当代教师领导力研究：教学示范展示

高中课改实施八年以来，中学一线教师在艰难中进行不断的探索，以求解决课程理念与教学实践的有机结合问题，寻求课程理念倡导的教与学的方式的常态化。事实上，这一探索并没有取得实质进展，常态教学依然较多呈现为讲授式，间或用到启发式；而探究式、合作式等学习方式较多存在于观摩课、示范课或优质课评比活动中。讲授式主宰者是教师，只受制约于教师一方，学生参与少，因而课堂信息量大、易操作、学生易懂；课程理念倡导的教法由于受到学生水平差异及教学内容难度的制约，使教学调控难度加大，受制于理解慢的学生，课堂容量相对较小。

2007年，我被东莞市教育局评为首批市级学科带头人。从2010年起，作为广东省中小学教师工作室主持人和东莞市中小学名师工作室主持人，我被邀请参加广东省名师大讲堂活动，举办东莞市高中数学名师工作室大讲堂活动。在这些活动中，要完成的任务之一就是每年上一节展示课。一节课的成功与否受到诸多主客观条件（如学生知识水平、能力、学习习惯、教学起点的高低、教学风格等）制约，加上听课教师期望值高，因此，对自己形成很大的心理压力。但必须迎难而上，要对自身负责，对省市级有关组织单位负责，不能辜负大家的期望。在了解学情的基础上，我认真备课，钻研教材、课标，力争体现课标理念，备课备出特色，上课上出优势。我在省教育厅组织的“南粤名师大讲堂·走进汕尾”活动中所上的高二解析几何《曲线与方程》、广东省第二师范学院组织的“南粤名师大讲堂·走进番禺”活动中所上的《直线的一般式方程》、东莞市“名师大讲堂”活动中所上的高一数学《函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象》均获得很大成功，其中《曲线与方程》一节课满意率达百分之百。

我每上一节展示课或示范课，都力求写下课堂教学实录作为教学案例，并进行反思，以求总结得失，寻找值得借鉴的经验和有待改进之处，使自身得到提升。下面的案例是在河北香河上的一节课的实录和反思。案例5：教学反思案例《几何概型》

凸显数学思维，追求教育本真

前言：2012年暑假我应邀赴河北某校作为期一周的高中数学新课程教学指导活动，主要工作是听课、交流。期间，应学校要求，上了一节示范课，课题为“几何概型”。这节课是继古典概型之后的一节新授课，含有概念形成、命题探索及解题等内容，知识难度不大，但内容丰富。我本着有利于学生“积极主动、勇于探索、提高数学思维能力”的教学理念，互动交流、理性思辨，设计了“辨析建构—形成概念—探索命题—拓展提高—应用巩固”的发展性教学主线，问题环环相扣，层层递进，有效地调动了学生思维，圆满完成教学任务。本节课做实两件事：一是知识的生成过程，二是解题的规范表达。该课受到听课教师的很高评价，他们认为执教者语言幽默、简练、抑扬顿挫，表情丰富，富有智慧，是内在素质的自然散发；问题针对性与时代感强，注重与实际相结合，重视例题解答的规范性；师生互动充分，体现学生主体地位，学生学的轻松，教师上的精彩，清新自然，吸引人，像听一首轻音乐。

几何概型是继古典概型之后的一类新的概率模型，两者具有一定的可比性，古典概型知识的掌握为几何概型的学习奠定了一定的知识基础，也为几何概型的研究在方法上提供了储备；几何概型内容难度适中，直观性强，抽象度不高；因而几何概型是高中数学教学内容中发挥全体学生主观能动性，培养学生探索精神和创新品质的不可多得的素材。

在一个陌生环境中上示范课，师生互不了解，最担心的是对学生学习习惯不清楚，教学中出现学生不愿说出自己的见解、互动性差等冷场现象，因此，我利用课前两三分钟与学生进行简单沟通，幽默一下，很快使师生关系热络起来，为教学的展开起到良好的铺垫。

教学实录：

1．课题引入：以典型问题作引例，既巩固“古典概型”，又为新课引入埋下伏笔。

教学从对“古典概型”的复习展开，以问题1引入：

问题1：若A＝（0，9］，则从A中任取出一个整数，这个数不大于3的概率是多少？

师：这个问题属于古典概型吗？

生：是。

师：全部基本事件是什么？“这个数不大于3”包含了哪几个基本事件？概率是多少？

生：全部基本事件是1，2，3，4，5，6，7，8，9；“这个数不大于3”包含的基本事件是1，2，3；概率是。

师：哪位同学叙述一下古典概型的基本特征？

生：古典概型的特征是试验中所有可能出现的基本事件个数的有限性和每个基本事件出现的等可能性。

师：古典概型的概率计算公式是什么？

生：。

师：若将问题1去掉一个字，将“整数”改为“数”，变为下面的问题：

问题2：若A＝（0，9］，则从A中任意取出一个数，这个数不大于3的概率是多少？（可以猜想）

这个问题是古典概型吗？为什么？基本事件是什么？

2．辨析建构：对具体事例进行辨析，有利于学生分析、归纳与概括能力的提升，培养认知能力。

生：不是，因为基本事件的个数有无数多个，基本事件是区间A中的每一个数。

师：能否猜一猜这个问题的概率？能否说一下理由？

生：概率为，P（A）＝（红色区域的长度）／（线段总长）。

师：再看看下面的问题，并回答：它是古典概型吗？为什么？

问题3：如图，假设在下面圆盘上随机投掷一点，试求它落到区域C的概率（可以猜想）。

生：不是，因为基本事件的个数有无数多个。

师：再猜一猜这个问题的概率？说一下理由？

生：概率为，即P（A）＝（区域C的面积）／（圆面的面积）。

师：我们先分析问题2和问题3的特征，它们的共同特征是什么？

生：两个概率问题都不是古典概型，基本事件的个数有无数多个，每个基本事件出现的等可能性。

师：在两个问题中，所有基本事件构成的图形分别是什么？

生：问题2中所有基本事件构成了一条线段，问题3中所有基本事件构成了一个圆面。

师：上述两个问题中，所有基本事件构成的图形都是几何图形！能否仿照古典概型，给具备这些特征的概率问题起一个名字？

生：几何概型。

师：哈哈！看过书了？

众生大笑。

师：继续看看下面问题，是几何概型问题吗？

问题4：有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0．1升，求小杯水中含有这个细菌的概率。

生：是几何概型。

师：其概率是多少？理由是什么？

生：概率为，即P（A）＝（小瓶水的体积）／（大瓶水的体积）。

师：请大家再看看问题2—4，它们是否有一些共同特征？

生：所有基本事件的个数有无数多个，每个基本事件的出现是等可能的。

3．形成概念——在概念的提出及尝试定义中，激发学生的创新意识，提升能力，获得“创新”的情感体验。

师：请同学们尝试给几何概型下一个定义。

生：如果一个试验的基本事件的个数有无数多个，且每个基本事件出现的等可能性，把这样的概率问题叫做几何概型。

师：这个定义抓住了此类概率问题的主要特征，但是，我们注意到问题2—4中，所有基本事件构成的图形分别是线段、封闭平面图形和空间几何体。符合上面“定义”的有些实例却不好猜测出概率，如：“从所有奇数中抽出一个数，求这个数大于6的概率。”分析一下，原因是什么？

生：虽然奇数的个数是无限的，但所有奇数并不构成一个几何图形，无法度量。

师：你想度量什么？

生：长度、面积或体积。

在师生共同分析下，根据基本事件的无限性与等可能性，析出某事件发生的概率与构成该事件区域成比例的事实，从而给出下面完整定义：

几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

师：几何概型的特征是什么？与古典概型比较，有什么结论？

生：几何概型的特征是：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

生：还有一个，就是所有基本事件要构成了一个几何图形。

师：很好！把你发现的这一条作为教材的补充。请大家比较一下几何概型与古典概型的异同。

生：相同点—基本事件的发生等可能；

不同点—古典概型：基本事件有限个，构成的图形是有限个点；

几何概型：基本事件有无限多个；所有基本事件能够构成一个几何图形。

师：特征之一“基本事件构成一个几何图形（连续的）”有“基本事件个数的无限性”的含义，而“无限个基本事件”却不一定能构成“一个几何图形（连续的）”；

生：老师，把几何概型的特征概括为：（1）所有基本事件构成一个几何图形（线段、封闭平面图形或几何体），（2）每个基本事件的发生是等可能的。可以吗？(www.xing528.com)

师：你的认识具有创新性，这个问题值得探讨，请有兴趣的同学课后去思考，告诉我你的结论。

师：下列概率模型是否为几何概型？试说明原因：

（1）取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大？

（2）刚刚闭幕的2012年伦敦奥运会射箭比赛中，假设靶子是由半径分别为1、2、3、4、5的同心圆组成的，我国种子选手徐晶射中十环的概率是三分之二。

生：问题（1）是几何概型，问题（2）不是。

4．探索命题——继概念形成后的又一高潮，学生从计算公式的形成中获得进一步认识。

师：下来，接着研究几何概型的概率计算问题，请同学们根据问题2—4，总结出几何概型的概率计算公式。

生：因为问题2的概率计算公式为P（A）＝（红色区域的长度）／（线段总长）；问题3的概率计算公式为P（A）＝（蓝色区域的面积）／（圆面的面积）；问题4的概率计算公式为P（A）＝（小瓶水的体积）／（大瓶水的体积）。所以，几何概型的计算公式为P（A）＝（事件A构成图形的长度、面积或体积）／（所有基本事件构成图形的长度、面积或体积）。

师：依据是什么？

生：几何概型的定义，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。

师：几何概型概率计算公式的规范表述为

5．应用巩固——巩固概念及公式，核心是答题的格式及规范表述，将解题教学落到实处。

例1：2012年6月29日，“神九”返回，在内蒙古四字王旗着陆，假设着陆场为方圆200km2的区域，而主着陆场为方圆60km2的区域，飞船在着陆场内任何一个地方着陆的可能性是均等的。你能计算出飞船在主着陆场内着陆的概率吗？

生：概率为。

例2：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

解：设A＝｛等待的时间不多于10分钟｝，所有基本事件构成的区域为Ω＝［0，60］。事件A恰好是打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的求概率公式得

P（A）＝（60－50）／60＝1／6

“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1／6。

师：请同学们根据上述两个例题，总结一下解题步骤。

师生共同分析，总结出几何概型的解题步骤为

（1）说明事件A与Ω是什么（作草图，帮助解题）；

（2）分别算出A和Ω的几何度量；

（3）计算事件A的概率；

（4）答题。

师：具体思路为——几何概型的解题关键是选择正确的几何度量，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何问题，再利用公式求解。

例3：取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大？

解：如上图，设事件A＝“剪得两段绳子长都不小于1m”，所有基本事件构成的区域为Ω＝“整条绳子”；把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生；事件A构成的线段长度为1m，所有基本事件构成线段的长度为3m。所以事件A发生的概率P（A）＝1／3。

答：剪得两段的长都不少于1米的概率是1／3。

例4：在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？

解：记事件A＝｛弦长超过圆内接等边三形的边长｝，所有基本事件构成的区域为Ω＝｛整个圆周｝。取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，｜BE｜＞｜BC｜；事件A构成区域为劣弧，其长度是圆周长的三分之一，所以本问题属于几何概型，“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为，则事件A的概率为。

6．变式练习——在变式中增强对概念及命题的本质的认识，提升分析、解决问题的能力。

（1）三沙市某岛周围海域面积约为17万平方公里，如果在此海域里有面积达1．5万平方公里的大陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选定一点钻探，则钻出石油的概率是多少？（答案）

（2）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形。试求这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率。（答案）

（3）等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。（答案）

（4）向面积为S的△ABC内任投一点P，求△PBC的面积小于的概率。（答案）

6．归纳小结

（1）几何概型的定义；

（2）几何概型的两个基本特征：无限性和等可能性；

（3）几何概型中，事件A的概率计算公式；

（4）解题步骤：设、算、答。

7．作业布置

下面作业第1题做在书上，第2、3题做在作业薄上：

（1）教材P142　A组　1、2、3；

（2）在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使｜AM｜＞｜AC｜的概率。

（3）在棱长为2的正方体ABCD—A′B′C′D′中，点O是底面ABCD的中心，在正方体AC′内随机取一点P，求点P到点O的距离不大于1的概率。

教学反思：教育的本真在于促进学生发展。高中数学除了它的基础性和应用性外，在学生形成理性思维、发展智力和创新意识等方面具有积极作用。因而，数学教学不等同于数学知识的教学，而是通过数学知识的教学实现数学教育的价值。“教”的关键在于立足学生现有的知识水平和认知能力，促进学生的“学”，更重要的是在教师的启迪、促进、引导和帮扶指导下，让学生逐步学会学习。

我基于对教材内容的把握和对学情的了解，精心设计教学流程，精编数学问题，以数学问题激发学生主动思考、探索，调动学生积极性，师生互动充分，为切实实现本节课的教育价值奠定扎实基础。

1．突出学生主体地位，激发学生探索精神

（1）发展为本。在一节课中，学生的发展水平来自于其自身的积极思考与主动探索，取决于知识生成、发展进程中参与的深度与广度。本节课中，设置的问题链符合“最近发展区”理念，激发了学生主动性，在课题引入、辨析建构、形成概念、命题探索等每一环节都能积极思考、踊跃回答。只有学生的主动认知才可能将数学知识内化为自己的学识，并通过观察、分析、概括过程的实践体验，才能使数学知识的学习、探索过程成为自身能力的提升过程，同时成为理性思维、科学观的形成过程。

（2）情感教育。本节课所采用材料背景具有强烈的时代感，将当前国内的热点问题和重大问题自然融入教学中，既保证了教学内容的新鲜性，又对学生进行了爱国教育，增强了民族自豪感。如例1中涉及“神九”载人飞船着陆问题、练习（1）中涉及我国设立南沙市的重大事件、概念辨析中设计的我国奥运健儿在伦敦奥运会为国争光等国民关注的热点问题，这些新颖背景的植入增添了学生的学习兴趣。

同时，教学进程中，对一个个问题，学生积极思考、踊跃回答，在问题的不断解决和认识的深化过程中形成了热烈的师生互动氛围，学生在知识的习得过程中感受到愉悦。

2．重视知识生成过程，培养学生创新能力

（1）注重生成。本节课以一个个数学问题为学生思维的激发器，学生的思维能力在递进问题的探索中得到发展，情感在互动交流中得以升华，知识在一步步思考中得以丰富。本节课以一个古典概型问题（问题1）为开篇，巩固了古典概型知识，同时为“几何概型”的引入埋下伏笔，只需将问题1中的“整数”改为“数”，就将“古典概型问题”变换为“几何概型问题”，即问题2；接着通过对问题2—4的分析，先提炼出这些问题的共同特征，概括出几何概型的特征，在此基础上，通过师生互动、教师引导，形成概念及其定义；继而探索几何概型的概率计算公式。问题层层递进，富有探索性，思维不断提升，内容浑然一体。

（2）富于探索。在对几何概型特征的提炼概括中，学生通过对教师提供的案例探索，发现仅将几何概型的特征概括为基本事件个数的无限性和每个基本事件发生的等可能性是不够的，提出了几何概型的另一特征，就是“所有基本事件要构成一个几何图形（线段、封闭平面图形或几何体）”。这一特征是教材中没有的，也不能融入前两个特征之中；特征之一“基本事件个数的无限性”含于“基本事件构成一个连续几何图形”，因而引发思考，若将几何概型的特征概括为上述三条，但三条特征并非是并列关系，所以，将几何概型的特征概括为下面两条：（1）所有基本事件构成一个几何图形（线段、封闭平面图形或几何体），（2）每个基本事件的发生是等可能的。将这一认识作为创新结果留给学生，留下回味。

（3）突出思维。几何概型的特征提炼经历了分析、概括的过程，概念的形成经历了归纳、辨析、概括的过程，公式的形成经历了观察、类比的过程，而观察、分析、归纳、概括、类比等都是数学研究常用的思维方法。教学中每个问题的解决都是在学生积极思考、分析的情景下，经师生进一步完善形成的结论，所以，本节课中学生思维量大、采用方法多，突出了数学思维。

3．重视问题规范解答，提高学生表述能力

本节课集概念教学、命题探索和解题教学于一体，其中解题教学是重要内容之一。但是，概率问题解答表述的完整性历来是教学面临的难点，学生往往只写一个结果，不会完整表述。因此，教学中教师有意针对这一难点，首先以例2的解答过程进行板演示范，之后，总结出几何概型问题的解答步骤，即设事件、计算（测度和概率）、回答，再以例3的解答板演强化规范表述，对于另外两个例题和四个练习，通过学生口述解答的形式，再次巩固、熟练规范表述。

问题解答的完整、规范表述要在第一时间完成，先入为主，有利于解决学生解题经常出现的对而不全现象。

4．重视教材重新加工，拓展学生知识视野

（1）重视加工。《课标》是纲要，讲什么？讲到什么程度？要在课标中寻找答案；教材是蓝本，学习的具体内容就在其中。但教材没有考虑到具体学情，没有指出具体教学方法，其选例与习题配置并非尽善尽美。因而，备课时根据学情、自身教学风格和拟使用的教法，对教材内容进行必要加工，以使预设的问题和教学思路更加符合实际，使学生能够得到最大发展。

本节课并没有完全采用教材中的例题和习题，也没有采用教材中的知识形成过程，而是对其进行了一定的增删和改变，使概念的形成更加自然，对知识的认知更加深刻，思维更加流畅。

（2）适当拓展。在概念辨析题、变式练习以及作业的选取与设计中，教师精心设计，备课时教师精选编制习题，丰富问题背景，拓展学生的几何概型视野，发展学生问题解决能力。弥补了教材中本节课练习及习题的配置情景单一、不够丰富、稍显单薄的现象。

本节课不足之处在于进行教学设计时，预设有学生对例3的板演，教师视板演情况纠正等环节，因时间不足，改为学生口述表达了。