简析综合与实践与数学建模思想的联系

（一）“综合与实践”的概念

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：“‘综合与实践’是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。”在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概念”等知识和方法解决问题。“综合与实践”作为一种特定的学习活动，关于其概念有以下三个方面的含义。

首先，“综合与实践”活动是围绕具体问题展开的。该问题可以是具有现实生活背景的实际问题，也可以是常规的数学问题，整个活动以解决该问题为主要目标展开，问题的来源在不同的学段可以不同。在第一、二学段，教师可以指定相应的问题；到了第三学段，则更多地需要引导学生自己去发现和提出问题。其次，“综合与实践”注重学生的亲身体验，关注学生经历活动的整个过程。在学习该内容的过程中，学生亲身经历解决问题的全过程，感受进行科学研究的一般流程和方法，在整个过程中，学生会有丰富的表现，可以积累数学活动经验，提升学生多方面的能力。实际上，过程比结果更为重要。最后，“综合与实践”的核心是知识的综合运用。这里的综合主要是指数学各分支之间的综合（数与代数、图形与几何、统计与概率）、数学和其他学科之间的综合（如数学和物理）、数学与学生生活实际的综合（如学生具体的生活经验），学生通过数学学习获得综合的发展。

（二）初中数学建模意义与实践研究

1.中学数学建模教学的意义

在中学开展数学建模活动，其意义十分重大，许多学者都进行了论述。邵东生提出，数学建模可以培养中学生多方面的能力：双向“翻译”的能力；想象力、联想力和创造力；自学能力和使用文献资料的能力；计算机应用能力；论文写作和表达的能力；相互合作的品质。徐稼红提出，在中学开展数学建模的意义在于，有利用培养学生运用数学的意识；有利于提高分析解决实际问题的能力；可以和大学数学建模相联系。张景斌和王尚志提出，开展中学数学建模活动，为培养学生的创新精神和实践能力提供了一条途径，可以让学生尝试发现问题和提出问题，经历科学的解决问题的过程，学会与他人合作，创造潜能可以得到开发。黄翔提出，模型思想的建立需要通过数学建模的实践活动来达到。在建模过程中，学生获得的不只是知识、技能，还有思想方法，更有经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）也会得到提高。

2.初中数学建模实践研究

自高中课标提出数学建模之后，越来越多的学者投入了中学数学建模的实践研究中，初中数学建模的实践研究也越来越多，取得了不少的成果。陈雪雯进行了初中数学建模实践，提出了三种教学模式：“自学—讨论”教学模式；“引导—探究”教学模式；“活动—参与”教学模式。给出了三种教学模式实施的案例，并给出了具体的分析说明。栾卉凡分别从数学建模教学设计思想、分析教学对象、确定教学目标、选择教学内容、确定教学模式及时间、设计教学活动过程、设计教学评价等环节对在初中进行数学建模教学进行了研究设计，并且依据设计进行了教学实践，对设计的实施流程与效果都进行了详细的分析研究。于虹对初中数学建模教学的目标、教学原则、教学环节、教学策略进行了研究，并给出了具体的课例。于虹认为，建模思想在初中数学方程（组）、不等式（组）、函数、几何、概率、统计、三角函数等内容的教学中有着不可替代的作用，并研究了在这些内容的教学中如何建立模型。王丽丽就如何将建模的思想渗透到初中数学教学进行了研究，从学生、教师等方面提出了实践策略，设计了教学案例，并对教学的效果进行了分析。反观上述有关中学数学建模的研究成果，主要集中在概念、流程、步骤、问题特征、意义等方面，也有部分的实践研究，但是这些实践基本都是设计一个可以进行建模的活动，然后放到中学课堂中去进行一定的实践尝试，这就要求教师能够设计相应的活动，对教师的素养要求过高，这也是现有实践要求存在的一个主要问题。

（三）“综合与实践”与数学建模思想在价值取向上的相同点及不同点

1.两者在价值取向上的联系及共同点

（1）都有助于学生对数学全面理解

20世纪数学分为很多学科，而且越分越细，有积极的一面，也有需要警惕的问题，太细就会影响对数学的整体认识，数学建模和“综合与实践”是避免这种倾向的措施，通过问题让学生把学习的数学整合起来，在解决问题的过程中体会数学，比较完整地理解数学。了解数学的应用是全面了解数学的另一个重要方面，数学不仅仅是自成逻辑体系的学科，应用广泛、与其他学科密切联系是数学最主要的特点，可以帮助学生了解这些，不是字面上的理解，而是感悟、体验数学应用，不做就不能有真切体会，学生需要在这方面积累经验。

（2）都有助于培养学生的应用意识

在义务教育阶段，应用意识有两个方面的含义：一方面是有意识地应用数学的概念、原理、方法来解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题，这是一个从数学到现实生活的过程；另一方面，领会到实际生活中潜藏着大量的与数量和图形有关的问题，这些问题都可以抽象为数学问题，用数学方法进行解决，这是一个从现实到数学、从数学再到现实的过程。“综合与实践”则更多地倾向于第一个方面，而建模则更加倾向于第二个方面，但两者都有利于培养学生的应用意识。

（3）都有助于培养学生的创新意识

学生自己发现和提出问题是创新的基础；问题意识、独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。在“综合与实践”中，学生需要自己发现和提出问题、独立思考、归纳猜想，而在数学建模的过程中，学生首先需要从现实生活情境中发现和提出数学问题，独立思考、合作交流，通过查阅资料提出自己的猜想并加以验证，探求解决问题的最优方法等，这一过程为学生创新意识的培养提供了基础。

（4）都有助于培养学生的模型思想

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。“综合与实践”活动与数学建模都要经历这样的一个过程，所以两者均有助于培养学生的模型思想。

2.两者在价值取向上的不同点

（1）数学建模更有利于培养学生发现问题和提出问题的能力

数学建模问题和我们日常所面对的常规问题有显著的不同，在建模活动中，学生需要经过多方面、多角度的数学思维，寻找事物潜藏的联系或矛盾，在分析与探究中找到某些潜在的联系或矛盾，形成问题意识之后，还需要从数学的角度出发，运用数学的思维对问题进行数学思考，并把这些联系或矛盾提炼出来，最终抽象出一定的数学观点，这就是典型的发现问题的过程。在经历了发现问题的过程之后，学生还需要对所发现的数学观点以及需要求解的问题进行综合，寻找合适的数学载体，建立起它们之间的联系，提出题目所要解决的问题。

（2）数学建模更有利于培养学生科学地解决问题的能力以及创新能力

面对一个和以往遇到的书本上的问题完全不同的现实问题，需要学生自己去查阅相关资料，经历发现和提出问题的过程，将需要解决的问题数学化，再运用数学的知识寻找到数学问题的结果，最后还需要对结果进行检验，判断该结果是否符合实际条件，以便于对结果或整个解答的过程进行调节。在整个建模的过程中，方法的多样性为学生创新能力的培养提供了空间，学生可以有不同的方法，也鼓励学生寻求多种方法或最优方法来解决问题，有效地培养了学生的创新能力。

（3）数学建模更有利于学生感悟数学的基本思想(www.xing528.com)

史宁中在《数学思想概论》中提出：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。”在数学建模活动中，学生首先需要经历抽象的过程，将现实问题数学化；然后需要通过推理、计算等过程获得数学结果；最后检验所得结果。在整个过程中，学生可以充分地感受抽象、推理等思想对数学以及我们日常学习生活带来的深刻影响；感受在解决某一类问题时数学方法的共性，体会数学模型对同类问题解决的优越性；感受不同问题解决流程的相似性，从而感悟模型思想。

（4）数学建模更有利于促进学生的全面发展

学会与他人合作，小组成员合理分工、民主决策，相互取长补短，通过合作产生的合力完成建模活动。更难得的是，数学建模可以让学生通过感受成功合作带来的喜悦增强其合作学习的意愿，这对于今后的学习有着非凡的影响。学会表达和交流，答辩是一种非常好的交流方式，学生通过在一定的时间内介绍自己小组的工作，包括如何选题、解决问题的基本思路、采取的方法和得到的结论，可以有效地锻炼学生的表达和交流能力，也会对学生的逻辑思维产生重要影响。

（四）“综合与实践”与数学建模思想的联系

1.活动过程之内容选择上的联系

首先，“综合与实践”作为课程内容的重要组成部分，《标准》在其所展示的课程理念第二条指出：“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。”《标准》对其具体内容并没有严格的规定，给了其充分发展的空间，但要求其必须保证综合的特点，这种综合不仅表现为数学内部各分支（如几何、代数、三角）之间的综合、数学与其他学科的综合、数学与学生日常生活实际的综合，还表现为解决问题的过程要求学生的各种能力、各种方法、各种工具的综合。它不应该是一个具体知识点的直接应用，不应该是已有数学知识、方法反射式的套用，它应该给学生一个综合应用以往学过的所有数学知识（甚至可以是跨学科的知识）、方法去实际解决一个数学内部或生活实际问题的机会。当然，“综合”的结果也应该是“综合”的，它应该提升学生的综合素质，为学生的发展奠基。

其次，《标准》并没有要求一定要在初中阶段开展数学建模活动，但标准也希望能够将建模作为一种数学思想进行渗透，并且提出了“模型思想”这一核心概念，因此越来越多的数学教育研究者将目光投向了初中数学建模活动的研究。初中学生由于身心发展的规律所限，所学数学知识都比较浅显，缺乏比较强的综合性，那么在初中阶段有没有进行数学建模的知识载体呢？大量的实践研究表明，在初中阶段，主要可以从建立五种数学模型的角度对学生进行数学建模训练。

（1）方程（组）模型

课标要求学生要能根据实际问题中的数量关系列出方程（组），从而去体会方程这个数学模型。

（2）不等式（组）模型

这类实际问题除了需要注意根据题意列出有关的代数式外，还需要注意适当地对代数式进行缩小和放大。通过构造出来的各种形式的不等式，去解决实际问题。

（3）函数模型

通过建立函数模型，可以更好地表示某些实际问题中变量的变化关系，并能够更好地对变化关系进行分析。现实生活中的许多问题，如面积问题、路程时间、盈利等问题，常可建立函数模型求解。

（4）几何模型

我们常常把实际问题中的立体图形或实物抽象成几何模型，运用几何公式、几何定理进行计算或求证。几何以现实世界的空间形式作为主要的研究对象，建立几何模型，把现实问题转化为几何模型。例如，测量旗杆的高度，可以进行数学建模训练，学生小组合作，尝试用不同的方法来达到目标。

（5）概率模型

常把求概率的问题转化为概率模型。概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛，如抽奖游戏、彩票中奖等问题，常可建立概率模型求解。

由此可见，在初中阶段有不同的数学模型可供我们选择，我们可以围绕这五种模型设计出不同的数学建模活动，所以初中数学有进行数学建模的知识载体。

2.活动过程之活动形式上的联系

《标准》要求“综合与实践”活动在活动形式上要特别突出“做”、突出“过程”，要鼓励学生独立思考，多采用诸如小组合作、实景观察、实地测量、动手操作、直接收集数据、问卷调查、真实数据计算等活动形式，使学生能真正“动起来”，在活动中积累数学活动经验，提升数学能力和素养。关于在中学阶段进行数学建模教学，叶其孝教授在《中学数学建模》中提出了数学应用与数学建模的三种主要形式：结合课堂教学，在一些适合的环节切入数学建模；开展特定的数学建模活动，撰写研究报告或小论文；设置数学建模课程，参加中学生数学应用知识竞赛。在初中阶段，前两种方式得到了研究者的认可。陈雪雯老师从数学建模教学活动的特征出发，结合自己的教学实践，总结了三种教学模式：“自学—讨论”教学模式、“引导—探究”教学模式、“活动—参与”教学模式。于虹同样在初中数学课堂进行了数学建模的实践研究，归纳得到了初中数学建模教学的五个环节：创设问题情景，激发求知欲；导入学习课题，建立数学模型；研究数学模型，形成数学知识；解决实际问题，享受成功喜悦；归纳总结，深化教学目标。上述的实践要求表明，在初中阶段进行数学建模教学有许多不同的形式可以选择，和我们课标对于“综合与实践”教学方式的要求能够很好地匹配。

3.活动结果之呈现方式上的联系

就《标准》对“综合与实践”活动结果的呈现而言，《标准》要求学生会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流。这恰恰和数学建模不谋而合。数学建模的成果通常以论文的形式呈现，论文需要写清解决问题的思路、过程、结果，对于一部分比较优秀的论文还要进行答辩考核，就其中关键的思路、方法、结果进行解释。初中阶段，学生已经形成了一定的反思意识和数学交流能力，报告和小论文的形式就要求学生不仅需要科学地、有步骤地解决问题，还需要学生反思自己解决问题的方法，科学地评价自己的方法以及得到的结果，这对于学生反思意识的培养有着重要作用。另外，学生需要就自己的研究过程和结果向全班同学做交流汇报，在交流的过程中和同学探讨、辩论，结合其他同学的意见，进一步反思自己解决问题的过程和方法，和全班同学一起完善、提高。汇报探讨的过程表面看是一个数学交流的过程，但更深层次的却是思维的碰撞，这个过程不仅有利于培养学生的交流能力，更有利于学生在数学上的发展。