中学数学建模方法详解

数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，也就是说，不能归纳出适用于一切实际问题的建模的若干条准则.下面的基本方法不是针对具体问题而是从方法论意义上来讲的.

一、数学建模的基本方法

一般来说，建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种.机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义.前面几个示例都用的是机理分析.测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统（意思是它的内部机理看不清楚），通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型.

面对一个实际问题，采用哪一种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的.如果掌握了对象的一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内在特征的物理意义，建模就应以机理分析为主.而如果对象的内部规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特性（如仅用于对输出作预报），就可以用测试分析.对于许多实际问题，还常将两种方法结合起来使用，即用机理分析建立模型的结构，用测试分析确定模型的参数.

机理分析当然要针对具体问题来做，不可能有统一的方法，因而主要是通过实例研究（case study）来学习.测试分析有一整套完整的数学方法，第九章中统计回归模型是其中一小部分.

二、数学建模的一般步骤

建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质、建模目的等有关.下面介绍的是用机理分析方法建模的一般过程，如图1.2.1所示.

图1.2.1　数学建模步骤示意图

（1）模型准备.了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息如现象、数据等，弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，初步确定用哪一类模型.

（2）模型假设.根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，做出必要的、合理的简化假设.对于建模的成败，这是非常重要和困难的一步.假设做得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设做得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作.

（3）模型构建.根据所做的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、图的模型等.这里除了需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较为宽广的数学方面的知识.要善于发挥想象力，注意使用类比法，分析对象与熟悉的其他对象的共性，借用已有的模型.建模应遵循一个原则：能用简单的数学工具，就不用复杂的数学工具.

（4）模型求解.可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术.

（5）模型分析.对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等.

（6）模型检验.把求解和分析结果“翻译”回实际问题中，并与实际的现象、数据比较，以检验模型的合理性和适用性.如果结果与实际不符，问题常常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模.

（7）模型应用.应用与问题性质、建模目的及最终的结果有关，本书不讨论.

应当指出，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明，建模时不要按部就班地拘泥于形式.

三、数学建模的全过程

从建模的一般步骤的分析可以看出，将数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如图1.2.2所示.

图1.2.2　数学建模的全过程

表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法.数学模型的求解则属于演绎法.归纳是依据个别现象推出一般规律，而演绎则是按照普遍原理考察特定对象，导出结论[2].解释是把数学模型的解答“翻译”回现实对象中，以给出分析、预报、决策或者控制的结果.最后，作为这个过程的重要一环，这些结果需要用实际的信息加以验证.

图1.2.2也揭示了现实对象和数学模型的关系.一方面，数学模型是将现象加以归纳和抽象的产物，它源于现实，又高于现实；另一方面，只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时，才可以用来指导实际，完成实践—理论—实践这一循环.

四、数学模型的分类(www.xing528.com)

数学模型可以按照不同的方式进行分类，下面介绍常用的几种.

（1）按照模型的应用领域（或所属学科）划分，如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等.

（2）按照建立模型的数学方法（或所属数学分支）划分，如初等模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等.

（3）按照模型的表现特性又有几种分法：

①确定性模型和随机性模型，取决于是否考虑随机因素的影响.

②静态模型和动态模型，取决于是否考虑时间因素引起的变化.

③线性模型和非线性模型，取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的.

④离散模型和连续模型，指模型中的变量（主要是时间变量）是离散的还是连续的.

虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的和非线性的，但是由于确定性、静态和线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态和线性模型.连续模型便于利用微积分方法求解析解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要由具体问题而定.在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续的，也是常采用的方法.

（4）按照建模目的划分，有描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等.

（5）按照对模型结构的了解程度划分，有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型.这些都是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，通过建模来揭示它的奥妙.白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象，关于这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题.灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，还有许多工作要做.至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理（数量关系方面）很不清楚的现象.当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的.

五、数学建模能力的培养

用建模方法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题即构造模型，其次才是用数学工具求解构造的模型.用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构建等，除了要有广博的知识和足够的经验之外，特别需要丰富的想象力和敏锐的洞察力.

类比方法和理想化方法是建模中常用的方法，它们的运用与想象力、洞察力有着密切的关系.类比法是注意到研究对象与已熟悉的另一对象具有某些共性，比较两者的相似之处以获得对研究对象的新认识.将交通流与水流类比来建立交通流模型就是这方面的例子.理想化方法是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化到理想状态，以期更本质地揭示对象的固有规律.一定条件下把物体看作质点就是理想化的结果.

建模过程是一种创造性思维过程，直觉和灵感往往起着不可忽视的作用.相互讨论和思想交锋，特别是不同特长的成员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素，所以由各种专门人才组成的所谓团队工作方式（team work）越来越受到重视.

建模可以看成一门艺术，掌握建模这门艺术，培养想象力和洞察力，不外乎认真做好这样两条：第一，学习、分析、评价、改造别人做过的模型.首先是弄懂它，分析为什么这么做，然后找出它的优缺点，并尝试改进的方法.第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目.为了达到这个目的，本书采用实例研究方法，一方面给出各个领域中不同数学方法建模的大量实例，另一方面提供若干实际题目让读者自己练习.

关于亲自动手做几个实际题目，这里特别强调一下参加数学建模竞赛的意义和作用.

数学建模竞赛起源于美国.1938年美国普特南大学举办首次数学建模竞赛，1985年起美国数学及其应用联合会（COMAP）每年主办一届美国大学生数学建模竞赛（MCM），之后发展为一项国际性赛事.1992年起中国工业与应用数学学会（CSIAM）每年主办一届中国大学生数学建模竞赛（CUMCM），目前已成为教育部重点支持的四大竞赛之首.近年来，随着中学数学教学改革的逐渐深入，人们越来越意识到，对以应试教育为主的中学生，进行创新能力培养已刻不容缓，于是在中学开展数学建模教育就成为首选，也正是在这样的背景下，中学生数学建模竞赛活动蓬勃发展起来.1999年起美国数学及其应用联合会（COMAP）又组织了美国高中数学建模竞赛（HiMCM），它也发展为一项国际性赛事.现在国内教育改革走在前列的省市（京、沪、苏、东三省）已开始定期举办中学生数学建模竞赛，2016年起由中国工业与应用数学学会（CSIAM）主办并开始举办“登峰杯”全国中学生数学建模竞赛，这是面向全国中学生开展的专业性数学建模作品创新与竞赛活动，旨在更好地引导中学生认识数学并努力衔接高中数学与大学数学的学习，提高中学生以团队方式解决问题的综合能力，培养中学生的创新意识和思维.

竞赛之所以如此受到广大师生的欢迎，主要是由于它的内容、形式和评判标准，适合培养有创新精神和高素质人才的需要，并且具有明显区别于大家熟悉的数学等自然科学学科性竞赛的特点：（1）赛题由工程技术、管理科学及社会热点问题简化而成，非常具有实用性和挑战性（如“解决交通拥堵问题”“住房及室温对人体舒适度的影响”“城市犯罪与安全”等，每一道题都紧扣当前社会热点，很有时代意义）；（2）要求用数学建模方法和计算机技术，完成一篇包括模型的假设、建立和求解，结果的分析和检验，以及自我评价优缺点等方面的学术论文；（3）赛题没有标准答案，评判以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性（指与模型相符合）及表述的清晰性为标准；（4）在规定时间内（一般为3天，人们正在进行延长“登峰杯”赛程的探索），3～4名中学生为1队，共同完成，可以使用任何资料、软件、互联网等，唯一的限制是不能与队外的同学、老师讨论赛题.在全国竞赛活动的推动下，许多学校在实施培训过程中，让同学做有类似特点的练习题，举办模拟赛或选拔赛，有效地扩大了竞赛的参与度和受益面.

只要认真参加这些不同规模的数学建模竞赛，同学们的收获和提高就是多方面的.

首先，运用数学建模方法分析和解决实际问题的能力会得到实际锻炼，数学建模意识（特指碰到实际问题能从数学建模的角度去思考）也会有一定的提高.赛题通常要用到几门数学和计算机课程以及有关的多种知识，是难得的训练学生综合运用各种知识的机会，况且这些对于后续课程的学习和独立研究能力的培养，也有很大的好处.

其次，合作精神与团队意识会得到培养和提高.竞赛需要三个人在相互启发、争辩，然后相互妥协、达成一致的基础上分工合作、奋力攻关，这与同学们毕业后常常面临的集体工作方式十分相近.因此，对于十几年来在读书、做题、考试等一系列个人奋斗的环境中成长起来的同学们来说，数学建模竞赛提供了一个既充分展示个人智商，又有助于培养与人合作的情商的平台.

还有，竞赛需要快捷地搜集、整理、消化与题目有关的资料（主要依靠互联网），使之为我所用，对于尚处于学习阶段的同学来说，这是少有的机会；一篇清晰、通畅地阐明建模思路、假设、方法、结果等内容的论文，是参赛成果的集中体现，文字表述能力也是人的工作能力的一个重要部分，竞赛有益于这方面的锻炼；赛题的实用性有助于培养同学们关注社会生活、理论联系实际的学风；三天的时间显然不可能做得完美，从理论、方法到实际应用，都可以在赛后阶段继续与老师和同学一起，给以充实和提高；既充分开放、又有规则约束的竞赛方式，可以培养学生慎独、自律的良好道德品质.

许多同学表示，不管最后竞赛的成绩如何，只要认真参加了培训、自学、讨论、竞赛的全过程，都会有丰硕的收获，学生的自主学习和创新能力会显著提高，在本科和研究生阶段的学习中会表现出明显的优势，他们用“一次参赛、终身受益”来总结亲身体会.