校.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

[3]郭书春.刘徽的体积理论.科学史集刊，第11集.北京：地质出版社，1984.

[4]吴文俊.九章算术汇校本序.见[2].

[5][元]李冶.测圆海镜序.测圆海镜.知不足斋丛书本.1798.*郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.

[6]钱宝琮，等.宋元数学史论文集.北京：科学出版社，1966.

[7][三国魏]刘徽.九章算术注.见[2].

[8][唐]魏征，等.隋书·律历志.北京：中华书局，1973.

[9][法]罗斑.希腊思想和科学精神的起源.北京：商务印书馆，1965.

[10]钱宝琮科学史论文选集.北京：科学出版社，1983.*郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集（9）.沈阳：辽宁教育出版社，1998.

[11][汉]司马迁.史记·酷吏列传.北京：中华书局，1959.

[12]墨子.孙诒让.墨子间诂.北京：中华书局，1954.

[12]庄子.郭庆藩.庄子集释.北京：中华书局，1961.

[14]梁宗巨.世界数学史简编.沈阳：辽宁人民出版社，1980.

[15][北齐]颜之推.颜氏家训.王利器.颜氏家训集解.上海古籍出版社，1980：524～525.

[16][宋]秦九韶.数书九章序.数书九章.宜稼堂丛书本，1842.*郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷（1）.郑州：河南教育出版社，1993.