基于跳跃因子的违约风险探究

关于企业信用管理和违约概率的研究模型主要分为结构模型和简约模型。简约模型是基于违约发生的强度来估计违约概率的，并不以企业的价值为违约条件，企业价值相关的参数也不需要估计。其代表人物包括Jarrow和Turnbull(1995)、Duffie et al(1996)，以及Duffie和Singleton(1999)等。与简约信用风险定价模型不同的是，结构模型需要对企业资产价值和它的资本结构和负债进行描述，其建模的基础是期权定价和企业负债问题，企业的违约过程是由企业资产价值决定的。结构模型一方面将企业违约风险同企业总资产价值相关联，把违约过程描述为企业总价值恶化的直接结果。另一方面，对企业资本的市场价值进行结构分析，从而达到对权益、债务和总资产进行估值，进而确定企业违约风险的目的。其代表人物包括Black和Scholes(1973)、Merton(1974)、Black和Cox(1976)、Kim et al(1993)、Longstaff和Schwartz(1995)等。

其中，Black和Scholes(1973)提出了期权定价的经典公式，Merton(1974)则将期权定价公式引入到信用风险定价中。Black和Scholes(1973)和Merton(1974)是较早完整阐述信用风险定价模型的经济学家，在信用风险定价的探索和研究方面具有里程碑意义，他们所构造的期权(或权益)定价模型就是著名的BSM模型。BSM模型假定权益人承诺在债务到期日偿还给债务人总债务面值。如果到期时，企业资产价值大于总债务的面值，则债务人可收回总债务的面值，权益人则获得两者之差的收益。如果企业资产价值低于总债务的面值，债务人则仅能收到等于企业资产价值的支付额，而权益人得不到任何收益。那么，权益资产的价值就可看成是以企业总资产为标的资产的看涨期权的价值(执行价格等于总债务面值，期限等于总债务的期限)。总债务的价值就等于企业当前总资产价值减去权益资产的价值。BSM模型所隐含的违约风险的基本思想相对简单:债务到期时，若企业总资产价值低于其总债务面值，便发生违约。

Black和Cox(1976)在BSM模型的基础上引入更为复杂的资本结构。他们认为，Merton(1974)给出的权益定价模型有一定的局限性，因为违约不一定在给定的时点才发生，从当前时间开始到给定的时点期间内任何一点，企业价值都可能降至违约门限以下而引发违约。因此，应该在企业违约问题中引入一个安全契约，以保证企业价值一旦降至某个事先约定的水平，企业价值便全部移交给债权人。因此，Black和Cox(1976)讨论的是有安全契约时的权益和债务定价问题，并推导出首达时模型。但他们的分析是建立在企业价值符合纯扩散过程的假设上的。虽然他们也强调，如果企业价值遵循一个跳跃过程，就必须对权益和债务价值进行调整，不过并未就此问题进行深入探讨。Kim et al(1993)，Longstaff和Schwartz(1995)则在BSM模型中引入随机利率，从而放松了利率常数的假设，令无风险利率遵循维纳过程，并与企业价值相关，从而考虑了违约风险与利率风险的相关性。

由于结构模型以企业的资本结构为基础，其信息源具有数据广、结构丰富的特点，这是简约模型所不能比拟的。随着资本市场的快速发展，信用风险度量方法越来越多地使用资本市场中的有效信息来增强模型识别违约风险的能力，所以在实证研究中往往更推崇结构模型。

但是，实际的金融市场一般是非完全的，具有波动和跳跃双重特征。近年来，政治、经济和社会等方面出现的突发事件不断影响着金融市场，使得资产价格出现不连续的跳跃式变化。尤其是面对这次全球金融危机的冲击，我国金融市场反应相当敏感，各种金融资产都发生了跳跃式变动。在这种情况下，继续用纯扩散型结构模型来分析资产价值所蕴含的信息和评价违约风险显然不恰当了。因此，许多相关的文献都将跳跃因素引入到期权定价、企业价值评估和信用管理的研究中。

其实，最早将跳跃因素引入到期权定价的还是Merton(1976)。Merton认为，在BSM模型中，期权定价有效性的关键假设是标的权益(股票)资产收益符合连续样本路径的随机过程。但实际上连续性的交易是不存在的，在现实世界也没有时间序列数据有连续的样本路径，许多金融资产收益数据往往具有跳跃特征。因此，需要在标的资产符合跳跃特征的条件下推出期权定价公式。同时，Merton(1976)认为，基于跳跃风险的期权定价公式完全可以用于企业负债的定价和违约风险的研究，不过他并未就此问题进行深入探讨。

Mason和Bhattacharya(1981)考虑了在债务定价和违约风险度量中加入跳跃过程。他们以Black和Cox(1976)有关分析为基础，但假设资产价值变化遵循纯跳过程，跳跃幅度符合二项式分布，试图分析跳跃行为对首达时模型的影响。他们主要从两个方面对Black和Cox(1976)的模型进行了扩展:(1)企业资产价值过程会随有关信息的到达而发生跳跃变化，这些信息到达的时间是随机的，对企业价值的影响也是独立的，从而使得企业价值无需触碰违约门限就可以直接降至该门限值以下，从而导致违约的发生，这种假设与实际情况更为接近。(2)Black和Cox(1976)的结论遵守严格的套利假设，无需知道资产的期望收益率和均衡模型。然而，他们的结论只能在代理人为严格的风险规避的经济环境下才能成立，当企业价值为跳跃过程时，该结论就不能成立了。而Mason和Bhattacharya(1981)则遵循了Ross(1976)和Merton(1976)的假设条件，将企业价值和权益的期望收益率看成是无风险利率，而不需要关于代理人风险偏好的假设。Mason和Bhattacharya(1981)还提出，在今后的研究中可以考虑资产价值符合一个由泊松过程和布朗运动组成的复合过程，并结合首达时模型来分析企业违约问题，但此后未见其有相关的讨论。

Bates(1988)将原有的一般均衡模型扩展到含有跳跃行为的均衡模型，推导了资产价格符合跳-扩散过程时的资产市场特性，构造了以此类资产为标的资产的期权定价的一般方法，即使当跳跃风险是系统的不可分散时，该方法仍能使用。因此，为基于跳跃行为的违约结构度量模型提供了更为广泛的理论支持。

Aase(1988)扩展了无摩擦市场和连续交易假设下或有权益定价理论的一些结论。他进行理论分析时所利用的定价模型是一个特定结构的半鞅模型，将证券收益表示为一个Ito过程及一个随机点过程(纯跳过程)的和式。由于这种形式的动态均衡价格在阿罗-德布鲁经济模型中是已知的，因此他们的方法没有局限性。从实证应用的角度看，这类模型也有许多优势。在这样的理论框架下，他考察了在均衡经济中，模型在等价鞅测度(证券的折现值是鞅)下的特征。研究了点过程在均衡环境中对或有权益价格是如何产生影响的，并在Ito过程为一般的GAUSS过程时推导出一类新的期权定价公式和资本结构分析模型。

Amin(1993)构造了一个简单的离散时间模型，对标的权益资产(股票)符合跳跃-扩散过程的期权进行定价。他在Cox et al(1979)的CRR二项式模型中加入了多元跳点，从而得到了一个极限跳-扩散模型。该模型既考虑了存在套利交易时股票收益发生的跳跃，也考虑了股票收益的系统性跳跃。他认为尽管有许多文献建议将跳跃引入到期权定价和违约度量的结构模型中，从而解释一些BSM模型所不能解释的实证中的偏差，但是，当跳跃分布既不是对数正态的也不是离散时，许多定价模型都无法得到闭式解。他的构造方法和计算程序在这些情况下仍然可以使用，并得到期权的闭式定价公式，而且该定价公式还可以应用于企业债务和权益定价等实证问题。

Duffie和Lando(2001)认为，债券价格常常会在违约时或接近违约时出现突然大幅的下跌，这种突然的变化可以归结为信息的不完全现象。因为二级市场的交易者往往只能知道资产发售者的部分信息，且有些信息还存在延时。通常在违约即将发生时，市场才会突然披露一些关于资产发售者的实质消息。因此，市场信息的突发性引发了债券价格的跳跃。所以，他认为可以用一个违约强度过程来控制违约停时，以解释资产价值的突然性下降。但是Duffie和Lando(2001)提到的不完全信息(司法案件或突然的财务困境)导致的跳跃仅仅是各种可能跳跃中的一种特例。

Zhou(1997)认为，由于企业会在其市场价值低于外部确定的违约门限水平或债务价值时发生违约，因此，准确地描述企业市场价值的变化过程对度量违约风险十分重要。BSM模型及其扩展模型(如Black-Cox模型、Longstaff-Schwartz模型等)都是基于资产价值符合纯扩散过程的假设。但Zhou(1997)却发现，企业债券的信用利差要比纯扩散方法所估计的信用利差高出很多。此外，在纯扩散模型框架下，经济状况较好的企业在连续过程下的瞬间违约概率为零，因此这类企业的信用利差结构总是从零开始且有向上的斜率。这是因为在扩散过程下，企业价值不可能出现突然的下降，所以，企业永远不会出现突然的违约。但实际上，企业资产价值的突然跳跃时有发生，资产价值有可能在瞬间内大幅下降，从而使利差大幅增加，尤其是短期债券的利差增加更为明显，从而使得实际的信用利差曲线总是水平的，甚至有向下的斜率。因此，基于纯扩散模型的违约度量模型与实证数据存在较大的差距。

另一方面，简约模型虽然非常灵活，可以较好地拟合各种信用利差结构，但却没有分析企业价值的变化过程，仅将违约视为一个不可能预期的泊松事件，因此无法导出企业资产负债结构和企业违约风险之间的关系。比如，违约的风险率被模型化为一个外生过程，无法知道违约过程背后的经济机制。因此，即使简约模型能够产生各种利差结构，却无法从理论上解释这些结构的形成机制。此外，简约模型在对实测数据进行拟合时，其参数相当不稳定。为了克服这些缺陷，Zhou(1997)结合信用风险定价结构模型和简约模型的优点，构造了基于跳-扩散过程的违约度量模型。这类模型有至少4个特点:(1)由于考虑了跳跃风险，企业可以因为价值的突然下降而在瞬时出现违约，因此即使是金融状况较好的企业短期内的信用利差和违约概率也可能大于零；(2)能够解释企业债券的各种不同的利差结构，即使企业目前的金融状况较好，其发行的债券也可能拥有不同形状的收益利差曲线和边际违约率曲线，包括向上斜率、向下斜率和水平斜率，而在扩散模型中水平和向下斜率的利差曲线是不存在的；(3)企业违约时的资产价值是一个随机变量；(4)违约回收率和违约前的信用状况正相关。这些特点和之前许多实证研究的结果保持一致。

Zhou(2001)进一步完善和补充了Zhou(1997)的研究，对有关假设条件进行了修改，去掉了一些过于严格的假设，使得模型的适用范围更广。随后，他还运用该跳-扩散模型在假设的各种参数下分析了违约概率和各种跳跃因素之间的关系，讨论了资产负债、跳跃幅度、跳跃频率等对信用利差的影响，从实证应用的角度进一步拓展了Zhou(1997)的相关结论。

Zhou(1997，2001)所构造的模型具有很大的灵活性，在理论上扩展了Mason和Bhattacharya(1981)的模型，使跳跃幅度符合一个更为复杂的对数正态分布。该模型既可以解释短期及长期内各种不同形状的信用利差和违约率，也可以洞察违约风险背后的经济机制。因此，Zhou(1997，2001)的研究和本书研究最为相关。但是Zhou(1997，2001)最大的缺陷在于，仅从理论上完成了模型的构建，并通过蒙特卡罗模拟的方法估计相关参数，却没有利用真实数据来验证相关结论。由于该模型依赖企业总资产价值的变化，而总资产价值的变化过程又无法直接观测，所以整个违约结构在用于实证研究以前，还必须考虑如何找到一个可以反映企业总资产价值变化的变量，从而间接观察它的变化过程，这也是Zhou(2001)提出的今后进一步研究的方向。

Delianedis和Geske(2001)以1991年11月至1998年12月符合条件的美国企业债券数据和权益资产数据为研究对象，利用基于期权方法的BSM扩散模型得到这些上市企业的违约利差，并利用经调整后的企业债券收益和政府债券收益间的利差作为信用利差。他们发现，利用模型求出的违约利差和实际债券的信用利差存在较大差距，前者只能对后者作出部分解释。他们把这两者之差称为残余利差，并发现AAA级债券的残余利差较大，而BBB级债券残余利差较小。为了发现哪些因素可以帮助解释(或减少)残余利差，他们引入各种因素，包括回收率、税收政策及跳跃因素，并对原有的BSM模型进行变形，利用变形后的模型对数据重新进行估计。估计结果表明，回收率的改变无助于减小残余利差，而跳跃因素和税收政策的引入则在一定程度上可以减小残余利差，但仍不能解释全部的残余利差。因此，他们进一步分析并验证了流动性和市场风险对利差的影响，最后得出结论:跳跃、税收、流动性和市场风险的引入都有助于改善BSM扩散模型估计的违约利差对实际信用利差的解释不足。

Kou和Wang(2003，2004)从两个方面对BSM模型进行了扩展和推广:违约可以在任何时间点发生及资产价格符合跳扩散模型。他们最大的贡献在于找到一类特殊跳扩散模型在拉普拉斯变换下的近似解。由于面临解析解的可循性问题，如何求解BSM模型的扩展模型一直是一个难以解决的问题，尤其是引入跳跃后，模型变得更为复杂。许多文献都试图寻求这些模型的显式解，但仅能找到少数特殊跳-扩散模型的显式解。由于指数分布具有无记忆性，因此他们假设跳跃发生的跳跃幅度遵循一个指数分布，再利用HH函数和Gaver-Stehfest算法在拉普拉斯变换下推导出期权和权益定价的近似解，但仍无法得到期权和权益定价的显式公式。由于Kou和Wang(2003，2004)求解过程较为复杂，且只给出拉普拉斯变换下的解形式，因此较难应用于实证研究。Tudela和Young(2005)构造了基于BSM方法的多种模型以估计英国上市企业违约可能性，包括实际已经发生违约企业的违约概率、评估其违约的指标、还没有发生违约企业的违约概率。他们发现，如果在KMV方法中将结构模型和简约模型的特点结合起来(即同时分析企业的资本结构信息和违约强度信息)，将会得到更为精确的分析结果。

Luciano et al(2005，2009)认为，参与市场经济活动且具有高违约风险的单个企业，其违约风险和权益收益之间存在明确的相关性，违约风险呈现系统性。因此，信用和权益价值的关联一直都是投资者和风险管理者关注的重要问题。投资者和风险管理者一直比较关心可以同时应对信用和权益两种产品的模型。这类模型主要致力于管理同时含有这两种产品的投资组合的整体风险和收益，其中以结构模型的使用最为广泛。但他们认为，许多传统的结构模型都是假设标的资产符合纯扩散过程，对实际信用利差和违约风险存在估计偏误。因此，可以结合结构模型和简约模型的特点，将权益价值直接与违约风险挂钩。他们假设权益是一个具有流动性、可观测的初始资产，违约则在权益价值达到零违约门限时发生，从而避免了对企业资本结构的严格假设。违约风险兼具可预测性和不可预测性。可以依据常弹性方差(CEV)过程来描述可预测的违约风险，并产生一个正的扩散违约概率。而依据泊松跳跃过程来描述不可预测的违约风险，使得短期信用利差不为零。这样的假设也保证资产间简单的套期保值能够实现。通过他们的严谨定价模式，可以求得企业债券和信用违约互换的解析定价公式。

Carr和Linetsky(2006)利用一个常弹性方差(CEV)扩散模型来描述股票价格，并加入一个跳跃过程来描述价格突然跳跃甚至降至为零的变化。为了能捕捉违约和波动之间可能的正向相关性，他们还假设了违约风险率是标的资产收益瞬时方差的仿射增函数。然后进行了风险中性条件下的定价分析。他们的研究主要是致力于寻求一个与CEV型完全市场等价的非完全市场中的鞅测度，并以该等价鞅测度为基础推导出违约风险的度量公式。(www.xing528.com)

Kiesel和Schere(2007)构造了一个跳-扩散结构式信用组合模型，该模型研究了组合的动态损失分布和依赖结构，得到资产间的对数相关式，较准确地估计了资产间违约关联的期限结构。如果把该模型简化为单个企业的模型，它就是对Zhou(2001)跳-扩散模型的一般化。和纯扩散模型相比，引入跳跃因素使得债券利差和信用互换利差期限结构在瞬间内有正的极限，从而对观测到的信用利差曲线作出更好的拟合。该理论模型仍需用蒙特卡洛模拟来近似估计违约概率，因此在应用于实证研究方面也存在一些困难。

Cremers et al(2008a，2008b)认为，企业债券是可违约的，因此其收益会高于无违约风险的政府债券。但是实测利差似乎显得“过高”了。他们发现实测的信用利差和企业违约损失的历史数据之间很难匹配，投资级别的企业尤其如此。他们通过大量的实证研究发现，基于Merton(1974)的一些企业价值结构模型基本上只能解释20%～30%的实测信用利差。因此，他们尝试引入跳跃因素来改进模型的预测能力，研究基于期权定价的跳跃风险溢酬是否可以解释实测的高信用利差。他们使用股票和期权的价格和收益率数据来估计跳跃参数，利用跳-扩散结构模型估计跳跃风险产生的信用利差水平，并根据违约风险和股票收益率的历史信息来校正模型。分析结果表明，引入跳跃风险溢酬能够使预测的信用利差更加接近实际的利差水平，跳跃因素的引入也有助于改善对信用利差波动和股票收益率波动的拟合度。

Barbedo和Lemgruber(2009)认为，跳跃因素在违约分析中十分重要，只有加入跳跃因素才能反映政策和经济结构突然变动对资产价值的影响。他们利用带有跳跃因子的资产互换期权定价模型来解释企业资产、负债和权益之间的关系，从而构造了一个具有可循解的跳-扩散结构模型来度量企业违约概率，实现了对现有结构模型的扩展。他们随后用该模型以及其他几个基于扩散过程的结构模型，估计了样本企业的违约概率，并和由债务存续信息所预测的违约概率进行了比较(其中“债务存续信息”由央行债务信息数据库提供)，发现他们构造的模型对违约概率的预测能力更强、误差更小。但他们更偏重于实证研究，其理论模型构造交代不清，既没有对资产跳跃行为特征进行分析，如:跳跃符合怎样的随机过程?跳跃幅度是相关还是独立?符合什么概率分布?也没阐述如何在基于纯扩散假设的资产互换期权模型中引入跳跃因素的影响及如何对模型参数进行估计。

Zhang et al(2009)通过对现有的文献和有关的实证研究进行分析发现，BSM模型有很多的缺陷，如预测的信用利差远低于实测数据、仅能解释部分利差变化、对企业债券的定价误差较大等，从而催生了许多BSM的扩展模型，包括随机利率模型、内生违约边界模型和均值回归杠杆率模型等。而他们则试图直接考量权益价值的跳跃风险对企业违约的影响，以期更好地对信用利差进行解释和预测。他们利用5分钟的高频权益数据来估计常态波动、跳跃频率(强度)、跳跃幅度的均值和方差。然后，将常态波动变量、跳跃变量、信用等级、宏观经济变量和企业财务信息等对信用利差作回归分析(信用利差的代理变量以样本企业债券为标的资产的信用互换溢酬)，并对回归结果进行了较为详尽的探讨。他们发现，单独的常态波动风险只能预测50%的信用利差波动水平，而单独的跳跃风险仅能预测19%的信用利差波动水平。在控制信用等级、宏观经济变量和企业财务信息的情况下，利用常态波动和跳跃混合模型可以解释77%的信用利差波动水平。此外，他们还发现，权益常态波动风险和跳跃风险对信用利差的影响，和校正后的跳-扩散结构模型所估计的违约概率及利差变化结构基本是一致的。但他们这种直接利用权益的相关变量对信用利差作多元回归分析的方法是否合理，还有待商榷。

Tang和Yan(2010)做了类似的回归分析，也发现跳跃风险对解释信用利差的重要性，较高的跳跃风险往往会导致较高的信用利差，因此考虑了跳跃因素后的信用模型能更好地解释信用利差的变化。Nader(2012)对权益资产收益率波动、跳跃风险和违约风险溢酬之间的依赖结构进行了研究。他从澳大利亚和日本市场选取了次贷危机发生前与危机发生期间信用违约互换(CDS)利差数据进行分析，发现违约风险溢酬与权益市场的大幅跳跃风险高度同步，也即权益市场的大幅跳跃风险会导致信用风险激增，忽略跳跃风险对违约风险的影响，会造成对信用风险的低估，尤其是在金融危机发生的时段，这种低估更为明显。类似的研究还有Hellmich et al(2013)及Bu和Liao(2014)等。

关于信用风险的管理和定价，尤其是探讨跳跃因素对违约概率影响的研究文献主要集中在美国等发达国家。我国在信用风险违约和管理方面的研究还不够深入，研究方向也比较分散，且多以借鉴国外的经验和模型为主。近十几年来，国内学者不断尝试应用各种信用风险度量模型来分析企业违约风险，而利用结构模型来分析国内上市企业违约状况是其中的一个主流研究方向。这主要是因为我国目前存在着上市企业会计信息失真，以及现行的上市企业信息披露制度决定了基于历史财务指标的财务危机预警模型难以体现细微快速的市场变化等问题。而结构模型是以期权定价理论为基础，充分利用企业权益资产变化中所蕴含的大量信息，通过分析企业资产价值和资本结构的变化来估计企业的违约风险，并对其发生违约的可能性做出预测。但大多数国内研究所利用的违约度量模型仍假设权益(股票)和企业资产收益满足扩散型的随机过程，没有考虑到实际的资产价格会因突发的新信息而发生跳跃，忽略了这种跳跃在短期内会加大企业违约的可能性，具有一定的局限性。当然，近期也有一些相关研究开始关注跳跃因子对违约风险的影响，并尝试从不同的角度将跳跃因子引入到违约度量的理论模型和实证分析中。

彭玉梅等(2004)认为，资产价格变化及其带来的违约风险主要取决于资产和市场对相关信息的反应，这种反应通常分为两种状态:常态和跳跃。因此可以利用跳-扩散方程描述资产价格的变化过程，沿用KMV模型中提出的违约风险思路，通过描述企业资产价值运动的跳-扩散过程来反映违约行为的跳-扩散性。他们在分析中利用齐次泊松过程控制跳跃行为，且假设违约任何时候都可以发生，对Zhou(2001)的模型进行了修正。但其分析过程仍存在不合理的地方，比如:他们假设企业发生违约的概率P主要由两部分组成:P＝(1-P3)×P1＋P3×P2，其中P3是资产发生跳跃的概率，1-P3是资产没有发生跳跃的概率，P1是资产没有发生跳跃但企业发生违约的概率，P2是企业发生跳跃时，其跳跃幅度大于某一限值的概率。其中，关于P2的分析并给出其表达式是相当重要的，这也是近年来许多研究一直希望解决的问题，但他们恰恰没有讨论此概率的具体形式，而只是用符号“P2”来代表，并直接纳入其后的定价公式。因此该研究推导出的定价公式无法体现跳跃因素对违约风险影响的经济意义，而且也较难在实证中得以应用。

吴恒煜和吴唤群(2007)综合分析了引入跳跃因素后，违约风险与市场风险的变化及其对跳跃因素企业债务和资产价值的影响。他们认为，Zhou(1997，2001)的模型和其他的结构模型一样，低估了短期债券的信用利差和违约风险，其原因在于控制跳跃的泊松过程的参数是常数，而实际上资产跳跃的强度是随时间发生变化的。所以，他们利用随时间变换的非齐次泊松过程来描述跳跃的发生，试图从理论上补充和修正Zhou(1997，2001)的模型，并在远期风险中性测度变换和随机利率的假定下分析了违背绝对占优规则时企业债券的定价与信用差价买权的定价问题。但他们并未就企业发生违约的概率和相关参数的估计进行深入探讨，也没交代如何估计企业总资产的价值。

俞金平和李胜宏(2008)把跳跃行为引入到资产证券化的定价中，对单因素模型和结构模型进行完善和推广。他们假设资产池中的第n个资产价值变化遵循过程，利用鞅方法和蒙特卡洛模拟算法给出了基于跳-扩散模型的资产定价公式和参数估计方法。理论上综合考虑了各资产的财务状况和外部金融环境对违约的影响，兼具结构模型和简约模型的优点，较好地解释了违约事件的突发性。

伍舟宏等(2008)则构造了一个跳-扩散结构化模型来度量股权违约互换中的违约风险，假设标的权益资产价格满足一个双指数跳-扩散过程，并且违约发生于企业权益资产价格首次低于违约门限值的时刻。在构造模型时，他们首先引入Esscher风险中性测度，得出了风险中性测度下企业违约概率的拉普拉斯变换公式，然后利用Gaver-Stehfest算法得出了风险中性违约概率，最后根据风险中性概率给出了基于跳-扩散过程的股权违约互换的定价公式，并对其进行了数值模拟。

Chen和Kou(2009)构建了度量信用风险的双边跳跃模型，扩展了Leland-Toft的基于扩散过程的内生违约模型。该模型表明，跳跃风险和内生违约对信用利差、最优资本结构和权益期权的潜在波动率都有显著影响，包括:(1)跳跃风险和内生违约可以产生各种非零的信用利差，特别是投机级别的债券会有向上的利差曲线，这和实证发现的结果一致；(2)和纯扩散模型下的分析结论不同，跳跃风险会导致较低的最优“负债/权益”比。事实上，由于存在跳跃风险，有些高风险的企业的负债并不高，但仍然有较大的违约风险；(3)双边违约会导致权益期权的潜在波动出现各种形状。此外，基于扩散模型的研究通常认为，信用利差和潜在的波动是成正比的，而在内生违约和跳跃风险假设下，这一结论并不成立。事实上，高扩散波动(低跳跃风险)可能导致较低的违约边界，从而使得短期债券的信用利差可能较小，这是因为短期债券的违约更有可能源于跳跃风险。因此，该文献的研究结论和本书的研究结论基本是一致的。

张琳和郭文旌(2011)假定投资者将其财富分配在股票和可违约债券这两种风险资产中。其中，股票价格服从跳-扩散过程，债券价格服从复合泊松过程。他们在均值-方差准则下通过最优控制原理来研究投资者的最优投资策略选择问题，得到了最优投资策略及有效边界。罗长青等(2014)则针对现有研究大多只考虑扩散条件的不足，构建了跳跃-扩散条件下信用风险相关性度量的变结构Copula模型，运用双指数跳跃扩散模型来识别行业信用风险的跳跃点。

基于对现有文献的梳理和研究，发现这些基于跳跃风险的违约度量模型几乎都得到了以下几点结论:

(1)资产收益变化符合纯扩散过程的假设导致了违约风险和信用利差的预测值和实测值之间存在较大的偏误，而引入跳跃风险以后使得这一偏误大大减小。

(2)扩散方法所预测的信用利差结构总是从零开始，且有向上的斜率，但实证研究结果发现实际的信用利差曲线总是水平的，甚至有向下的斜率。考虑跳跃因素后，资产价值有可能在瞬间内大幅下降，从而使利差大幅增加，尤其是短期债券的利差增加更为明显，使得向下的利差曲线是可能的。因此，基于跳跃行为的模型能够更好地解释实证中信用利差结构会出现各种形状的现象。

(3)基于跳跃行为的结构模型优于简约模型。虽然简约模型非常灵活，并可以较好地拟合观察的信用利差，但它仅将违约视为一个不可能预期的泊松事件，既没有分析企业资产负债的结构，也没有考察企业资产价值的变化对违约风险的影响，从而无法知道违约过程背后的经济原理。所以，虽然简约模型能够产生各种利差结构，却无法解释这些结构背后的理论机制。而基于跳跃行为的结构模型结合了简约模型的优点(利用泊松过程控制资产价值跳跃变化，使得企业突然性的违约成为可能)，并且将违约视为企业资本结构和资产价值变化的结果，从经济机制上探讨了违约发生的逻辑过程。

当然，这些相关的研究仍然存在需要改进和补充的地方。比如，它们大多偏重于理论方法的研究和数值解的求解过程，并利用蒙特卡洛仿真等方法来进行验证，且推导的模型相当复杂，很难直接应用于实证研究。少数真正利用市场数据和信息来度量跳跃因素对违约风险影响的文献又比较倾向于利用股票期权、信用互换等金融衍生品交易数据来剥离跳跃风险。而中国金融衍生市场起步较晚，数据量十分有限，利用股票期权等衍生品的市场数据来分析违约风险中的跳跃变化并不十分可行。因此本书试图将跳-扩散模型和期权定价的思想相结合，在总资产价值本身不可观测的情况下，利用权益资产(股票)数据蕴含的信息来间接度量含有跳跃因子的总资产价值变化过程及其分布参数。此外，在实际的信用风险管理过程中，企业的价值信息往往会不断发生变化，而这样的模型不仅能较好地捕捉一般信息引起的资产价值扩散型波动，同时也能兼顾重大信息引发的资产价值跳跃变化，有利于对企业的价值的动态评估和实时更新，早期预警企业违约风险的变化，实现信用风险的动态管理。