中学数学课程实例：青浦实验

6.1.2.1　概况

“青浦实验”源起于20世纪70年代“如何大面积提高数学教学质量”这一问题.那个年代，中国的教育受到了灾难性的破坏，隶属上海市的青浦县也未能幸免.1977年青浦县对全体中学毕业生进行基本水平的数学知识考查，4300余人得分率仅11.1%，零分人数所占比例高达23.5%.那是中国数学教育史上最暗淡无光的时期，青浦县堪称全国的一个缩影.改变如此落后的教育状况，必须求助于教育科学研究，开展改革实验.［2］

改革团队经过3年调查、1年筛选经验、3年实验、8年推广，终于使区域数学教学质量大幅度提高.1996年“青浦实验”经验登上国际讲台，改革实验主持人顾泠沅在西班牙举行的“第8届国际数学教育大会”上，向世界各国学者报告这一中国数学教育改革经验，也为中国数学教育走向国际打开视野.1997年，青浦实验研究所成立，并被批准为上海市首批教育科学研究基地.那20年间（1977—1997）的数学教育实验重在引领教师“学会教学”，提升数学课程教学质量.同时“青浦实验”也为教育实验研究提供一种模式.实验改革没有停止，在进入21世纪的近10年间，在全国数学课程改革的大背景下，青浦实验继续在实践中摸索，启动“青浦实验的新世纪行动”实验.实验之一，开发了教师专业发展的革新范式——行动教育，让一批普通教师组成的骨干团体达到“学会学习”的专业水平，这一成果在中国校本教研制度建设项目中得以推广，成为一种有效的教师行动学习的方式.实验之二，以课堂教学改革的视角变迁，对师生行为进行研究.实验之三，对学生学习质量目标开展大样本调研，评价数学课程实施状况.“青浦实验的新世纪行动”成果再次站上国际讲台，研究者于2008年在墨西哥举行的“第11届国际数学教育大会”上作专题演讲，报告来自中国本土的数学教育实验成果.［3］

6.1.2.2　青浦实验的研究模式

“青浦实验”在第一个十年（1977—1987）中就已经取得公认的成功，它的价值不仅在于通过改革大面积提高数学教学质量，而且在于它独创了一个教育实验研究模式，成为数学课程与教学改革研究的典范.

由顾泠沅主持的青浦实验综合地采用了调查、筛选和实验等三种方法，显示出青浦实验的网络状研究结构.这一实验从现状和调查中引出各种问题，获取大量的具体经验，再筛选经验而形成纯粹、有序的经验系统及其相应的假说.这一实验中的每个阶段具有严密的、内在的逻辑关联.其中，筛选是研究网络的核心.一方面，筛选所得的假说可以通过实验加以验证，以揭示教育现象之间的因果关系，这是一条旨在理性认识的研究主线；另一方面，无论是筛选所得的经验还是实验所得的结论，都与新的改革背景相适应，或经过进一步筛选，以便在改革实践中得以传播，改革课程教学现状，这是一条旨在实际应用的研究主线.

青浦实验的研究流程如图6-1.

图6-1　青浦实验的研究流程

调查阶段

第一阶段为“调查”.三年进行多方面的调查.

一是对基础教育关键期的调查，包括调查幼儿园中班、小学三、四年级和初中一、二年级学生的智力状况和思维状况，发现初中一、二年级学生处于少年期向青年期发展的转变期，可塑性大，他们的思维开始由具体形象阶段过渡到抽象概括阶段，达到了思维发展的飞跃期.实验组明确了中学数学教学工作的重点应放在中学低年级.

二是师生教与学现状的调查.通过对全县22次数学质量普查，并采用多种研究方法，找到了学生学习存在问题的症结，包括原有基础差，只会机械模仿，知识遗忘率高，给后继学习带来了困难等.通过调查还发现学生的学习问题与教师的教学有很大关系，发现教师的教学态度、对教材的掌握、教学方法等方面都存在着程度不一的问题.

三是本着“问题是从实践中来，问题的答案也要到实践中去寻找”的方法论原则，为找到解决问题的针对性措施，实验组跑遍了全县所有中学，向有经验的教师学习，三年收集积累专项经验一百六十多项.例如，有的教师在实施数学课程过程中，善于采用“六种练习”——单一练习、过渡练习、一题多变练习、辨错练习、巩固练习、综合练习，基于这种方法，学生学习成效显著.

实践筛选阶段

教学经验是具体而生动的，它是教学实践活动的结果，包含着学科课程与教学的若干规律性因素，但还不是规律，它会受多方面的限制，常常有较大的表面性和片面性.因此，要揭示其内在的规律性，就必须对教学经验作深入的研究.顾泠沅及其实验组，引入“行动研究法”，对第一阶段收集的大量经验的本质和有效性进行辨析和鉴别，并且进行改造，把这些经验上升到具有一定理论高度的实验假说，形成了独具特色的实践筛选法.该方法是在实际教学过程中，为了改善教学措施、落实课程目标，由执教人员和研究人员结成一体，对众多的经验进行淘汰、优化或者发展的新经验这种方法的目的不仅在于辨明某些教学措施对实际的教学过程产生怎样的效果，从而改革教学实践，而且为探明教学规律，开展教育实验提供了依据.

“青浦实验”的实验组制定了一套实践筛选的研究程序和方法.第一步是从大量原型经验中析取纯粹的经验，也就是将经验的本质内容从经验背景中剥离出来，然后提取其中最能体现一般教学规律的、具有普遍推广应用价值的成分.在此，青浦实验采用了穆勒（J.S.Mill）的科学归纳法，强调把指标检测和过程分析结合起来.客观指标包括各种统计量及其差别的显著性检验等；主观指标则采用模糊赋值与综合评判等方法.同时，再将通过动态过程的客观调查和分析以及叙事描述作为补充，必要时也采用社会学研究的某些特殊方法.

第二步，在纯粹化的基础上构建有序的经验系统.这个系统不是多种方法或措施的简单镶嵌，而是具有内部一致性的结构，它可以整体地而不是单个地作用于教学活动的始终.青浦实验参照了普利高津（L.Prigogine）的耗散结构理论——有序的必要条件是不断地反馈调节，使各项因素达到最佳状态.具体的筛选方法的研究程序，从提出计划、实施经验、考察评价、优化处理，到再计划、再实施、再评价，整个研究程序构成螺旋上升的回路，经过多次反复，使纯粹经验逐步构成有序状态.

在经验筛选阶段，通过实施、考察和评价，对众多教学经验进行取舍：有些对本地区明显无效或不适用，就予以舍弃；有些有效性不甚清楚，就继续实施和考评；有些对实际问题有明显效果，则重点研究，使之完善.从1980年开始，实验组以青浦中学为基地，挑选两个实验班和两个控制班开展研究，每星期抽半天汇总情况，制订计划，五天听课评价，经过三个学期50次循环筛选，终于选到四条比较有效的教学措施（课程实施的具体措施）：

（1）让学生在迫切要求之下学习；

（2）组织好课堂教学的层次（序列）；

（3）在采用讲授法的同时辅之以“尝试指导”的方法；

（4）及时获取教学效果的信息，随时调节教学.［4］

这些措施初步构成了青浦大面积提高数学教学质量的经验系统，也是下一步开展实验的假说.

实验阶段

青浦独创的实践筛选法有助于从大量经验中精选出含金量高的教学经验，但是经验筛选法的方法由于控制条件不严密，所得结果的精确度不够高.因此，要深入地探究教学现象的因果关系，使经验上升为理性认识、由假说发展为可靠的理论知识，还有赖于人为地控制条件的教学实验才能实现.实验法在探索各种教学措施在教学效果上的差异，揭示其内在原因，优化教学措施，鉴定其组合等方面，都能取得较好的效果.

为了深入研究筛选所得的教学措施，探索规律，便于推广普及，青浦县从1981年9月开始了大范围实验研究，分别在重点中学、一般完全中学和农村初中中共选取5所学校，再从中选择出实验、对照各5个教学班开展实验，以自然实验法为主，综合使用观察调查、行动研究、心理实验等方法.为使参照对比更为精确，从两组中又选取了50对学生，每对学生性别相同，年龄、小学数学基础、入学成绩、学习条件、家庭环境都十分接近，进行“对偶跟踪”比较.

实验班采用“诱导—尝试—归纳—变式—回授—调节”的教学模式，对照班采用一般方法教学.在实验过程中，在每个教学单元及期末做教育测量；每学年进行一次阅读能力和思维能力测验；对学生解题思维过程的比较，采用让学生“出声想”等心理实验方法.

经过三年实验，从探讨教学现象的因果关系中，实验结果初步表明了筛选所得的四条教学措施在教学过程中的作用，同时也验证了在不同类型的学校、不同程度的班级中运用这些经验的可行性.可见，实验法弥补了实践筛选法的不足，是对它的补充和深化.(www.xing528.com)

实践筛选法在青浦实验中的特殊作用，初步显示了它在方法论上的重要意义.首先，它提高了由著名心理学先驱勒温（K.Lewin）首倡的行动研究的学术价值，因而对行动研究法具有发展意义，使行为改善的过程同时也成为科学发现的过程.第二，它阐明了从经验到科学假说的发生机制，使教育科学的常规研究方法——调查法和实验法之间存在的空缺有了切实可行的填补方法.第三，它对教育实践活动具有实际指导意义，为群众性研究如何从原型经验提炼出纯粹、有序的经验系统提供了可行的道路.

6.1.2.3　青浦实验对数学课程发展的意义

20年青浦实验的成果，为21世纪的数学课程改革提供了非常宝贵的基础，为数学课程发展的中国特色添加了色彩.

青浦实验提出的数学知识结构与“套箱理论”可谓面向学习者改革数学课程内容的典范，也为数学教材的改革提供重要参考.青浦实验发现，结构化的知识以基本概念和原理作支撑，重点突出，体系简约，使数学知识容易被领会；结构化的知识是记忆的支柱，可以抗拒遗忘；结构化的知识便于联想，具有迁移与被应用的活力.青浦实验进一步发现，结构化一定要适合学生发展阶段的特征，这是一个“套箱式”的连续构建的过程.也就是说，对现代日益丰富的学科内容，可以按照不同的学习阶段，构建程度不同的知识结构，使其一个包含一个形成“套箱”，数、式、数学关系与数学模式，图形、形式演绎、符号处理等都可建立各种套箱模式，以此呈现给学生.青浦实验指出，两个相邻的套箱之间的梯度合适与否，将影响到教学效果的发挥.如果梯度太小，无法引发学生的学习激情；反之，如果梯度太大，结构化的知识因为过于精炼或严谨反而成了学习的障碍.因此，在考虑期望课程、实施课程时，都需要关注各个阶段知识内容的最佳结构以及这些结构之间呈现合适梯度的最佳序列.［5］

1987年至1988年间，青浦实验对学生数学思维进行研究，考察了数学新问题与学生已有经验、知识固着点的关系，得出它们之间的“潜在距离”的概念.例如，探究由两圆半径及两圆之间圆心距的数量关系判断两圆的位置关系.如图6-2所示，初一、初二、初三各年级学生所具备的知识与新问题的距离差别较大.实验表明，知识固着点与新问题的潜在距离愈远，一般说来探究的难度就愈大.

图6-2　原有知识固着点与新问题间的“潜在距离”

青浦实验提出的变式递进的习题训练已经发展为教师实施课程的有效的、重要的环节.它的提出源于中国传统数学教学对习题训练的重视，青浦实验发展了具有中国特色的“变式练习”“变式教学”训练系统或者教学模式，且在实验中得到检验.青浦实验曾根据有经验教师创造性工作的素材，提炼出“变式递进”的训练办法.

可以把数学题分解为三个基本成分：初始状态A—问题的条件；解决的过程B—运用一定的知识和经验，变换问题的条件，向结论过渡；最终状态C—问题的结论.青浦实验提出，在标准题（条件和结论都很明确，其解题过程也是学生熟知的）、封闭性变式题（对标准题作改造，使三个基本成分中缺少一个，这些成分学生不知道）和开放性变式题（对标准题做改造，使三个基本成分中缺少两个，这些成分学生不明确）之间存在一种递进关系，如下表6-1所示，其中x、y、z是对应于A、B、C的未知成分：

表6-1　数学题基本成分构成

图6-3

一道题到底属于哪一种类型，取决于教师的实际，还取决于学习该题的学生.例如，“解方程x2-4x=1”这道题，安排在学习求根公式之后，它是封闭性变式题（ABz型）.但在此之前求解，需要自己探求方法，如通过配方法变为（x-2）2=5，然后得x=2±，求解的过程和结论事先很不明确，就是一道开放性变式题.这些成果，显然对于数学教材中练习系统的开发有很强的启发意义，可以使不同水平的学生都能得到有效的训练，有利于发展学生的独立思考能力.又如，简单的几何证明基本题：已知图6-3中，∠ABD=∠ACB，求证：△ABC ∽△ADB.一般来说，这是一道标准题或封闭性变式题（AyC型），把这道题改变一下：“要使△ABC与△ADB相似，点D应取在何处？”这样一改便成了开放性变式题（xyC型）.解该题时，学生必须从已知的三角形相似判定方法中挑选出某个方法（不止一种），然后结合图形恰当地运用已知条件，最后才能完成证明.青浦实验表明，这种变式训练，有助于提高学生的数学思维能力、数学探究能力.

6.1.2.4　青浦实验的新世纪行动

在21世纪初，青浦实验研究所与上海市教科院教师发展研究中心合作，拉开了“青浦实验的新世纪行动”的序幕.“青浦实验的新世纪行动”是青浦实验发展性的延续，也是国家数学课程改革和上海“二期”课程改革的大背景的驱动.在上海“二期”课程改革之初，顾泠沅牵头起草《进入21世纪的中小学数学教育改革行动纲领》（以下简称《纲领》）.《纲领》在充分吸取青浦实验成功经验的基础上，借鉴国内外课程改革理念，提出了“以学生发展为本”的课程教学改革思想，强调课程教学内容的改革与教师的培养培训相结合.2002年，作为青浦实验的新世纪行动之一，开发了教师专业发展的革新范式——行动教育.这一成果已经成为一种有效的教师行为学习的方式，走上国际数学教育讲台.该研究团队于2008年在墨西哥举行的“第11届国际数学教育大会”作专题演讲.［6］

“行动教育”理念的提出

行动教育理念的提出基于问卷调查.2002年初，青浦实验研究所与上海教育科学研究院教师发展研究中心合作，对311名中小学教师作问卷调查（有效问卷295份），得出两个令人关注的结果：（1）教师需要有课例的专业引领.关于“在课程教学改革的过程中，怎样的专业指导对教师帮助最大”，有36.7%的教师表示希望课程专家与经验丰富的教师共同指导课堂教学；35.7%的教师期待经验丰富的同事在教材教法方面的指导.（2）教师需要行为跟进的全过程反思.在关于“哪种听课、评课方式对教师帮助最大”的调查中，57.7%的教师选择专家、优秀教师与自己合作备课，再听课、评课，指导改进.较少的教师选择与自己水平相当的教师相互听课讨论.也就是说，教师希望多一点既有讨论、点评，又有与自己教学实际结合的行为跟进.［7］

“行动教育”的假设与模型构建

青浦实验新世纪行动研究小组（以下简称“研究小组”）在问卷调查、文献研究、经验总结的基础上，提出了教师在职教育的假设：保持同事之间的互助指导，还需注重纵向的专业引领；保持侧重讨论式的案例教学，还需包含行为自省的全过程反思.

研究小组秉承青浦实验的研究模式：从教与学的现状调查入手，获取问题信息，找出症结；随后是筛选与实验，在大量零星的原型经验基础上，通过一定顺序的行动和思辨，提炼出有效的操作系统，构建了促进教师群体专业实践素养提升的实践模型.它是一个融理论学习、教学设计、行为反省为一体的“三关注、两反思”的操作模型.

图6-4　教师行动教育的实践模型［8］

如图6-4所示，“三关注”包含三个阶段：关注个人已有经验的原行为阶段，关注新理念下课例的新设计阶段，关注学生获得的新行为阶段.“两反思”包含连接这三个阶段活动的两轮有专业引领的合作反思：反思已有行为与先进理念、先进经验的差距，完成更新理念的飞跃；反思理想的教学设计与学生实际获得的差距，完成理念向行为的转移.

“行动教育”以课例为载体，旨在激发教师在不同阶段的学习、设计和反省.不少案例已经表明，行动教育实践模型能真正促进教师的专业发展，教师会主动地以关注学生为视角调整教学行为.例如在“等腰三角形的判定”的数学教学中，学生需要学习大量的性质定理、判定定理和公式等.以往的数学学习通常是教师“告诉”定理、公式，给出证明，然后通过练习做机械训练，学生感到枯燥乏味.但是理论告诉我们，“数学早已广泛被人们承认为科学、工艺、商业和晋升各种专业的基础工具.这种目标会导致成人热衷于数学；但对于初步接触数学的幼龄学生，却是遥不可及”.［9］如何激发学生提出和论证命题的兴趣，如何让从简单到复杂的变式练习成为学生解题能力的练兵场，是日常数学教学中值得关注的问题.在“行动教育”中，教师与专家观察到，教师在“等腰三角形的判定”一课中一般会采取这些步骤：复习性质定理，给出判定定理，师生共同进行思路分析，严格板书论证过程，应用定理做练习.这种模式化的定理教学虽然简便易行，适用于接受式学习.但如果想让学生通过活动，激发他们的兴趣和思维，需要不同的呈现方式.教师和专家经过学习和反思，重新设计教学.教师通过这样一个情境问题激发学生兴趣：“如何复原一个被墨汁浸透的等腰三角形（只剩一个底角和一条底边）？”学生的思维非常活跃，给出了三种“补出”原来三角形的办法；教师接着提问：“画出的是否为等腰三角形呢？”由此引发了判定定理的证明.学生思维异常活跃，学生的证明方法非常丰富.其中两个证明法超出教师的预料，具有一定创造性.在学生学习了判定定理后，教师又出示了一道练习题，通过不断变换题目的条件，让学生在不同水平层次运用判定定理.通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累了数学论证的活动经验和策略.

基于这样的课例分析、设计，教师认识到并表现在行动上：要让学生进行活动式学习，教师需要掌握一定的呈现策略：在判定定理证明阶段，用情境问题激发学生兴趣；在判定定理应用阶段，用变式策略逐渐增大学生思考的空间，让学生的思维真正活跃起来.

“行动教育”研究方法论的启示

“行动教育”的研究扎根教师的工作场景，从研究者作为局外人的纯客观研究，转向寻求研究者与教师的角色互换.研究者和实践者亲密合作组成研究共同体，发挥各自的认知和传播功能，进入研究的深层领域.

“行动教育”在研究过程中，采用青浦实验的经验筛选法，然后通过“数据挖掘”和“叙事分析”互证结果.这一“三法”平行互证的研究方法，不仅提升了“行动教育”模式研发的科学品质，而且为“行动教育”传播与分享提供了科学方法.