数学本质：中学数学教学研究成果

样例学习理论是一种一般性的学习理论，它与中学数学教与学有着密不可分的联系。样例学习理论强调新知识的学习需要学习者主动总结、归纳隐藏在样例中的知识技能，采用深度模仿获得解决问题的一般性原理方法；强调教师要根据学生的认知资源的信息去合理安排教学设计，达到理想的教学效果。

前面的内容已经初步介绍了样例学习理论原则对数学概念教学的指导意义，下面我们将从数学概念学习所要经历的四个过程进行介绍，包括数学概念的引入、数学概念的生成、数学概念的分析和数学概念的巩固练习。

（一）数学概念的引入

概念教学的第一步就是数学概念的引入，概念引入的好与坏直接影响到概念学习的效果。在传统的教学中，学生是被动的接受者，被动地接受教师安排好的学习内容，虽然新课标中关注概念的背景知识，倡导情景教学，但是并非所有概念的教学都必须要与实际情境相结合，为了情境教学而情境教学是不值得借鉴和学习的。

在概念的引入环节中，样例学习不失为一种好的学习方法。教师在概念教学过程中把握好学生的认知资源情况和原有的知识水平，以解决问题为最终目的，合理进行设计的改善与调整，着重突出以学生为主体，激励学生去主动探究归纳。例如，用问题串和类比的方法引入就是值得提倡的选择。

1.用问题串的方法引入

学生学习兴趣的提高是教师教学设计中需要考虑的问题之一。问题串的创设，有助于提高学生的学习兴趣，明确其行为的目的，使其主动提取相关的知识，乐于学习，这样才能善于解题，才会主动去模仿。此外，每一个问题的解决都会成为下一个类似题目的模仿样例，问题串的创设满足至少加入第二个样例原则。当然，概念的引入也应自然合理，要能够向学生说清概念的来源和出处。在学生已有的生活经验和数学经验的基础上设计问题串就是一个不错的选择。

例如，在“确定事件与随机事件”一课中，其教学目标就是通过具体实例体会生活中某些事件发生的可能性，有些事件一定发生，有些事件不一定发生，学生通过这些实例就能对必然事件、不可能事件和随机事件的含义及其发生概率的大小有一个初步的认识和了解。在本节课可设计如下问题串，“在2016年巴西奥运会男子游泳比赛上，如果有A、B两名中国选手进入了决赛，那么游泳比赛最后的冠军有几种可能？是中国选手吗？是外国选手吗？是中国的A选手吗？是中国的B选手吗？如果进入决赛的是两名美国选手，答案又是什么呢？如果进入决赛的选手中国和外国各一位呢？”此问题串的设计是大多数学生比较感兴趣的话题，也是当时的热点话题，更能调动学生的学习积极性，激发学生学习的热情。问题串设计之后，随机事件与确定事件概念的引入就顺势而生、水到渠成，教学效果也会比较好。

又如，在“平行四边形”这节概念教学课中，是让学生在小学的基础上进行学习，课上教师可结合多媒体向学生展示生活中常见的图形，并顺便设计如下问题串，“你见过下面的图片吗？其中有哪些是你认识的呢？咱们以前学过平行四边形，你能说说自己对平行四边形有哪些认识吗？”

再如，在讲“相似三角形的性质”这一概念课时，可与全等三角形进行类比设计问题串，如“全等三角形的对应边、对应角存在什么样的数量关系？相似三角形呢？它的对应周长和对应面积有相同的数量关系吗？”通过与全等三角形进行类比设计问题串，更能让学生理解新概念，在以后的解题训练中有更好的表现。将全等与相似联结在一起，串联成线，不仅回顾了学过的全等三角形的知识，也能较为深刻、全面地掌握和理解相似三角形的概念。问题串的设计和详细解答满足至少加入第二个样例原则，为以后遇到相似问题提供类比模仿的样板。

2.用类比的方法引入

具有创造性的数学思想方法之一就是类比，其在掌握数学概念、理解数学概念的本质和解决问题方面都有重要作用。类比作为一种数学思想方法，要求学生在学习旧知时能深刻理解，能够将知识目标进行分解并能自我解释出每一步的依据。在学习新知识时运用类比方法能让学生联想到以前已学过的知识，或者将新知识与已掌握的知识进行比较，得出异同，从而类比旧知识将新知识进行目标分解，完成模仿过程。类比法是数学解题中的一种常用方法，在解题方面有着不可忽视的作用。波利亚在《怎样解题》一书中写道：“在尝试解决一道题目时，如果能够成功地想到一道更为简单的类比题目，那么可以说我们是幸运的。”类比可以把学生没见过的复杂题目转化成以前解决过的较为熟悉的相似题目，最终使学生顺利解题。类比的重要性不言而喻，那么培养学生类比的思想方法就显得很重要，在平时的教学中就应该逐步渗透。数学概念教学就是培养类比思想的一个很好的切入点。

又如，在学习相似三角形的知识时，为了让学生更好地理解其相关知识，教师可以和学生对全等三角形的知识进行回顾与复习，让学生自己去探索与寻找相似三角形和全等三角形的异同点。学生通过自主观察、分析、比较来引出相似的概念，同时根据全等三角形的判定方法类比总结相似三角形边角之间的关系。教师最后给予指导。学生在比较中很容易知道全等三角形大小形状完全相同，相似三角形只是形状相同，其可以成倍地缩小或增大，这样很好地得出了概念间的不同点，把复杂的新知识转化成了学生较为容易接受的相对简单的知识。

数学知识是一个有机的整体，它们之间有许多联系。教师在讲授新的概念时将其与以前学习过的知识相联系、相比较，然后将新知识的目标按照旧知识进行分解，不仅可以达到优化新知识的学习效果，还能起到将样例知识结构化的附加效果，便于学生对数学知识进行模仿迁移，提高学习效率。

（二）数学概念的形成

概念教学的一大基本目标就是让学生深刻理解概念，并能运用所理解的概念解决问题。样例学习理论认为，学生通过对样例的研究与学习，可以深化概念理解，达到对概念的实质性认识。在数学教学中，形成和同化是概念获得的两种重要方式。概念同化是指在学习新概念时，学习者利用已有知识进行理解，将新知识纳入原有的知识结构中；概念形成是指当学习对象为纯数学的抽象物时所采用的教学方法。情境教学是概念形成的重要教学方法之一，这种以数学化的方式形成概念容易让学生理解数学来源于生活而高于生活，能够让学生理解某些数学知识能在现实世界找到其原型。但如果情境教学和样例学习结合起来，就能从解决问题的角度来达到对概念知识的更深入的认识。

例如，在数轴的引入方面，教师可以从温度计、杆秤等现实生活中的实物来引入，然后通过有关数轴方面的例题来进行概念的深化。由现实模型来引导学生抽象出数学模型，然后配以样例并将样例的信息进行有效整合，是概念教学的一个重要方面，概念和样例往往是相伴相随的。样例学习原则认为，典型例题的选择一般不少于两个，这样能够保证学生对新概念、新知识进行的掌握与理解。在新概念的学习中要让学生有充分的体验过程，教师要让学生参与到概念的形成过程中去，以一个“发现者”的角度来探究新概念，深化学生对知识的理解，促进其认知水平的发展。

教师通过样例来进行数学概念的教学不失为一种有效的教学方法。在概念等原理性知识的学习之后都会配备相应的例题来巩固所学的知识，其实，在数学思维中，样例和概念等原理性知识总是相伴出现的。提及某一概念或某一原理性知识，人们头脑中总是会浮现与其相关的样例，这也从某种程度上说明了样例在概念学习中的重要性。对于概念形成的教学，要让学生能够直观感知数学概念，在充分感知数学概念的基础上进行理解和概括，并且配置能够加深学生对概念知识理解的样例。配置样例的目的是让学生能够更好地理解概念的内涵和外延，知道其在解决问题方面的作用。数学概念所体现的数学思想方法，需要对样例进行“辨析”和“再造”来获得，即从正例和反例的辨析、内涵与外延的变式中获得。

（三）数学概念的分析

数学概念的学习不是简单的记忆就可以，而是要将所有与之相关的数学概念进行联系、比较和分析，着重分析概念的内涵。在数学概念分析中，可通过降低学生的认知负荷来提高学生的学习效率。思维导图就是一种很好的数学概念分析方法，它能够很大程度地降低学生的认知负荷，帮助学生进行学习。学生通过绘制思维导图来降低认知负荷的学习方式，能够达到加强概念之间联系与理解的附加效果。

思维导图充分体现了2011版新课标对教学过程的要求，即教师主导、学生主体，交往互动、共同发展的理念。思维导图的良好运用，便于学生对课本中知识点的概括和陈列，对信息进行整合。此外，其还对知识的生成和联系有良好的效果。思维导图能够帮助学生对已学过的相似数学概念进行辨析，掌握其异同，从而达到对概念知识的更加深入的理解。运用思维导图进行概念学习最重要的一步就是绘制思维导图，绘制的过程就是学习和分析的过程，在深入思考与分析中加强对概念知识的深入理解，加强思维的拓展。思维导图运用关键词和框架结构图来改变学习任务的组织和呈现方式，也很好地达到了降低学生认知负荷的作用，提高了学生的学习效率。

例如，在学“利用一元二次方程解决实际问题”这一节的时候，教师就可以充分利用思维导图来进行概念的分析。“利用一元二次方程解决实际问题”主要是将实际问题转变为数学问题，然后再列方程并求解。在“一元二次方程”这一章节中，数学问题的主要表现形式为ax2+bx+c=0（a≠0），这一方程恰恰又是本章其他细节知识生成的一个关键。此时，思维导图的良好作用就可以发挥出来。

思维导图的优势在于从图中可以清晰地了解知识过程的脉络，从而进行信息整合，这个整合过程也就是数学知识系统化的过程。思维导图能够改变知识点的呈现方式，在数学知识的学习过程中起到整合的作用，在此过程中还能够体现学生的思维特点。思维导图使知识点更清晰，也能使学生更好地进行复杂知识的学习。教师可以让学生在课后对新学习的概念知识绘制一份思维导图，加深对知识的辨析与理解。

（四）数学概念的巩固与练习

数学概念的巩固与练习很大程度取决于习题课的教学行为，数学概念教学不能仅仅概念化、理念化，还要能获得解决具体问题的方法与技巧。习题的配置要逐渐深入，由简到繁，并从不同的思维角度进行配置，使这些习题组成一个系列，从而形成样例。这些样例能够培养学生思维的多样性，也能让学生通过样例学习学会找到未知问题与已知问题的桥梁，增强学生的问题解决能力。

1.配置正向思维的样例

正向思维的样例主要是通过一定量的练习，使学生的陈述性知识转化为程序性知识，从而获得基本的数学技能。而且，正向思维的样例在很大程度上是对定理、公式和法则的直接运用。正向思维，不言而喻，其中心在思维，其主要体现的是思维的循序渐进性和从基本知识出发，目标指向问题的思路。例如，在讲二次函数的最值问题时，教师可配置如下三类正向思维的样例。

（1）抛物线开口方向定，对称轴动，区间定

已知函数 y=-x2+2ax，x∈[2，4]。 求函数的最小值 g（x）；求函数的最大值 h（a）。

（2）抛物线开口方向定，对称轴定，区间动(www.xing528.com)

①已知f（x）=x2-2x+3，当x∈[t，t+1]，t∈R时，求f（x）的最大值和最小值。

②已知函数 y=x2-2x，x∈[-2，a]，求函数的最大值 g（x）；求函数的最小值 h（a）。

（3）抛物线开口方向定，对称轴动，区间动

已知函数 y=x2-2ax，x∈[-a，-a+4]，求函数的最大值 g（x）；求函数的最小值h（a）。

以上问题的解决是在学生充分掌握二次函数的前提下进行的，通过以上样例的学习，学生会明白对于抛物线开口方向动，相应的也有三种情况。根据以上正向思维的样例学习，学生自然会分析接下来的三种情况。样例学习就是需要学生将已经学习过的知识进行提取与同化，概括其内部特征，达到对概念的本质理解。

在配置正向思维的样例时不能局限于某一个题目，就此题而论此题，要围绕其所属的数学概念这一中心来配置习题，并且要注重基本套路和规律的总结。此外，还要注重样例内和样例间的特征，在不同类型的样例题里反复运用，使学生的迁移能力和问题解决能力都得到提升。

2.配置逆向思维的样例

笛卡尔曾经说过：“我所解决的每一个问题，都将成为一个范例，用以解决其他的问题。”如何对概念知识进行更深层次的把握和理解，将大脑中已有知识进行深刻解读，获得更加深刻的印象，将对塑造学生的迁移能力具有重要作用。

逆向思维与正向思维是相对存在的，在处理逆向思维的问题时一般将其划归为正向思维的问题，也就是常说的“化逆为正”。当然，正面和反面也有逻辑上的统一性，并非单纯的对立。有时候即使是配置了逆向思维的样例还要从正向思维的角度对样例解法进行分析、提炼和概括，加深对通法和规律的理解。对于逆向思维来说，其难度较正向思维要大，学生只有学会从不同角度来思考问题，才能达到对知识的深入把握。例如，在进行绝对值教学时，教师就可设计如下逆向思维的样例。

（1）请将绝对值|1-x|-|x-4|进行化简。

（2）若化简|1-x|-|x-4|的结果为2x-5，求x的取值范围。

3.配置发散思维的样例

数学概念知识如果不进行拓展与提升，认识就不会有质的变化，只会囿于表面，局限于某一个特定的情境和类型。学生要想达到触类旁通，就要学会迁移，学会一些基本的“套路”，然后去解决更复杂的问题。发散思维是一个从不同角度和方向去思考问题的思维方式，其要求学生从不同途径重组眼前的样例信息。配置发散型思维的样例就是让学生学会如何进行发散性思维的思考，并通过发散型的样例来获得迁移所必要的样例来源。类比迁移的实质是一个结构映射的过程，结构也是数学的一个不可忽视的特征，通过配置发散型思维的样例，进行发散思维的训练，能够让学生透过现象看本质，抓住问题的实质。

发散性思维样例的配置，最重要的一点就是从结构着手，体现思维的概括性。从数学教学的角度来看，代换法是拓展和提升数学公式、法则的重要方法，也是化简复杂问题的常用方法之一。例如，在进行分式方程应用题的教学时，教师就可以配置如下发散型思维的样例。

A地到B地铁路长约为168千米，为适应两市交流发展的要求，列车的速度较以前每小时增加了40千米，由于提速A地至B地的时间缩短了1.5小时，求列车原来及现在的速度。

根据上面的应用题，教师可以让学生自己编制一道或几道有关分式方程方面的应用题（只列出算式不用求解）。对于这些样例问题的探究，教师要积极给予指导，让学生在问题的探究与思考中获得数学学习的兴趣，从而达到发散性思维学习的良好效果。改变样例的方法有很多，可以设疑结论，开放条件，也可以条件与结论对调，还可以通过一题多解等手段，使原来的封闭问题更具有活性，不再是“死”题。发散思维样例的自主探究式学习，不仅使学生在课堂教学“双边”活动中更有主动参与权，也体现了教师教与学生学的有机统一，更加有效地落实了课标中“教师主导，学生主体”的基本要求，教师与学生打成一片，成了一个协调的统一体。

在数学教学中，为思维而教是其重要内容之一。数学习题不胜枚举，只有培养学生养成思考的习惯，拓宽他们的思维，才能使他们从整体上把握解题规律，才能去进行深度模仿，在一定时间内找到解题的突破口，达到解决问题的目的。除此之外，经过长期有关发散思维的教学训练，教师自身的教学能力也会得到提升。

4.配置聚合思维的样例

聚合思维也称作收敛思维、求同思维，是指学习者在解决问题的过程中积极调动各种已知的或回忆的信息，把各种可能的解题方法引导到条理化的逻辑序列中，最终得出一个合乎逻辑思维的规范答案。

聚合思维和发散思维是相对存在的。发散思维是从不同的方向来思考解决问题的方法，得到问题的答案，聚合思维则是以其逻辑、集聚合围的特点给数学发散思维带来了张力和聚合力，是从众多信息中朝着问题的一个角度思考，得到问题最好的解决办法。例如，在进行平行线的教学时，教师通常配置的如下样例就属于聚合思维的样例。

如图1-9所示，AD=CD，AC平分∠DAB，求证DC//AB。

图1-9

要证明DC//AB，就要求学生从头脑中提取解决平行问题的方法，也就是证明平行的方法有几种，哪一种才是最适合本题的。学生利用已学过的知识一步步整合大脑中的信息，最终选择最合适的一种方法来获得问题的解。聚合思维包含在数学教学中的很多地方，对数学的教与学具有重要作用。

不同的样例配置，给学生提供了不同思维类型模仿的样例。所以，样例的配置对学生创造性思维的培养具有重要作用，对概念教学也具有重要指导意义。