现代审美观简介-中学数学课程发展研究

大量研究结果拓展了对数学美的认识，也强调数学美的意义，培养数学审美自然也是当下重要研究工作之一.在探讨数学审美之前，先综述一下有助于理解数学审美的几个审美视角，包括：审美经验、审美体验认知、探究、进化的必要性等.

审美是一种经验

作为实用主义美学核心人物的杜威，在他的《艺术即经验》一书中指出，审美经验源于日常经验，但是日常经验要转变为真正的审美经验，还需要创造和满足多项条件.世俗的日常经验向审美经验的转化，这之间存在一个内在超越的张力场域.

在杜威看来，经验既关乎客体，同时也涉及了人的行为，浸透了人的情感，承载了人的意义.他在《经验与自然》中说：“它（经验）不仅包括人们做些什么和遭遇什么，他们追求什么，爱什么，相信和坚持什么，而且包括人们是怎样活动和怎样收到反响的，他们怎样操作和遭遇，他们怎样渴望和享受，以及他们观看、信仰和想象的方式——简言之，能经验的过程.”［68］由此，我们看到，经历既包括经历到的事物，也包括经历事物的方式、过程和经历的人，既包括人的认识，也包括人的情绪、意志和心理活动等.

杜威提出经验的生物自然主义根基的概念，杜威将审美这一高级的精神行为深入到生物学的本性中.在他看来，所有的艺术都是生命有机体和他所处环境之间交互作用的结果，这其中包含了能量的协调、冲突和平衡的运动过程.当有机体与环境在经历分裂与冲突之后实现了一种动态的平衡和秩序之时，就产生了原初意义上的审美经验.

在杜威看来，一切经验都具有审美的潜质.“如果一个人看到耍球者紧张而优美的表演是怎样影响观众的，看到家庭妇女照看室内植物时的兴奋表情，以及她的先生照看屋前的绿地的专注神态，炉边的人看着炉里木柴燃烧、火焰腾起和煤炭坍塌时的情趣，他就会了解到，艺术是怎样以人的经验为源泉的.”［69］这些普通的日常经验，因为人的情感和想象的参与而带有审美的特征.杜威认为，审美并不是与理智活动和实践活动相抵触的.理智活动的发端和过程只有伴随令人满意的情感性质，才会是一个完整的思维事件，才能获得思维的果实.实践性的行动，只有伴随着兴趣的激发和意义的积累，才能被感觉为一个过程的完成.一切活动，如果是在自身冲动的驱动下完整实现的，那么都将具有审美性质.

杜威还提出了“一个经验”的概念，意指带着它自身的个性化的性质及自我满足，所经历的物质走完其历程而达到完满.我们的日常经验由于各种干扰因素，开始，又中断，不能形成一个完整的经验，所以不能称之为“一个经验”.但人们都有获得一个整一、完满的经验的本能渴望，一个问题没有解决、一盘未下完的棋、一本未写完的书等，我们都会一直挂在心上，希望把它完成.所以，日常生活中琐碎零散的经验可以转变成令人满意的“一个经验”.换句话说，当日常经验改变其无序、混乱和分裂的状态而达到臻于完满的状态时，就成为“一个经验”.在杜威看来，只要获得“一个经验”就具有了审美的性质.小到一次聚餐，一场考试，完成一部作品，下一盘棋，只要能走完全程而达到自身的完满，成为“一个经验”就是一次审美享受.大到最精深的哲学与科学的探索和最雄心勃勃的工业或政治事业，当它们的不同成分构成一个完整的经验时，就具有了审美的性质.”［70］然而，“一个经验”还不能称为审美经验.

当然，杜威的审美经验也可能发生在数学中，有不少描述令人赞叹、很有意义的数学家的经验，例如英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）非常感人的证明费马大定理的经验.这类经验也是数学家的终极目标.美国数学家和哲学家吉安-卡洛·罗塔（G.-C.Rota）有着类似杜威的观点，宣称数学美或者数学雅致记录着数学家从情感上交流各自经验的方式：“数学美是数学家发明的表述，以便直接确认这种启蒙现象，而避免这种现象的模糊性的出现……”［71］

在数学教育研究中，虽然类似审美经验的思想以不同的方式得以表达，但审美经验还是很少被使用，例如，从学习数学的认知和动机维度看，冯·格拉斯菲尔德（E.von Glasersfeld）写道：“如果要求学生在做数学时体验到数学家的某些满意，不要期望通过任何一种奖励成就的方式让他们找到那种满意，而只有让他们认识到在自己的概念建构中已经达到的匹配整齐度.”［72］匹配的整齐度与杜威的“一个经验”相当，都谈到要满意，冯·格拉斯菲尔德描述的某些满意与杜威的审美经验比较接近，

辛克莱的研究颇有特色，她依据美国美学家比尔兹利（M.Beardsley）提出的关于审美经验的五大特征：即对象的引导性、感受自由、距离效应、积极发现以及完整性，［73］对自身的一次数学问题解决过程进行反省和分析.辛克莱的问题解决过程包括三个阶段：探究和范式筛选；获得理解；连接与令人深思.［74］

在探究和范式筛选阶段：辛克莱的同事呈现了用动态几何软件绘制几何图形：从任意一个三角形ABC出发，在三角形的三边分别构造一个正方形；找到每个正方形的中心，并且分别用线段将中心点两两连起来，形成一个“中心三角形DEF”.

图3-4　三角形的构造

辛克莱马上联想到自己熟知的拿破仑定理，也即以任意三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形.她试图探索上面的图形构造是否也有类似拿破仑定理的性质.辛克莱分析，这个经验阶段体现了对象导向性的特征.比尔兹利的对象导向性意指，人们的意识由对象所引导，使得人们的注意力关注于此并欣然接受这种导引.辛克莱在探究初始就被几何图形的形状、结构等吸引，从内心感觉这几何图形的构造与拿破仑定理有密切联系，这种感觉又深深吸引她继续尝试构造图形.这种有联系的感觉让她主动要测量角度并计算，乐此不疲地探究着.这一阶段的活动既有审美的特征也有动机的成分.辛克莱进一步希望并试图去寻找证明方法，这样她进入到第二个阶段.

从辛克莱的自我描述中可见，她问题解决的经验包括证明、积极发现和感觉自由.比尔兹利的“感受自由”就是在对象的呈现之中人们所感到的轻松与和谐，从而营造出一种自由选择的氛围；“积极发现”就是人们感觉到心灵那种激荡和振奋的建设性力量，往往表现为激昂的振奋感或者智力的成就感.“积极发现”特别能反映数学家问题解决过程中的经验表现.作者反省自己的问题解决过程时描述道：“确实，我有一种洞察联系和结构的感觉，我享受这种对我所推断的联系的理解，这种推断是确定的，是真实的……”(www.xing528.com)

作者所经历的两段数学问题解决经验体现着不同的审美性质，第一阶段是带着神秘的感觉，去发现新的、非形式化的内容；第二阶段可以抛开神秘感，开始用数学语言进行探索，有一种吸引力，能够从一种表达模式转换到另一种表达模式，发现形式模式如何将性质具体化，并且引导自己一步步走下去.

辛克莱这种反省、自述的分析研究，生动地揭示了数学审美经验的具体表现.

审美是一种探究

英国艺术史家贡布里希（E.Gombrich）在研究装饰理论时，形成其重要的著作《秩序感——装饰艺术心理学研究》（以下简称《秩序感》）.他认为，在对事物知觉方面我们可以很容易根据原有的知识来进行外推，去主动预期世界.在这种情况下就会出现各种与预期不同的落差，正是这种落差在装饰中被认为是可以给创作者和欣赏者带来多样性的快感.他指出，审美快感来自对某种乏味和杂乱之间的图案的观赏.［75］贡布里希认为，装饰手工艺人学会装饰技巧的过程是一个试误过程，即尝试和纠错、猜想和反驳过程.我们在欣赏装饰纹样时会主动在延续中寻找中断，具体的制作程序则是构框、填补和连接.我们在周围环境里捕获种种变化之中隐含着的秩序，只有当这种合乎规律的变化未能出现的时候，才会为之震惊.

杜威的探究逻辑观也强调探究的审美本质.杜威把探究定义为不确定情境向确定情境的受控的转变，而情境是出现于一些有机体或环境系统的持续活动中的不稳定的、不平衡的、不统一的、混乱的事例或者事件，是探究活动的开始.杜威的探究理论不同于传统的“旁观者似的认识论”，而更多地具有行动主义的意味，强调认识者与周围环境的互动.［76］杜威认为，探究起始于惊喜或者问题感.他坚持认为，一个问题在被陈述之前，必须被感觉到.问题的本质是被感觉到的，而不是被想出来的，它很难用语言来表达.一个探究对本质的了解不是靠自己，而是通过发生探究的背景、线索和直接证据来了解本质.杜威认为各种惊叹和感叹，如表达羡慕和满意的“Ah”，表达愉快和胜利的“Aha”，表达遗憾、悲痛或不幸的“Alas”，常常发生在科学探究中，这也许是有品质思想的最简单例子.对杜威来说，存在这种属于探究的审美本质，它是科学的或艺术的.

尽管哲学家、艺术家相信可以对探究过程进行实验研究，并且探究过程不仅仅是不可观察的、不明朗的心理状态的连续，但对研究者来说是，分析概念，如一个经验或一个诱导，是一种挑战.他们这些理论最重要的效果是，强调了探究最初阶段所起的重要作用，或者提供新的想法或者表述持续的品质.

杜威等的思想没能激活许多数学教育共同体的兴趣.其中一条假设是，数学的审美参与依赖于参与整个探究过程的机会，整个探究过程包括没有特定的目标的探究情境，提出问题，启动探究.我们认为，不是学生没有能力参与数学审美，而是学校数学很少提供参与探究的机会，参与数学探究应该是“像数学家那样活动”的关键.根据杜威的观点，要构造情境，让学习者有审美经验，获得最有价值的、最满意的经验，这应该成为数学教育的目标之一.

对照贡布里希的探究观，审美活动应该发生在数学课堂教学的更为公共的活动中，例如解决问题或者领会思想.尽管他强调审美判断的主观性、情境性的本质，但是，他认为人类会分享有意义的兴趣爱好，例如，他们经常围绕对称或平衡组织自己的感知，或者要降低复杂度，或者要与自身的对称性相联系.贡布里希提出要关注人们对对称的偏爱，例如，西方装饰艺术往往看重对称性的构造，而东方装饰艺术则会打破对称性.同样，困惑、厌恶等感觉也是高度个性化和情境性的.

审美是一种必要的演变

人类学家迪萨纳克（E.Dissanakye）将审美与演变（进化）联系起来，她试图理解为何任何地方的人们，尽管文化不同、历史时代不同，总会花很多时间去装饰自己或者周边的环境.花大量时间装饰似乎与生存演变相矛盾时，刺青的手臂、精致的舞蹈礼仪、装饰的门窗，无法满足人们对食物或者避难的需要.迪萨纳克把这种审美产物看作是“制造独特”的方式.人类的审美能力，无非就是需要在经验过程中辨别出值得关注和渲染的内容.［77］

迪萨纳克的审美观点为数学教育开启不同的视角.她提出，需要通过强调和渲染来避免单调乏味或者混乱，可以有各种不同的方式了解这种需求如何在数学课堂中发挥作用.数学课堂不仅仅是概念学习的课堂，数学课堂也要关注，如何通过在平板电脑上乱涂，来打破教学的沉闷，或者寻找可替代的规则来克服代数运算的困惑.

平克（S.Pinker）的研究关注的是人类行为的审美维度，他解释了人类的情感是如何对审美反应产生深刻影响的.他关注人类对变化环境中的压力进行选择时如何做出调适反应，特别关注对一系列“主动活动”的反应，这些反应提升了他们在环境和社会冲突中的生存能力.他提出，大脑的潜意识里记录着那些“主动活动”，也即对愉悦的感知，就好像利用对称来感知和收集关于家庭成员的信息.我们觉察出那种愉悦，并且进入到我们的意识中，这就是这个“活动”的特点.“主动活动”发生在获取支配日常生活的那些奇异的、信息富足的、产生刺激的信息的时候.尽管这些可能是一次性的雨天预报活动，或者森林里的狩猎，或者对他人的慷慨大方，现代人类面对各种不同的情境.然而，平克论述道，这种觉察愉悦之感的机制是相同的，就是要面对丰富的信息量且产生潜在刺激，例如人们把专门的外国地铁地图留在宾馆了，我从能够认识基本图式得到快乐.［78］

平克和迪萨纳克探讨了人类行为的衍生领域，也即“制造特殊”和“记录主动活动”构成审美感觉（感受）基础的方式.他们的方法可以帮助提供有说服力的观点，关于在人类思维和行动中，审美是核心并且重要的，也提供了与学习有关的广义的审美的各种解释.

从理论观点看，平克提出了情感和审美之间的联系，特别是，从愉快反应中辨别“主动活动”的可能性，而不是探索学生发现美或者不美，研究者也许会探索发生在问题解决中的主动活动，什么样的行动或者转换能够产生平克描述的愉快的反应？在多大程度上不同学习者会分享这些行动？

迪萨纳克提出的审美概念，与认知有着不同的联系，她强调审美与情感的相互作用，这个情感是强调当人们“制造特殊”获得成功而带来的满足.什么是在数学或者数学课堂教学中“制造特殊”的活动？研究者会不会为了评价审美参与度使用“制造特殊”这个想法？从学科本身看，是否有数学家特定的“制造特殊”的方式？与数学学习有怎样的关系？